極端VaR風(fēng)險測度的新方法:QRNN+POT

許啟發(fā),陳士俊,蔣翠俠,劉　曦

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230009; 2.合肥工業(yè)大學(xué)過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,安徽合肥230009)

極端VaR風(fēng)險測度的新方法:QRNN+POT

許啟發(fā)1,2,陳士俊1,蔣翠俠1,2,劉曦1

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230009; 2.合肥工業(yè)大學(xué)過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室,安徽合肥230009)

由于金融時間序列極端尾部數(shù)據(jù)的稀疏性,一方面非線性分位數(shù)回歸存在非線性函數(shù)形式選擇困難;另一方面非線性分位數(shù)回歸的極端VaR風(fēng)險測度精度一直不高.為此,提出了使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸(QRNN)模擬金融系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu),并使用極值理論的POT方法彌補非線性分位數(shù)回歸對極端尾部數(shù)據(jù)信息處理能力的不足,得到了一個新的金融風(fēng)險測度方法:QRNN+POT,給出了其基本算法,并將其應(yīng)用于極端VaR風(fēng)險測度.選取了世界范圍內(nèi)代表性國家股票市場為研究對象,從樣本內(nèi)與樣本外兩個方面實證比較了QRNN+POT方法與已有的非線性分位數(shù)回歸模型在VaR風(fēng)險測度中的表現(xiàn),結(jié)果表明:第一,直接使用非線性分位數(shù)回歸模型能夠準確地得到正常VaR風(fēng)險測度,而極端VaR風(fēng)險測度效果卻差強人意;第二,使用QRNN+POT方法,極大地改善了極端VaR風(fēng)險測度效果,能夠有效地描述金融危機期間出現(xiàn)的極端風(fēng)險.

極端VaR;非線性分位數(shù)回歸;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸;POT方法;QRNN+POT方法

1　引　言

金融市場在迅猛發(fā)展的同時,其風(fēng)險也在不斷增大.一些極端金融風(fēng)險時有發(fā)生,如1997年的亞洲金融風(fēng)暴,2007年至2009年的全球金融危機等.這些極端風(fēng)險的發(fā)生,給世界經(jīng)濟發(fā)展帶來嚴重影響.如何準確測度極端金融風(fēng)險,揭示其變動規(guī)律,成為政府部門以及金融機構(gòu)所關(guān)注的重點問題.

在金融風(fēng)險管理領(lǐng)域,應(yīng)用最為成功的當(dāng)屬風(fēng)險價值(Value at Risk,VaR)方法.VaR風(fēng)險測度方法最早由Morgan公司于1994年提出,是指:在一定持有期內(nèi),在一定的置信水平下,金融資產(chǎn)可能遭受的最大損失,與損失(或負收益)序列的分位數(shù)相對應(yīng).迄今,國內(nèi)外大量文獻從理論與應(yīng)用兩個層面對VaR開展研究工作, Engle等[1]將其歸納為三類.第一類為參數(shù)方法,主要對金融資產(chǎn)收益行為進行參數(shù)設(shè)定,然后使用波動模型開展波動率估計與預(yù)測,進而給出VaR風(fēng)險測度,如:Morgan[2]開發(fā)的RiskMetrics系統(tǒng)主要使用EWMA法和GARCH模型法進行VaR計算;江濤[3]基于GARCH模型計算了上海股票市場VaR.第二類為半?yún)?shù)方法,主要依據(jù)分位數(shù)回歸或極值理論,直接估計收益序列的分位數(shù),如:Engle等[1]在分位數(shù)回歸模型基礎(chǔ)上,提出了條件自回歸VaR模型(conditional autoregressive value at risk,CAViaR);王新宇等[4]建立了AAVS-CAViaR模型,并應(yīng)用到滬、深、港股票市場風(fēng)險測度;閆昌榮[5]提出了流動性調(diào)整的CAViaR模型,較好地刻畫了中國股市流動性風(fēng)險動態(tài)變化特征;陳磊等[6]還成功地將CAViaR模型應(yīng)用于石油價格風(fēng)險預(yù)測.在極值理論方面, Diebold等[7]提出使用極值理論計算VaR的思想;王藝馨等[8]利用極值理論的POT(peak over threshold)方法對上證綜指日收益率的尾部數(shù)據(jù)直接進行建模,并計算出風(fēng)險價值VaR.第三類為非參數(shù)方法,主要使用歷史模擬法或者Monte Carlo模擬的方法,計算VaR.已有文獻也將這三類方法進行組合使用,提高VaR風(fēng)險測度的精度,如:McNeil等[9]使用GARCH模型與極值理論的POT方法相結(jié)合,給出VaR計算方法;Taylor[10]將歷史模擬法與分位數(shù)回歸相結(jié)合,提出指數(shù)加權(quán)移動平均分位數(shù)回歸來計算VaR.

