基于HJM框架的隨機波動率短期利率模型

陳志勇,江　良(.莆田學院管理學院,福建莆田3500;.莆田學院數學學院,福建莆田3500)

基于HJM框架的隨機波動率短期利率模型

陳志勇1,江良2
(1.莆田學院管理學院,福建莆田351100;
2.莆田學院數學學院,福建莆田351100)

在Heath-Jarrow-Morton(HJM)框架下,建立隨機波動率短期利率模型(ECIR-SV),其中長期均值為時間函數.基于重度取樣技巧,利用Laplace方法和P–樣條方法給出了ECIR-SV模型的極大似然估計方法.實證結果表明對比一些嵌入模型,ECIR-SV模型描述時間序列數據效果是最優的;對于單因子模型,引入長期均值函數的模型稍微地改善了擬合效果;在隨機波動率模型中,考慮長期均值函數模型更好地描述短期利率動態變化.此外,通過長期均值函數能夠更好地說明資本流動的情況,為宏觀政策的制定提供了一些可靠的依據.

Heath-Jarrow-Morton模型;短期利率;隨機波動率;Laplace近似;P–樣條;長期均值

1　引　言

利率是金融市場活動中最重要的基礎指標,其中短期利率顯著地影響著固定收入證券定價和利率風險管理,如張連增等［1］基于CIR模型［2］給出水久性年金問題,孔文濤等［3］研究了隨機利率下美式期權定價,這些說明短期利率模型能夠影響到相應衍生品定價.因此,研究短期利率模型,特別是連續的模型,顯得尤為重要.目前,研究短期利率模型可分為兩類:單因子模型和多因子模型.雖然有大量實證表明,前者能夠很好地刻畫市場數據［2，4，5］,但很難描述對市場多變的期限結構形狀.另一方面,對于單因子模型,不同期限的收益率相關系數為1,這種現象顯然和實證證據相互沖突.因此,多因子模型應運而生.

Litterman等［6］首先考慮短期利率的波動率是隨機的模型,他們認為隨機波動率直接影響到利率的期限結構.同時,有研究者提出不同的隨機波動率模型來研究短期利率的期限結構問題［7-9］,Ball等［10］應用不同國家市場數據論述了隨機波動率模型的有效性.為了更好地擬合市場數據,Durham［11］探索了更一般的非線性隨機波動率短期利率模型.鄭挺國等［12］引入跳擴散因素來改善數據的擬合結果.Bali等［13］研究了非線性隨機波動率模型,發現漂移項的變化也將改善擬合效果.Bikbov等［14］基于利率衍生品數據說明了隨機波動率模型能提供更好的擬合效果.Li等［15］證明了多因子模型雖然能夠很好地刻畫債券數據,但不能對沖利率上限(caps)衍生品的風險.Andersen等［16］也發現隨機波動率短期利率模型不能對沖零息債券的波動率,他們建議在模型中應該引入其他宏觀經濟變量.事實上,Li等［15］和Andersen等［16］所論述的模型和遠期利率模型(HJM)［17］是不相容的,從而不能使用遠期利率模型的衍生品對沖短期利率模型的波動率.因此,本文應用HJM框架下的隨機波動率模型,使得該模型和HJM模型夠相容.另一方面,基于HJM模型的短期利率衍生品定價是相當復雜的,因此有必要在此框架下使用短期利率模型來簡化相應的衍生品定價的復雜性.

Hull等［5］在HJM框架下研究不同單因子的短期利率模型,他們得出引入長期均值函數的模型相容于HJM模型,并能夠改善數據的擬合效果.Chiarella等［18］通過HJM模型推導更一般的單因子短期利率模型.上述短期利率模型即使能夠很好地刻畫市場數據,也無法解析短期利率變動的尖峰厚尾這一重要的特性,因為波動率是常數.Valchev［19］在HJM模型框架下給出了具有跳性質的隨機波動率高斯模型. Filipovi′c等［20］通過遠期利率模型也構建了高斯隨機波動率短期利率模型.因為高斯模型可能產生負的利率,所以為了保證短期利率非負有必要研究非高斯的短期利率模型.

本文基于HJM框架建立隨機波動率短期利率模型,其中長期均值是時間的函數,并通過實證分析模型的有效性.此模型充分地兼顧隨機波動率和長期均值函數的兩種性質,有力地解釋尖峰厚尾現象,也能和遠期利率模型相容.比較Hull等［5］模型,本文的模型具有隨機波動率性質;而對比Valchev［19］模型,在合適的正則性條件下,本文模型所刻畫的短期利率具有非負性質;相對于鄭挺國等［12］模型,本文的模型和HJM模型相容,即長期均值為時間的函數.由于引入時間變量的系數和隨機波動率因子,該模型的參數估計變得比較復雜.為了簡化,本文使用兩步估計方法,利用P–樣條正則化方法［21］和模擬極大似然估計方法［22］進行參數估計和實證的分析.

