LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的多合同信度模型

李新鵬，鄭　盈，崔夢夢，程常高，吳黎軍

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830052；2. 新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046)

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LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的多合同信度模型

李新鵬1，鄭盈1，崔夢夢1，程常高1，吳黎軍2

(1.新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830052；2. 新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046)

采用信度理論的方法,在既考慮制定保費(fèi)的公平性、合理性,又考慮不同風(fēng)險(xiǎn)組之間具有特殊相關(guān)結(jié)構(gòu)(即時(shí)間效應(yīng))的基礎(chǔ)上,研究了LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的多合同模型,推導(dǎo)出信度保費(fèi),也得到了LINEX損失函數(shù)下多合同Bühlmann模型的信度保費(fèi)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì),從而推廣了經(jīng)典信度理論.

多合同信度模型；時(shí)間效應(yīng)；LINEX損失函數(shù)

信度理論是精算學(xué)中最重要的保費(fèi)厘定技術(shù),現(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann,在他的文章中得到任意分布下的凈保費(fèi)信度估計(jì).信度理論是基于過去索賠額數(shù)據(jù)來預(yù)測未來索賠情況的一種定量的保費(fèi)定價(jià)方法,得到的保費(fèi)估計(jì)值為聚合保費(fèi)和樣本均值的加權(quán)和,其中權(quán)重因子又被稱為信度因子[1].

精算師根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),調(diào)整未來的保費(fèi),當(dāng)對未來保費(fèi)進(jìn)行估計(jì)時(shí)可能出現(xiàn)兩種偏差:一是征收保費(fèi)不夠,造成虧損;二是征收保費(fèi)過高,投保人數(shù)量減少.經(jīng)典信度理論使用平方損失函數(shù)來估計(jì)保費(fèi),但由于它的對稱性,使得保費(fèi)征收過高或過低具有相等的懲罰程度.但在實(shí)際應(yīng)用中,過低的征收保費(fèi)可能導(dǎo)致公司償付能力不足而破產(chǎn),因此低保費(fèi)有更大的懲罰,許多學(xué)者引入了非對稱損失函數(shù)的概念. 非對稱損失函數(shù)能夠更公平地衡量風(fēng)險(xiǎn),制定保費(fèi).

Varian在1975年提出了一種非對稱損失函數(shù),被稱為LINEX損失函數(shù)(線性指數(shù)損失函數(shù)),其形式如下:

L(θ,δ)=eβ(δ-θ)-β(δ-θ)-1

(1)

式中：β>0為一常數(shù),θ為實(shí)際值,δ為θ的估計(jì)值[2]. Parsian在LINEX損失函數(shù)下研究了多維正態(tài)分布的廣義Bayes估計(jì)[3],溫利民等人研究了LINEX損失函數(shù)下的信度保費(fèi)估計(jì)問題[4].采用LINEX損失函數(shù)制定保費(fèi),對于有幾次大額理賠的投保人,不會向其索取高額保費(fèi).因此,用LINEX損失函數(shù)估計(jì)的保費(fèi)更公平、合理[5].

經(jīng)典信度理論中假定在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)給定下,一個(gè)保單組合的不同保單索賠額之間以及同一個(gè)保單不同年索賠額之間獨(dú)立,但在實(shí)際應(yīng)用中,各個(gè)保單索賠額間具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu),如同一次交通事故可以導(dǎo)致多次索賠,地域臨近的房屋面臨共同的火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)等.鄭丹等人采用信度理論的方法研究了一個(gè)保單不同年索賠額間具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)估計(jì)問題,得到了信度保費(fèi)[6]；Bolancé等人建立了索賠頻率風(fēng)險(xiǎn)模型,得到了時(shí)間效應(yīng)為自相關(guān)時(shí)間序列時(shí)的信度保費(fèi)[7]；Frees等人研究了時(shí)間效應(yīng)為Student-t copula下的信度保費(fèi)問題[8]；溫利民等人研究了各個(gè)保單索賠額間具有共同效應(yīng)的信度模型,推廣Bühlmann和Bühlmann-Straub模型,得到了信度保費(fèi)[9]；黃維忠等人給出了平衡損失函數(shù)下具有共同效應(yīng)的信度模型的保費(fèi)[10].

本文既考慮風(fēng)險(xiǎn)間的相關(guān)性,又考慮保費(fèi)制定的公平性、合理性，在LINEX損失函數(shù)下,研究各風(fēng)險(xiǎn)組之間具有時(shí)間相依結(jié)構(gòu)的多合同信度模型,以期得到相應(yīng)的信度保費(fèi).

1　模型準(zhǔn)備知識

考慮K個(gè)保單構(gòu)成一個(gè)保單組合,對于第i個(gè)保單,它的過去n年索賠額為Xi1,…,Xin,假設(shè)每個(gè)保單各年索賠額有各自的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù),這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θi1,…,Θin,i=1,…,K,這些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)具有相依結(jié)構(gòu),假設(shè)如下:

假設(shè)1給定時(shí)間效應(yīng)Θij=θ時(shí),索賠額Xij,j=1,…,n間獨(dú)立同分布,且

E(e-βXij|Θij)=μ(Θij),Var(e-βXij|Θij)=v(Θij),i=1,…,K,j=1,…,n+1.

假設(shè)2風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θij的分布函數(shù)為fij(θ),且E[μ(Θij)]=μ,E[v(Θij)]=vij，Cov[μ(Θit),μ(Θij)]=aitaij,i=1,…,K,j,t=1,…,n+1.