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)觀點,VaR與損失(或負收益)分布的特定分位數(shù)相對應(yīng).Koenker等[11]提出的分位數(shù)回歸模型,直接對響應(yīng)變量的條件分位數(shù)進行建模,從而在VaR風(fēng)險測度中扮演了重要角色.Engle等[1]提出的CAViaR模型就是其中一種,能夠有效地解決時間序列中條件分位數(shù)預(yù)測問題,在實踐中收到了較好的實證效果.不過,CAViaR模型屬于參數(shù)非線性分位數(shù)回歸,存在四種常用形式:自適應(yīng)型、對稱絕對值型、非對稱斜率型、間接GARCH型,如何選擇相應(yīng)模型設(shè)定類型,并無統(tǒng)一標準.為避免分位數(shù)回歸模型形式誤設(shè)問題,可以使用非參數(shù)非線性的方法,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為此提供了方便的工具.Taylor[12]提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸模型(quantile regression neural network,QRNN),并用于多期VaR風(fēng)險測度.實踐中,QRNN模型具有強大的功能,一方面通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以模擬現(xiàn)實系統(tǒng)中的非線性特征;另一方面通過分位數(shù)回歸可以揭示響應(yīng)變量整個條件分布,其應(yīng)用領(lǐng)域也逐漸擴展,如:Cannon等[13]應(yīng)用QRNN模型對降水量進行了預(yù)測,何耀耀等[14]應(yīng)用QRNN模型對電力負荷概率密度進行了預(yù)測.

盡管非線性分位數(shù)回歸模型能夠很好地預(yù)測VaR風(fēng)險,然而由于收益數(shù)據(jù)在極端尾部的稀疏性影響到非線性分位數(shù)回歸效果,非線性分位數(shù)回歸的極端VaR(如:99%、99.9%)風(fēng)險測度效果往往并不如意, 見Schaumburg[15]的研究工作.為此,本文一方面使用QRNN模型模擬金融系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu),解決參數(shù)非線性分位數(shù)回歸中非線性函數(shù)形式選擇的困難;另一方面,使用極值理論的POT方法彌補非線性分位數(shù)回歸對收益序列極端尾部行為描述能力的不足,結(jié)合兩種方法的優(yōu)勢提出QRNN+POT方法,給出其包含三個步驟的基本算法.該方法主要通過QRNN模型給出正常分位點處(如:5%)的分位數(shù)估計,再通過POT方法能夠很好地處理極端尾部效應(yīng)的能力,將正常分位點處的分位數(shù)估計轉(zhuǎn)化為極端分位點處(如:1%)的分位數(shù)估計,最終可以實現(xiàn)極端VaR風(fēng)險的準確測度.最后,選取上證綜合指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)、紐約標普500指數(shù)和倫敦富時100指數(shù)作為研究的對象,實證考察了基于QRNN+POT方法的極端VaR風(fēng)險測度的樣本內(nèi)與樣本外表現(xiàn),發(fā)現(xiàn)QRNN+POT方法顯著改善了極端VaR風(fēng)險測度效果,能夠有效地描述金融危機期間出現(xiàn)的極端風(fēng)險特征.

