巧用數學思想妙解一次函數

□曹　洪

巧用數學思想妙解一次函數

□曹洪

一、轉化思想

例1（2015·桂林）如圖1，直線y=kx+b與y軸交于點（0，3），與x軸交于點（a，0），當a滿足-3≤a＜0時，k的取值范圍是（）.

圖1

A.-1≤k＜0 B.1≤k≤3

C.k≥1 D.k≥3

分析：把點的坐標代入直線解析式得到，然后將其代入不等式-3≤a＜0，將其轉化為關于k的不等式，即可求出k的取值范圍.

解：把點（0，3）和（a，0）代入y=kx+b，得b=3，

故選C.

點評：把點的坐標代入直線解

二、數形結合思想

例2（2015·徐州）若函數y= kx-b的圖象如圖2所示，則關于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集為（）.

A.x＜2 B.x＞2

C.x＜5 D.x＞5

圖2

分析1：由圖2可知一次函數圖象過點（2，0），將其代入一次函數解析式，可求出k、b的關系式，然后將k、b的關系式代入k（x-3）-b＞0中解不等式即可.

運動控制系統是一門實踐性非常強的課程，本質上是面向工程的，但是在實際教學中，由于教學要求和培養模式的限制，無法使課程直接面向工程實際，這對一門實踐性強的課程來說，學習效果會大打折扣。因此，在運動控制系統課程教學中嘗試面向工程實際，通過實際的工程項目，使學生對課程的應用性有更加深刻的認識。本項目目前在申請學校的教改課題，將復雜的工程問題嵌入課堂教學中，達到理論聯系實際、實踐促進理論的目的。

解1：∵一次函數y=kx-b的圖象過點（2，0），

∴2k-b=0，b=2k.

由圖2可知，函數值y隨x的增大而減小，∴k＜0.

將b=2k代入k（x-3）-b＞0，得k（x-3）-2k＞0，即kx＞5k，兩邊同除以k得x＜5，故選C.

分析2：∵一次函數y=kx-b的圖象向右平移3個單位得到一次函數y=k（x-3）-b的圖象，

∴由函數y=kx-b的圖象與x軸交點的坐標可得到函數y=k（x-3）-b與x軸交點的坐標，進而通過圖象得到關于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集.

解2：∵一次函數y=kx-b的圖象向右平移3個單位得到一次函數y=k（x-3）-b的圖象，由一次函數y= kx-b的圖象與x軸交點坐標為（2，0），可以得到一次函數y=k（x-3）-b的圖象與x軸交點坐標為（5，0）（如圖3）.

圖3

點評：解決此類問題的關鍵是仔細觀察圖形，注意幾個關鍵點（交點、原點等），數形結合思考問題.

三、整體思想

例3若y+b與x+a（a、b為常數）成正比例，當x=3時y=5，當x=2時y=2，求y關于x的函數關系式.

分析：根據y+b與x+a（a、b為常數）成正比例，列出關系式y= kx+（ka-b），再將兩對x、y的值代入，求出待定系數，但需要把其中的（ka-b）當做一個整體來處理.

解：由條件可得y+b=k（x+ a），即y=kx+（ka-b）.

因為x=3時y=5，x=2時y=2，

所求函數解析式是y=3x-4.

點評：因直接求出a、b的值是比較困難的，這里應用了整體思想，整體求出ka-b的值.