2　隨機波動率短期利率模型

本節基于HJM模型推導隨機波動率短期利率模型,以實現該模型和HJM模型相容.

假設當前時刻t0=0,在無風險條件下,到期日為T的遠期利率f（t，T）滿足下面的隨機微分方程

其中σF（t，T，Xt）是相應的波動率,Xt是與布朗運動WF（t）相互獨立的連續的Markov鏈,漂移項為

為了保證式(1)定義是有效的,假設σF（t，T，Xt）滿足一些正則性條件［17］.

根據遠期利率f（t，T）的定義,當T=t時,短期利率rt=f（t，t）.為了刻畫短期利率rt的動態過程,需對式(1)積分,即

在式(2)中,設T=t,可得短期利率rt滿足的積分方程

相應的隨機微分方程為

基于式(3),對于不同漂移項σF（t，T，Xt）的選取可得不同短期利率模型［5，18，19］.為了給出短期利率模型具有均值回歸的性質,設σF（t，T，Xt）為1對于式(4),Cr′epey等［23］提出了更一般的假設,即σF（t，T，Xt）=g（r t，Xt）e-∫Ttψ（s）ds.但在此假設條件下,不影響本文的分析.

其中g（·，·）是一個確定的二元函數,ψ（·）是確定函數.

根據式(4),對σF（t，T，Xt）和μF（t，T，Xt）關于T的導數分別為

把式(5)和式(6)代入式(3),可得

現在只需求σF（t，t，Xt）和μF（t，t，Xt）.基于式(4),可得

顯然,μF（t，t，Xt）=0.為了保證短期利率非負,設

根據式(7)和式(8),可得下面的ECIR-SV模型,即隨機微分方程

其中（Wr（t），Wv（t））是一對標準的布朗運動且E［d Wr（t）d Wv（t）］=0,2Ball等［10］通過實證方法論述了在隨機波動率模型中,其相關系數ρ估計值幾乎為零.Andersen等［16］基于零息債券數據給出短期利率水平的變化和波動率是不相關的.a和α分別是短期利率和波動率回歸速率,θ（t）/a和β/α分別表示短期利率和隨機波動率長期均值,σv是隨機波動率的波動率.為了保證短期利率和隨機波動率非負,ECIR-SV模型系數需要滿足Feller條件,即給定ht條件下,2θ（t）≥eht.事實上,該條件可應用Fichera理論,仿照文獻[24]第4章引理證明,當2θ（t）≥eht,式(9)確定的短期利率rt非負.

在ECIR-SV模型中,可通過設置參數得到一些著名的模型.如波動率e0.5若式(16)成立,密度函數尾部較厚,那么抽取較大隨機數的概率較大,從而不影響重復模擬結果.ht=σ和θ（t）=θ是常數時,可得CIR模型［2］;若e0.5h t=σ是常數,可得ECIR模型［5］,即若θ（t）= θ,稱該模型為CIR-SV［12］.

在ECIR-SV模型中,引入函數θ（t）不僅使得該模型和HJM模型相容,也能描述一些宏觀經濟現象對投資者長期期望利率的影響.比如,2008年經濟危機時,雖然美聯儲通過降息的貨幣政策救市,但是投資者對這一貨幣政策的有效性產生懷疑.因此有理由認為投資者未來的期望利率不可能和過去值保持一樣的.另一方面Hull等［4，5］也指出引入函數長期均值能夠更好地剖析利率期限結構.

3極端條件下,θ（t）直接插值,那么數值結果和數據呈現一樣的震蕩.這種現象不利于利率衍品的定價,而且也很難預測參數未來的走向.　參數估計

為了實現模型的估計,首先應用Euler離散格式將ECIR-SV模型轉化為離散方程.設Δt=ti-ti-1，i= 1，2，...，N,ri和hi分別表示相應在ti時刻的離散值,θi=θ（ti）.式(9)和式(10)的離散方程分別為

由于波動率是不可觀測的,基于時間序列數據,似然函數為

最大化式(13)需要處理兩個問題:1)式(13)是一個高維的積分方程,一般沒有解析表達式;2)直接最大化式(13)可能得到一些不穩定的數值解Θ,3極端條件下,θ（t）直接插值,那么數值結果和數據呈現一樣的震蕩.這種現象不利于利率衍品的定價,而且也很難預測參數未來的走向.須進一步考慮對θ（t）估計的穩定算法.為了解決這兩個問題,分成兩個步驟求解,首先考慮式(13)的積分問題,然后再應用P–樣條正則化方法估計θ（t）.

