反證法在多項式理論中的應用

高巖

[摘 要]多項式理論是高等數學研究的基本對象之一，它是一類最常見、最簡單的函數，它的應用非常廣泛，它在高等代數中一個相對獨立的部分，與線性代數一起，構成高等代數的整體內容.反證法是一種間接地證明問題的方法，在數學的各個領域中均有應用，本文討論它在多項式理論中的應用.多項式理論中涉及許多命題的證明 ，其中有些命題無法或不易用直接證法證明 ，而用反證法來證明十分簡捷有效.

[關鍵詞]反證法；多項式；互素；不可約

一、多項式的基礎知識

多項式理論是高等數學研究的重要內容之一，它是高等代數中一個相對獨立的部分，與線性代數一起，構成高等代數的整體內容.它的理論抽象，涉及的概念較多，一些問題直接利用定義證明較為困難，而使用反證法卻可以使論證的過程得到簡化.

多項式是一類最常見、最簡單的函數，它的應用非常廣泛.多項式理論是以代數方程的根的計算和分布作為中心問題的，也叫做方程論.研究多項式理論，主要在于探討代數方程的性質，從而尋找簡易的解方程的方法.

多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學代數里的內容相.多項式的整除性質對于解代數方程是很有用的。解代數方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候，所對應的代數方程就沒有解。下面結合實例來討論反證法在論證多項式理論中的應用.

二、反證法

反證法的定義：證明定理的一種方法，先提出和定理中的結論相反的假定，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來，這樣就否定了原來的假定而肯定了定理，也叫歸謬法.

反證法的實質：

事實上，反證法就是去證明一個命題的逆否命題是正確的，這與直接證明是等價的，但是可能其逆否命題比較容易證明。上述的得出了矛盾，事實上就是得出了“假設與題設不相融”這個結論，所以我們不能接受這個假設，所以這個假設的反面就是正確的，從而命題得證。

適用范圍：

證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復雜，而否定則比較淺顯。

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得.法國數學家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”.具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明.

反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假.再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的.

反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”.即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”.應用反證法證明的主要三步是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立.實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；

第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；

第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立.

在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”.一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現的命題；或者否定結論更明顯.具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆.

針對高等代數中許多結論、定理的證明有時雖然可以用構造法、數學歸納法等其他方法證明，但證明過程較復雜；有時結果雖然是數值卻無法用求解的方法來求解，提出了用反證法來證明或求解的思想，從而達到了化復雜為簡明、化難為易的效果

三、反證法在多項式理論中的應用的實例

1.關于不可約多項式的一個命題

多項式理論中有幾類問題利用定義或等價證明比較方便，例如整除一般用定義直接證明，最大公因式和互質則通常使用其等價定義或一些性質定理證明，用不可約多項式的定義用起來就不太方便，而且對于多項式的不可約性又沒有定理或公理可利用，只有一個可以直接利用Eisebstei判別法，故這一類問題的證明最適宜反證法。

2.關于互素多項式的一個命題

這類命題通常在互質，最大公因式，多項式的根等問題中出現，結論里一般具備“唯一…”“只有…”等字樣，而直接證較困難，可假設另外存在“一個”推出矛盾.此命題的結論是互質的等價定義.這類命題

3.關于多項式重因式的一個命題

判斷一個多項式有沒有重因式首先判斷多項式是否有重因式，即求出；其次，用除所得商式為，其中沒有重因式，與含有完全相同的不可約因式；然后，求的不可約因式，這樣不難求出其在中的重數.

若多項式在F中沒有重因式，那么把看成含F的某一個數域G上的多項式時，也沒有重因式；若是的k重因式，則能整除、、…、，但不能整除，這就知道與的關系了.

此題推出結論的方法與例1類似都是在否定結論之后，利用已知條件推出了與命題的題設相矛盾的結論.

4.關于實系數多項式根的一個命題

此題不適宜從正面去證，首先要討論的情況較多，其次從已知入手也很難得證。而從反面去證則可以根據根與系數的關系很快推出矛盾。如果考慮的情況不夠全面就無法完善解決此類問題，容易遺漏某種情況，反證法可以既簡便又快捷的證得結論。