本文的LINEX損失函數(shù)為(1)式,給出以下記號:

E[L(Xi,n+1,GBi(X))]=

Minf(X)∈FE[L(Xi,n+1,f(X))]

(2)

引理1在LINEX損失函數(shù)下,第i個(gè)保單的基于過去索賠額X的保費(fèi)的最優(yōu)估計(jì)為[11]

下述引理給出了具有時(shí)間效應(yīng)的多合同信度模型的重要性質(zhì),記: Yij=e-βXij,i=1,…,K,j=1,…,n+1,Yi=(Yi1,….,Yin)′,Y=(Y1′,…,YK′)′.

引理2在假設(shè)1和假設(shè)2下,有以下結(jié)果:

(i)Yij的均值為

E(Yij)=μ,i=1,…,K,j=1,…,n+1

(ii)Yi,n+1與Yi的協(xié)方差為

(iii) Yi的協(xié)方差矩陣為

(iv) Yi的協(xié)方差矩陣的逆為

證明(i)由條件期望公式得證.

(ii) 對保單i,索賠時(shí)間t,t=1,…,n,由假設(shè)1和假設(shè)2可得

Cov(Yi,n+1,Yit)=E[Cov(Yi,n+1,Yit|Θi)]+

Cov[E(Yi,n+1|Θi,n+1),E(Yit|Θit)]=

ai,n+1ait

所以

(iii) 對保單i,索賠時(shí)間j,t,j,t=1,…,n,由假設(shè)1和假設(shè)2以及條件期望公式可得

所以

(iv) 由矩陣求逆公式(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1可得[12]:

A-1B=(ai1/vi1,…,ain/vin)′

DA-1=(ai1/vi1,…,ain/vin)

所以

2　LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的多合同模型保費(fèi)估計(jì)

由引理1知,要計(jì)算LINEX損失函數(shù)下的多合同模型的保費(fèi),需先計(jì)算E(e-βXi,n+1|X),為此令g(X)=E(e-βXi,n+1|X),將估計(jì)限定在Yij,j=1,…,n的線性組合中, 則g(X)為下述問題的最優(yōu)解:

(3)

定理1在假設(shè)1和假設(shè)2下,求解最優(yōu)化問題(3),得到g(X)的最優(yōu)估計(jì)為

則保單i在LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的多合同模型保費(fèi)估計(jì)為

式中:

證明最優(yōu)化問題(3)等價(jià)于

MinA,BE[g(X)-A-BYi]′[g(X)-A-BYi]

(4)

A=b0,B=(bi1,…,bin),Yi如前所定義.

由引理3知，最優(yōu)化問題(4)的解為

所以

由引理1知，保單i在LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間效應(yīng)的信度估計(jì)為

注記2由于結(jié)構(gòu)參數(shù)(aij,vij)較多，假設(shè)aij=a,vij=v,i=1,…,K,j=1,…,n+1，則結(jié)構(gòu)參數(shù)μ的無偏估計(jì)為

結(jié)構(gòu)參數(shù)v的無偏估計(jì)為

結(jié)構(gòu)參數(shù)a2的無偏估計(jì)為

3　結(jié)束語

本文在LINEX損失函數(shù)下研究了具有時(shí)間效應(yīng)的多合同信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費(fèi),并且運(yùn)用所得的結(jié)論給出了LINEX 損失函數(shù)下多合同Bühlmann模型的信度保費(fèi),也給出了基本結(jié)構(gòu)參數(shù)μ,v,a2的無偏估計(jì).

[1]Bühlmann H, Gisler A. A course in credibility theory and its applications[M]. Netherlands:Spinger, 2005.

[2] Varian H R. A Bayesian approach to real estimate assessment[C]//Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J Savage. Amsterdam,1975:195-208.

[3] Parsian A. On the admissibility of all estimator of a normal mean vector under a LINEX loss function[J]. Ann Inst Statist Math, 1990, 42:657-669.

[4] Wen L M, Zhang X K, Zheng D, et al. The credibility models under LINEX loss functions[J].Chin.Quart.J. of Math, 2012, 27(3):397-402.

[5] 李新鵬,努爾古麗·艾力,吳黎軍. LINEX損失函數(shù)下具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,28(6):135-138.

[6] 鄭丹,章溢,溫利民. 具有時(shí)間變化效應(yīng)的信度模型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,36(3):249-252.

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[8] Frees E W, Wang Ping. Credibility using copulas [J]. North American Acturial Journal, 2005,9(2):31-48.

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[10] Huang W Z, Wu X Y. The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J]. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2012, 28(2):203-216.

[11] 李新鵬,德娜·吐熱汗,騰葉,等.LINEX損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的信度模型[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,29(4):11-15.

[12] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M]. New York: Springer, 1995.

(編輯：郝秀清)

Multiple contracts model with time effects under LINEX loss function

LI Xin-peng1， ZHENG Ying1， CUI Meng-meng1， CHENG Chang-gao1， WU Li-jun2

(1.College of Mathematics and Physics, Xinjiang Agriculture University, Urumqi 830052, China;2．College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Using of the credibility theory method, considering the premium′s equity and different risk groups′ dependent structure, i.e. time effects, this paper studied the multiple contracts model with time effects under LINEX loss function, derived the credibility premium, and obtained the multiple contracts Bühlmann model′s premium and the unbiased estimation of structure parameter, thus generalizing the classical credibility theory.

multiple contracts model; time effects; LINEX loss function

2015-10-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11361058)；新疆維吾爾自治區(qū)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(201510758052)

李新鵬,男, news20060801015@126.com

1672-6197(2016)06-0012-04

O211.2

A