基于協方差矩陣降維稀疏表示的二維波達方向估計

李文杰　楊濤　梅艷瑩

摘要：針對稀疏重構下二維波達方向（2D-DOA）估計存在計算量大的問題，提出一種基于協方差矩陣降維稀疏表示的二維波達方向估計方法。首先引入空間角構造流形矢量矩陣冗余字典，將方位角和俯仰角組合從二維空間映射到一維空間，降低了字典的長度和求解復雜度，并且能自動實現俯仰角和方位角配對；其次改進了樣本協方差矩陣的稀疏表示模型，對該模型進行了降維處理；然后由協方差矩陣稀疏重構的殘差約束特性得到約束殘差項置信區間，避免采用正則化方法導致參數選取困難；最后通過凸優化包實現了二維波達方向的估計。仿真實驗表明，待選取的協方差矩陣列數達到某個閾值（在只有兩個入射信號情況下該值為3）時，可準確實現入射信號角的估計；當信噪比（SNR）較?。?5dB）時，該方法估計精度優于基于空間角的特征矢量算法；低快拍數（<100）下該方法估計精度略低于特征矢量法，但小間隔角度下估計精度與后者相當。

關鍵詞：稀疏表示；二維波達方向估計；協方差矩陣；空間角；L型陣列

中圖分類號：TN911.23

文獻標志碼：A

0引言

二維波達方向（Two-Dimensional Direction-Of-Arrival， 2D-DOA）估計作為信號處理領域的重要方向之一，在各個領域都有著廣泛的應用，比如雷達、檢測、通信等。隨著技術的發展更是對波達方向估計提出了高精度、高分辨率、解相干等要求。陣列信號的空間譜非連續性，僅在相應的空間方位存在非零值，產生了稀疏表示求解波達方向估計思想。在一維波達方向估計（One-Dimensional Direction-Of-Arrival， 1D-DOA）方面，許多學者已經對稀疏算法進行了大量的研究[1-3]。

實際中，二維參量比一維參量更加具有實用價值和研究意義。以多重信號分類（MUltiple SIgnal Classification， MUSIC）[4]、旋轉不變子空間（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques， ESPRIT）[5]算法為代表的子空間類估計方法通常需要較高的信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR）門限和較多的采樣快拍，并且需要事先已知信號的信源數。此外，MUSIC算法對相干信號需進行去相干處理，容易造成陣列孔徑損失問題，限制了其應用。Malioutov等[6]提出了l1范數奇異值分解（l1-norm Singular Value Decomposition， l1-SVD）方法，利用l1范數約束求解稀疏目標估計值。但此方法需要事先知道入射信號信源數，當信源數超出估計值時，帶來性能嚴重下降問題。當進行2D-DOA估計時，l1-SVD算法計算量會變得非常龐大。張妍君[7]提出一種利用l1范數項和Capon譜約束解決參數選擇問題的二維稀疏估計算法，避免了正則化參數的選取不當而降低算法性能。但由于引入Capon譜，不適宜處理相干信號。李鵬飛等[8]提出空間角稀疏求解DOA估計方法，利用空間角構造冗余字典，降低了計算難度，但沒有避免正則化參數選取，對算法性能有較大影響。

對此，本文提出利用協方差部分信息稀疏求解2D-DOA估計的方法，首先依據陣列的方向矢量作為原子給出陣列信號的稀疏模型。對陣列輸出協方差矩陣列數降維處理，利用陣列輸出協方差矩陣某幾列進行波達方向估計，且通過引用變換矩陣避免了正則化參數的選取。同時利用空間角概念，降低了計算的復雜度。

1陣列信號模型

假定兩個均勻線性正交陣列，組成L型陣列結構，共由2M-1個陣元組成，具體結構如圖1，陣元間距d=dx=dz=0.5λ，λ為信號波長；俯仰角θk定義為信號來波方向與坐標系z軸正向的夾角，角度范圍為：0<θk<180°；方位角φk為信號來波方向在x-y平面投影與坐標系x軸夾角，同樣角度范圍為：0<φk<180°。

3基于協方差矩陣的稀疏估計方法

3.1陣列接收信號處理

文獻[9-10]提出根據協方差矩陣估計波達方向方法，但是必須要知道噪聲功率的限制。本文方法以子陣Z的接收信號rz（t）為例進行說明，對子陣X也類似。根據前面設定的信號與噪聲之間不相關性質，則根據式（9），Z子陣列輸出協方差矩陣可表示為：

3.2方位角和俯仰角配對

大多數情況下，用分維方法進行方位角和俯仰角估計的時候，比較困難之處在于方位角和俯仰角的配對問題。利用稀疏分解可得到信號幅值，進而可以根據信號幅值得到信號的方位信息，可實現俯仰角和方位角配對問題。

在式（16）中，Bz和Bx中非零元素的位置代表了入射信號對應的空間角的值，非零元素的值代表了入射信號對應的幅度信息，據此可同時求解空間角α和β的值，實現自動配對，經過式（6）就可以反推得θ和φ。

3.3陣列輸出協方差矩陣列數優化

通過第2章可知使用空間角可以降低計算復雜度，將2D-DOA估計問題轉化為1D-DOA估計問題。通過3.2節可知道空間角α和β與方位角俯仰角θ和φ之間存在對應關系，因此可以用空間角α和β來進行2D-DOA估計計算。

協方差矩陣列數的增加會造成算法的計算復雜度增大，為了選取最優的陣列協方差矩陣列數，這里通過逐步增加列數的方法進行搜索。假定入射信號個數在短時間內保持不變，則其輸出協方差矩陣的秩也保持不變，在這段時間內可選取相同的輸出協方差矩陣列數，這樣可明顯降低計算量。假定子陣元數目M=8，信源數為2個，信源1的俯仰角和方位角設為α1=35°、 β1=30°，信源2的俯仰角和方位角設為α2=60°、 β2=70°，信號和噪聲不相關。信噪比為20dB，快拍數設為200，獨立實驗的次數為300，本文采用每個信源俯仰角和方位角估計誤差平方和求得均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE），定義如下：

