一次函數中的相遇與追及

□高　峰

一次函數中的相遇與追及

□高峰

一次函數圖象信息題中，有一類相遇或追及的“雙線圖”問題，由于這類問題的情景比較復雜，圖象信息豐富，許多同學在解答這類問題時，感覺十分棘手，下面舉例說明此類問題的求解方法.

例1甲、乙兩地之間有一條筆直的公路l，小明從甲地出發沿公路l步行前往乙地，同時小亮從乙地出發沿公路l騎自行車前往甲地，小亮到達甲地停留一段時間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地.設小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為s米，小明行走的時間為x分鐘.y1、y2與x之間的函數圖象如圖1，s與x之間的函數圖象（部分）如圖2.

（1）求小亮從乙地到甲地過程中y2（米）與x（分鐘）之間的函數關系式；

（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數關系式；

（3）在圖2中，補全整個過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數圖象，并確定a的值.

圖1

圖2

分析：本題涉及的過程比較復雜，我們可以從以下幾個方面進行分析.

一、將實際情景與圖象結合，把圖象分段并與實際情景對應.

根據題意可知小亮與甲地的距離對應的圖象是AB、BE、ED、DC，小明與甲地的距離對應的圖象是OC.

我們可以把圖象分為四段進行分析，如圖1，用虛線BG、EF、MN進行分割，從左向右，第一段為小亮到甲地的過程，第二段為小亮到達甲地停留一段時間，第三段為小亮從甲地返回追上小明的過程，第四段為兩人一起走的過程.

二、將一次函數中的自變量、函數、系數與實際情景中的數量進行對應，嘗試根據已知數量求一些特殊點的坐標或根據坐標求相關數量.

本題自變量表示時間、函數表示距離、而一次函數中自變量系數的絕對值則是速度，本題已經給出了相關點的坐標，可以根據點的坐標求出相關的時間、距離和速度.

由圖象可得C（40，2000）、A（0，2000）、B（10，0），根據C（40，2000）可得小明的速度為2000÷40=50米/分，根據A（0，2000）、B（10，0）小亮的速度為2000÷10=200米/分.

三、嘗試求出相關圖象的函數關系式，利用函數關系式解決問題.

（1）根據小亮從乙地到甲地過程對應的圖象是AB，可設小亮從乙地到甲地過程中y2（米）與x（分鐘）之間的函數關系式為y2=kx+b，將A（0，2000）、B（10，0）代入，可得k= -200，b=2000，所以y2=-200x+ 2000.

（2）從圖象上可以看出，小亮從甲地返回到與小明相遇的過程是第三段，所以只需求出DE和OC的對應函數關系式作差即可.

小亮從甲地返回追小明的過程對應的圖象是DE，設yDE=kx+b，根據小亮的速度為200米/分，由勻速直線運動中斜率即表示速度，可知k=200，又有點E（24，0），即可求出b=-4800，于是yDE=200x-4800，而根據圖象可求出yOC=50x，

所以小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數關系式為s=50x-（200x-4800）=-150x+4800.

（3）補全整個過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數圖象，需要把第一段再分為兩部分，即第一次相遇前和第一次相遇后，所以圖2可分為五段考慮.

第1段（AG段中相遇前）：顯然a表示小亮從乙地出發與小明從甲地出發第一次相遇的時間，根據（2）求出的速度，可得a=2000÷（200+ 50）=8分鐘，本段對應的時間為0≤x≤8；

第2段（AG段中相遇后）：相遇后到小亮到甲地，這段時間是2分鐘，總時間是10分鐘，當x=10時，s=2×（50+200）=500，本段對應的時間是8≤x≤10；

第3段（GF段）：小亮到甲地后休息了14分鐘，總時間是24分鐘，相距的距離是小明走的路程，當x= 24時，s=24×50=1200，本段對應的時間是10≤x≤24；

第4段（FM段）：小亮到甲地休息完到追上小明，這時s=0，代入s=-150x+4800，可求得x=32，本段對應的時間是24≤x≤32；

第5段（MC段）：這時s都為0，本段對應的時間是32≤x≤40.

根據以上信息可描出相應的點就可以補全圖象，如圖3.

圖3

點評：本題的難點就是過程比較復雜，解決問題時首先將過程進行分段，將每段與對應的圖象結合起來，既要充分利用隱含在圖象中的信息，也要挖掘隱含在題目文字中的信息，特別是相關數量之間的關系.對于最后的補圖，關鍵是確定好段與段的“界點”的坐標.

例2（2015·金華）小慧和小聰沿圖4中的景區公路游覽.小慧乘坐車速為30km/h的電動汽車，早上7：00從賓館出發，游玩后中午12：00回到賓館.小聰騎車從飛瀑出發前往賓館，速度為20km/h，途中遇見小慧時，小慧恰好游完一景點后乘車前往下一景點.上午10：00小聰到達賓館.圖5中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s（km）與時間t（h）的函數關系.試結合圖中信息回答：

（1）小聰上午幾點鐘從飛瀑出發？

（2）試求線段AB、GH的交點B的坐標，并說明它的實際意義.

（3）如果小聰到達賓館后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他幾點鐘遇見小慧？

圖4

圖5

分析：（1）求出小聰從飛瀑到賓館所用的時間即可求得小聰上午從飛瀑出發的時間.

（2）應用待定系數法求出直線GH的函數表達式，即可由點B的縱坐標求出橫坐標而得點B的坐標；點B的實際意義是：上午8∶30小慧與小聰在離賓館30km（即景點草甸）處第一次相遇.

（3）求出直線DF和小聰返回時s關于t的函數（HM），二者聯立即可求解.

解：（1）小聰騎車從飛瀑出發到賓館所用時間為50÷20=2.5（小時），

因為上午10：00小聰到達賓館，

故小聰上午7點30分從飛瀑出發.

（2）3-2.5=0.5，

則點G的坐標為（0.5，50）.

設GH的解析式為s=kt+b，

把G（0.5，50）、H（3，0）代入，

故s=-20t+60.

當s=30時，t=1.5，

B點的坐標為（1.5，30）.

點B的實際意義是：當小慧出發1.5小時時，小慧與小聰相遇，且離賓館的路程為30km.

（3）設直線DF為s=k1t+b1，

因為小慧回到賓館的速度是30km/h，所以k1=-30，

又該直線過點F（5，0），可得b1=150，

∴直線DF的函數表達式為s=-30t+150.

如圖6，HM為小聰返回時的函數圖象.設直線HM為s=k2t+b2，因為小聰上午10：00到達賓館后立即以30km/h的速度返回飛瀑，所以k2=30，該直線過點H（3，0），可得b2=-90，

圖6

故直線HM的函數表達式為s= 30t-90.

由-30t+150=30t-90解得t=4，對應時刻7+4=11，

∴小聰返回途中上午11：00遇見小慧.

點評：解決問題的關鍵是將每段圖象與實際情景對應，將特殊點的坐標與實際情景中的量對應，利用數量之間的關系求出點的坐標，從而求出對應的關系式，然后利用關系式求解.