3.1積分Laplace近似方法

由于式(13)是高維積分,因此應用模擬最大似然估計方法(SMLM)估計式(13)中的常系數.這里采用重度取樣方法估計式(13)積分積分的值,即

式(16)不僅保證了收斂性而且也保證了重復抽樣方法的有效性.5若式(16)成立,密度函數尾部較厚,那么抽取較大隨機數的概率較大,從而不影響重復模擬結果.顯然對于密度函數的選取直接影響到

式(15)近似的數值結果.根據Huang等［22］和Durham［28］的研究,為了給出密度函數,基于La p l a c e近似方法,選取其中N（·，·）表示正態分布, H*是Hesse矩陣H在h*上的取值,關于Laplace近似方法的分析可參考文獻[30].

步驟1給定參數Ω的初值條件;

步驟2根據步驟1初值條件通過牛頓迭代方法給出h*;

步驟3將步驟2的結果,代入式(15)求出相應參數的估計值;

步驟4返回步驟1直到收斂結束.

下面給出計算優化問題(17)的方法.基于式(11)和式(12)的離散格式,有

式(19)的求解可應用牛頓迭代法,即

其中h（0）表示給定的初始條件,Hesse矩陣6Huang等［22］給出2階Taylor展開近似e-hi,從而減小計算量.但是對于本文的問題,|hi|可能取值較大,這就導致其2階近似誤差比較大.因此將直接通過牛頓方法求解方程(19).

3.2P–樣條函數

本文將選取P–樣條正則化方法估計函數θ（t）,以便獲得穩定的數值結果.其主要原因是P–樣條正則化方法既能夠刻畫回歸函數尖峰性質(sharp features)又能保持回歸函數的光滑性,而且使用P–樣條方法的近似有利于統計假設檢驗［31］.

顯然,式(21)的極小元為θiΔt=ri+1-（1-aΔt）ri,但是這類解可能和短期利率呈現一樣的震蕩.因此,有必要利用P–樣條正則化方法求解.基于P–樣條函數,θ（t）近似為

根據Jarrow等［32］和Yu等［21］的研究,一般選取二次樣條(quadratic spline)函數作為基函數,其原因是真實均值函數的一些性質是未知的,而使用二次樣條函數逼近會保持回歸函數具有一定的尖峰性質.事實上,在二次樣條下,Ruppert［33］通過模擬方法給出l應在5～10之間最優,特別是Jarrow等［32］通過數值測試發現l選取8～10為最佳取值.而對于節點τk,將應用Ruppert［33］方法,即,τk選擇在k/（l+1）分位點上.因此本文取n=2，l=10.

在P–樣條近似條件下,關于θ（t）的優化問題可轉化為

對正則化參數選取將使用GCV(generalized crossvalidation)方法［34］.設RSS（λ）為

基于GCV方法,正則化參數通過求下面表達式極小值獲得,即

其中tr（·）是矩陣對角元素和,S（λ）是廣義影響矩陣(generalized influencematrix).根據Sima等［35］研究結果,矩陣S（λ）的元素為

步驟1給定一個初值ω0,b0;

步驟2求優化問題(17),進一步給定b0,從優化問題(15)求解

步驟4重復步驟2和步驟3直到收斂.

根據算法可得

其中ω*和b*表示相應的真實值.

顯然在一定正則性假設條件下,只需證明算法中步驟2和步驟3收斂,那么算法就收斂.關于算法步驟2和步驟3的正則性假設及相容性性質分別可以參考文獻[21,30].式(26)也揭示了選擇合適的初值將會加速收斂速度.對初值問題ω0的選取,直接通過CIR-SV模型估計獲得,即

而對于b0,通過ECIR模型參數估計獲得.另一方面,采用兩階段估計:1)通過優化問題(27)給出初值ω0;2)運行上述算法一次即可獲得估計結果.

4　實證

由于我國債券數據不完整,為了統計分析的可行性,本文將使用美國債券數據.在市場上短期利率是不可觀測的,本文將使用每周交易3個月到期零息債券收益率近似,時間間隔為2000-01-07—2012-06-01,總的數據為648個(數據來源于http://www.ustreas.gov),相應的時間步長Δt=1/52.8Longstaff等［9］和Durham［11］也應用3個月到期零息債券收益近似短期利率.