文獻[11]中第4章中提到：基于協方差矩陣的稀疏表示波達方向估計方法實際上是利用協方差矩陣列向量的聯合稀疏特性來進行的，實際中為降低計算復雜度，只需對某幾列進行聯合稀疏求解就可以獲得很好的性能，規定協方差矩陣列數Q≤M。在假定2個遠場入射信號情況下，為選出計算復雜度最小且不影響DOA估計性能的最優列數，從最小列數（1）到最大列數（子陣元數M），取單個信源均方根誤差，圖2顯示了兩信源角度估計的均方根誤差RMSE隨協方差列數變化的關系。

從圖2可以看出，當協方差矩陣列數增加到3列時，角度估計的均方根誤差趨于0，滿足條件，此時可以準確地估計出入射角的信息。當入射信號的個數發生變化時或者部分陣元失效時，可定時采用上述方法搜索最優的協方差矩陣列數，從而減少計算量。

從減少計算量與平衡算法的性能角度出發，本文協方差矩陣列數選擇3列，當然為了使結果更加精確，可根據需要適當增加陣列數目。

3.4計算復雜度分析

本文算法的計算量主要在于利用內點法對凸優化包形式求解，算法復雜度為O（N3），而同類稀疏表示算法中，文獻[8，12]的方法（下文簡稱特征矢量法）也主要集中于對凸優化的求解，算法復雜度也為O（N3）。子空間類MUSIC算法復雜度為O（M3），通常情況下NM，MUSIC算法具有較低的復雜度，本文算法與特征矢量法相當。

4仿真實驗與分析

本章主要進行各種仿真驗證，文獻[8]中已經對比了eigenvector算法與MUSIC算法，結果顯示eigenvector算法的性能遠優于MUSIC算法，這里不再重復比較，主要將本文方法與特征矢量法作比較。仿真的基本條件與3.3節中相同。子陣元數目M=8，信源數為2個，信源1的俯仰角和方位角設為α1=35°、 β1=30°，信源2的俯仰角和方位角設為α2=60°、 β2=70°，信號和噪聲不相關，獨立實驗的次數為300。

公式重復定義，而且下標k表示什么？

均方根誤差定義如下：

，K

實驗1比較信噪比與估計精度關系。

本實驗比較兩種方法估計精度與信噪比關系。基本條件同上，快拍數設為200，SNR在-10dB到20dB范圍內變化。圖3顯示兩信源的角度估計變化情況。從圖3中可以看出，當SNR從-10dB增加到20dB過程中，本文方法估計精度變化較小，在信噪比較低時，估計精度高于特征矢量法，信噪比較大時，二者估計精度相當。

實驗2比較快拍數與估計精度關系。

本實驗比較兩種方法估計精度與快拍數關系。基本條件同上，信噪比設為15dB，快拍數在2到600范圍內取值。圖4顯示了快拍數從2到600的過程中兩信源角度估計變化情況。從圖4可以看出在快拍數從2增加到600過程中，本文方法在快拍數很小情況下估計精度略低于特征矢量法，其他情況下兩種方法估計精度相同。

實驗3比較角度間隔與估計精度關系。

本實驗比較兩種方法在角度間隔下的分辨能力。假定兩信源互不相關，快拍數取為200，信噪比取為15dB。首先假定信源1和2的方位角不變，假設為30°，令α1=35°+δ，β1=30°，α2=55°+δ，β2=30°，δ從1變到5，看看估計算法的超分辨能力；其次假定信源1和2的俯仰角不變，假設為35°，令α1=35°，β1=30°+δ，α2=35°，β2=40°+δ，δ從1變到5，看看估計算法的超分辨能力。圖5顯示了在信源1和2的方

位角β1和β2不變時，δ從1變化到5過程中兩信源估計精度變化情況。從圖5中可以看出在俯仰角α間距增大過程中，估計精度略有下降，信源1和信源2的均方根誤差RMSE曲線完全重合，說明兩種方法的分辨能力相同。圖6顯示了在信源1和2的俯仰角α1和α2不變時，δ從1變化到5過程中兩信源估計精度變化情況。從圖6中可以看出隨方位角β間距增大過程中，信源1在兩種方法下均方根誤差曲線重合，信源2在兩種方法下均方根誤差RMSE曲線也重合，估計精度都略有下降，說明兩種方法的分辨能力也相同。綜合上述兩種情況下的分析，本文方法與特征矢量法分辨能力相同。

實驗4運算時間分析。

比較本文算法、特征矢量方法及去相干2D-MUSIC方法運行一次所需的時間，實驗在配置相同的計算機上運行，筆記本型號為宏基GT520M系列，CPU為Intel 酷睿i3 380M、內存為2GB、操作系統為Windows 7，得到運算時間如表1所示。

由表1可以看出，MUSIC算法運行一次所需時間最少，表明子空間算法復雜度小于稀疏重構算法。本文算法運行時間略低于特征矢量法，與3.4節中對算法復雜度的分析相符。

5結語

本文針對2D-DOA估計存在計算量大、無法實現角度自動匹配的問題，引入協方差矩陣稀疏表示模型和空間角的概念，構建一種新的2D-DOA估計方法，能自動實現俯仰角與方位角的匹配。該方法與可實現角度自動配對的稀疏類2D-DOA方法（如特征矢量法）相比，不需選取正則化參數，對信噪比和快拍數要求低，小間隔角度下估計精度穩定。

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