高等數學解題中的“做實驗”思想

許曼珊 黃健

摘 要：高等數學的解題與初等數學有很多差異，遇到一道沒見過的高等數學題目出現無從下手的狀況是一種常態。如何打破這種狀態，為問題的解決提供思路是學生困惑的問題。“做實驗”思想正是解決此問題的一個突破口，其中知識點發散和特殊值發散便是設計“實驗方案”的有限途徑。

關鍵詞：高等數學；解題；“做實驗”思想

“做實驗”思想，即要盡可能多地設計出解題方案，通過一定的“實驗”，多思路解決問題。這是一種發散思維的訓練，具有“盡快聯想，盡多作出假設和提出解題方案”的特點，是培養研究者創造性思維的突破口。那么在高等數學解題時，如何創造性使用“做實驗”思維？筆者認為下面兩個角度可作為“實驗方案”設計切入口。

1 知識點發散

基于題目條件分析，盡可能多地聯想與題目關鍵詞相關的公式、定理或法則，逐一進行嘗試。以下面例題說明：

例1 是否存在？若存在求出極限，否則給予證明。

從關鍵詞入手可知，本題只涉及數列極限和余弦函數。

從求數列極限的方法來看，有單調有界定理、柯西收斂準則、迫斂性等均不能直接解決這個問題。那么考慮余弦函數的特征，搜索與余弦函數有關的公式，對其一一進行“實驗”。

“做實驗”：

我們試圖從題目的關鍵詞入手，從知識點展開聯想，再逐一進行嘗試，這就是設計“實驗方案”的過程。

2 特殊值發散

通過特殊值尋求解題思路的方法很多人在高中數學解題上就已經有所運用，但是到了大學后，由于高等數學難度加大而且選擇題急劇減少，使得很多人覺得特殊值已經無用武之地了。其實不然，雖然高等數學的題目無法直接利用特殊值得到最終證明或者求解答案，但是很多時候它仍可以為我們提供解題思路。一道題目的證明和求解并不能一蹴而就，我們需要去做一些“實驗”。特殊值發散通常包括參數發散和函數發散，現在就參數發散來說明“實驗”過程。

2.1 參數發散

從題目中的不定參數和函數特征入手，嘗試特殊值，可以找到一些規律。尹景學教授在課堂上給過這樣一個例子。

例3 設f（x）是[0，1]上的連續函數，試求積分

此題涉及到二重積分，一開始似乎無從下手，但仔細觀察題目，發現其含有兩個參數a、b，且函數 并無具體給出，因此我們可以通過假設一些特殊值來找到解題規律。

從這道題可以發現，再一些含有參數的高等數學題中，我們可以采取給參數賦值或者賦予特殊函數進行“實驗”嘗試，從中發現一些規律并以此尋找解題思路，制定一般情況下的解題方案。

利用知識點發散和特殊值發散進行“實驗方案”設計，可以很好地幫助我們解決很多高等數學題目，甚至很多時候可以因此得到題目的一題多解。“做實驗”思想重在強調聯想、設計和嘗試，可以在我們無從下手的時候提供靈感，可以在我們手足無措的時候提供機會。另外，對數學解題的研究，對我們發散性思維和創新性思維的培養都有著重要的作用，是一種值得提倡的思想方法。

參考文獻

[1]毛琪莉. 高等數學發散思維培養新探[J]. 黃石理工學院學報，2012，02：63-66.

[2]龐桂琴. 關于數學思想方法對解題指導作用的教學嘗試[J]. 中原職業技術教育，1996，01：53-55.

作者簡介

許曼珊（1994-），女，漢，廣東揭陽人，華南師范大學數學與應用數學（師范類）專業本科生。

黃健（1994-），男，漢，廣東潮州人，華南師范大學數學與應用數學（師范類）專業本科生。