根據Shephard等［36］研究,為了減少計算量,在計算式(15)時,選擇M=64個樣本,重復抽樣1000次,9Huang等［22］和Durham［28］通過模擬方法驗證了在重度取樣過程中,取64個樣本重復抽樣1000次能夠獲得精確的參數估計值.而且他們也提出為了進一步減少計算量,在應用牛頓迭代算法時可以選擇固定迭代次數.如Huang等［22］設6次迭代.但是在本文算法中,不需要設置牛頓迭代次數,因為每次牛頓迭代次數大約在6次左右就收斂.

為了診斷模型的有效性,本文應用似然比檢驗(LR).10另一種可性性方法是通過樣本之外測試.若假設使用一步向前預測(one-step-ahead),根據最小二乘法原理,顯然預測值最優的估計為i+1=E［ri+1|Fi］=E［E（ri+1|hi，Fi）Fi］,其中Fi表示在ti之前所有信息.從這個預測方程可知,需要對于隨機波動率進行預測.注意這里隨機波動率是不可觀測,因此對于不可觀測隨機波動率預測問題將是在將來繼續研究的問題.但是作為一個結果,發現A¨?t-Sahalia等［40］僅使用似然率就足夠測試了模型的有效性.因此僅僅考慮似然率檢驗.對于全參模型,設L（Θ，h）和~L（Θ，h）分別為無約束條件和有約束條件的似然值,似然比為

其中υ是約束條件的個數.

通過式(28)的數值與相應的χ2分布的臨界值比較,可以判斷是否拒絕給定的約束條件的假設.

對于半參模型,根據Ciprian等［37］研究,若選取二次P–樣條,似然率檢驗為自由度1的χ2分布,即檢驗下面的假設

另一方面,根據參數估計的要求,定義下面的殘差

式(29)基于條件概率分布,即給定波動率條件下相應的殘差服從正態分布函數.

由于隨機波動率是不可觀測的,因此需要給出相應的估計替代.根據文獻[39]的附錄,有

其中E［·］是期望算子,式(30)和(31)分別表示Δri的期望值和波動率的估計,它們的合理性及統計性質可參考文獻[41].

表1列出不同模型參數估計值和相應的似然函數值.對于CIR模型,長期均值為θ/a=0.022 7,Feller條件2θ/σ≥1.

表1　不同模型的參數估計值Table1　Parametersestimating value for the differentmodels

從表1中的數據可以看出,當不考慮長期均值函數時,其回歸速率α值較小,這說明了全參模型的利率水平具有較強的持續性想象.另一方面,隨機波動率比長期均值函數對似然值影響比較大,這說明隨機波動率對于短期利率水平沖擊較大.CIR-SV和ECIR-SV模型隨機波動率長期均值β/α分別為-4.043 3和-4.089 9,這兩個值幾乎是相近的,說明了長期均值函數不影響隨機波動率的長期均值.此外,從表1最后一列數據可以看出,似然函數值是遞增的.這表明了引入長期均值函數和隨機波動率都可改善擬合的效果.

圖1　應用P–樣條函數方法所得θ/a的估計值.Fig.1 Thenumerical resultsθ/a by using GCV method

圖1畫出ECIR和ECIR-SV模型長期均值函數形狀.從圖1可以看出,不考慮隨機波動率時,在2009年之前長期均值被高估.這就說明隨機波動率直接沖擊長期均值的變化.此外,大約在2009年之后,兩個模型所對應的均值趨勢完全不同.從實際情況考慮,ECIR-SV模型更能體現資本流動情況.如,在2000—2003和2004—2008期間,受到上個世紀末互聯網泡沫和次貸危機的影響,投資者對于市場失去信心而更愿意持有政府所發行的金融產品(債券等)作為投資,這就導致更多資本涌入債券市場,那么驅使債券價格持續向上,從而導致收益率減小,相應的長期收益就呈現遞減趨勢.在2003—2008和2010—2012期間,美聯儲使用寬松貨幣政策刺激經濟,投資者對于市場恢復了信心,資本從債券市場向其他投資市場流動,債券價格就具有下降趨勢,那么長期期望收益就有遞增的趨勢.

表2給出了相應的似然率統計量檢驗.從表2的數據可以看出,顯然CIR模型擬合效果最差,而ECIRSV模型擬合效果最好.另一方面從似然比統計檢驗也可以看出,隨機波動率比長期均值函數對于模型的影響較大.通過引入長期均值函數,相應的模型也改善了擬合效果.

表2　不同模型之間似然率LR估計值Table 2 Log-Likelihood ratio for the differentmodel

圖2給出不同模型的殘差正態分布圖.從圖2可以看出,所有的模型殘差和正態分布函數是有區別的,特別是尾部的事件.這說明了可能需要引入其他的因素來改善模型,如Eraker［38］論述,引入跳因素模型,可以很好地捕獲尾部的事件.此外,隨機波動率模型將也改善了殘差,從而進一步驗證兩因子模型比單因子模型更具有解釋力.

圖2　不同模型的殘差正態分布QQ圖Fig.Normality QQ plotof the residuals for each of themodels

圖3描述不同模型期望值的估計從圖3可以看出,每個模型都具有光滑的估計,而且似乎E C I R模型所得估計最優.然而根據表2中的數據可知,似然率檢驗拒絕ECIR模型.因此不能根據估計的光滑性來判斷模型的有效性.例如在一種極端條件下,使用Lagrange插值方法給出Δr的估計,也就是所得曲線在每個節點

上完全和Δr等同,相應的波動率為零.顯然這是不合理的估計,因為利率是隨機的.這就說明需要光滑的估計,而圖3剛好說明這個問題.

圖4描述不同模型期望值和波動率的估計.觀察圖4,大約在2001年或2008年前后,基于CIR-SV模型所得估計可能高估了,而在其他時間上兩個模型幾乎是相同的估計.這個結果是不矛盾的,因為從表2數據可以看出,對比隨機波動率和長期均值對似然率的影響,顯然隨機波動率對似然率貢獻較大.因此,在短期利率模型中引入長期均值函數會影響到利率動態變化,但不如引入隨機波動率對模型影響那么大.

圖3　基于式(30),增量Δr期望值的估計Fig.3 Estimation forexpected value ofΔr by equation(30)

圖4　基于式(31),增量Δr波動率的估計Fig.4 Estimation for volatilities ofΔr by equation(31)

5　結束語

雖然很多全參短期利率模型能夠很好地刻畫市場數據,但是它們很難描述和解釋一些重大事件與投資者長期期望利率的關系.這些模型也無法和遠期利率模型(HJM)相容.因此本文在CIR模型基礎上引入隨機波動率和長期均值函數的模型,從而更好地挖掘市場數據以及解釋一些重大事件和政策對于投資者長期期望利率的影響,同時也實現了和HJM模型相容.由于隨機波動率是不可觀測的以及長期均值是時間的函數,相應的似然函數計算變得比較困難.為了解決上述問題,本文利用Laplace近似方法和P–樣條方法并使用重度取樣技巧展開極大似然估計.實證結果表明了ECIR-SV模型的擬合效果最好,而全參的模型擬合效果較差.此外引入時間均值能夠更好地解釋一些重大的事件對資本流動情況的作用,如上個世紀末互聯網泡沫和2008年次貸危機發生后的美聯儲貨幣政策.另一方面,實證結果也表明了隨機波動率比長期均值函數對于短期利率的影響要大,而且隨機波動率和長期均值函數還無法完全反映短期率利率動態變化(見圖2).因此進一步研究可能需要考慮一些其它宏觀變量或跳的因素對于短期利率的影響.

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HJM-based short ratemodelwith stochastic volatilities

Chen Zhiyong1,Jiang Liang2
(1.SchoolofManagement,Putian University,Putian 351100,China;
2.SchoolofMathematics,Putian University,Putian 351100,China)

This paper incorporates stochastic volatility and time–varying central tendency into the short-rate model(ECIR-SV)so that the Heath-Jarrow-Morton(HJM)modelnests the ECIR-SVmodel.This paperalso develops amaximum likelihood estimator for the ECIR-SV model by using the Laplace approximation and P-splinemethod based on importancesampling technique.Theempirical resultsshow that the ECIR-SVmodel is the best for the time series data comparison of the nested models.For the single-factormodelwith the time-varyingmean,themodel-fitting performancechangesslightly.Incorporating into the time-varying central tendency,the stochastic volatility model can better characterize the short rate dynam ics.Besides,the capital flowsstated by the time-varyingmean providesa reliable reference formacroeconom ic policy.

Heath-Jarrow-Mortonmodel;short rate;stochastic volatility;Laplace approximation;P-spline; long-run averagevalue

TP273

A

1000-5781(2016)02-0202-12

10.13383/j.cnki.jse.2016.02.006

2015-01-30;

2015-09-28.

國家自然科學基金資助項目(11471175);福建省科技計劃項目軟科學資助項目(2015R0070);莆田學院育苗基金資助項目(2014060;2014061);福建省自然科學基金資助項目(2016J01677).

陳志勇(1975—),男,福建莆田人,博士,副教授,研究方向:公共管理和公共政策,Email:czyla@163.com;

江良(1978—),男,福建莆田人,博士,副教授,研究方向:金融工程和金融計算,Email:ptjliang@163.com.