2　QRNN模型與QRNN+POT方法

記隨機變量Y為某一投資組合的收益,其分布函數(shù)為FY(y)=Pr(Y≤y).根據(jù)VaR的定義可知,在置信水平為100(1-τ)%的VaR與Y的τ-分位數(shù)相反數(shù)對應(yīng),即VaRY(1-τ)=-QY(τ).為此,可以使用分位數(shù)回歸方法,實現(xiàn)VaR的計算.一般地,非線性分位數(shù)回歸可以得到更為準確的測度結(jié)果,如Engle等[1]給出的CAViaR模型.不過,CAViaR模型屬于參數(shù)形式非線性分位數(shù)回歸模型,包含三種常用形式:對稱絕對值型(symmetric absolute value)、非對稱斜率型(asymmetric slope)和間接GARCH型(indirect garch),分別記為SAV-CAViaR、AS-CAViaR、IGARCH-CAViaR,存在非線性函數(shù)形式選擇上的困難.

本節(jié)使用非參數(shù)形式的非線性分位數(shù)回歸:QRNN模型,解決參數(shù)形式非線性分位數(shù)回歸中的模型誤設(shè)問題.在QRNN模型基礎(chǔ)上,結(jié)合POT方法來改進其對收益序列極端尾部行為描述能力,提出QRNN+POT方法,并給出其基本算法.

2.1QRNN模型

在CAViaR模型中,對條件分位數(shù)演進方式進行直接的參數(shù)設(shè)定,其優(yōu)點在于有一定的經(jīng)濟含義,其不足在于可能存在模型誤設(shè)的問題.為解決模型誤設(shè)問題,可以使用非參數(shù)方法,如Taylor[12]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸(QRNN)模型.現(xiàn)實中,考慮到收益序列{yt}的滯后效應(yīng),采用自回歸形式, 以yt-1,yt-2,...,yt-p作為解釋變量,對響應(yīng)變量yt做出解釋.這里,使用三層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),以解釋變量作為輸入層,以響應(yīng)變量的分位數(shù)作為輸出層,隱層包含J個節(jié)點,則QRNN模型可以表示如下

由式(1)和式(2)可知,從輸入層到輸出層就表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性關(guān)系

QRNN模型的參數(shù)θ(τ)估計,旨在最小化目標函數(shù)

其中T為樣本量.

Cannon[13]指出,為避免QRNN模型陷入過度擬合的窘境,可以在目標函數(shù)中增加一個懲罰項.為此, QRNN模型的參數(shù)估計,轉(zhuǎn)化為下列優(yōu)化問題

實證中,懲罰參數(shù)λ和隱層節(jié)點數(shù)目J的最優(yōu)取值可以通過AIC準則來實現(xiàn).定義AIC準則如下

其中p為解釋變量數(shù)目.在獲得QRNN模型參數(shù)θ(τ;λ,J)估計之后，就可以得到條件分位數(shù)的估計,從而實現(xiàn)VaR風(fēng)險測度.

2.2QRNN+POT方法

極值理論適合對金融時間序列數(shù)據(jù)的尾部進行建模和風(fēng)險預(yù)測,其中POT方法應(yīng)用最為廣泛.楊超等[16]認為POT方法能充分利用有限的極端觀測值,對超過給定閾值的所有觀測值進行建模.花擁軍等[17]使用POT方法對滬深股票市場極端風(fēng)險進行了度量,發(fā)現(xiàn)其能夠有效地處理極端風(fēng)險.不妨假設(shè)具有分布函數(shù)為F(y)的金融時間序列{yt},給定閾值u,則超出量的分布函數(shù)為

其中0≤x＜yF-u,yF≤∞是F右端點.

Pickands[18]指出,對于一個充分大的閾值u,Fu(x)可以由廣義帕累托分布(GPD)近似表示

廣義帕累托分布為

其中ξ為形狀參數(shù),σ為尺度參數(shù).

當(dāng)ξ≥0時,有0≤x＜yF-u;當(dāng)ξ＜0時,有0≤x≤-σ/ξ.根據(jù)式(8)對式(7)進行轉(zhuǎn)化,可得

記Nu是超過閾值的觀測值個數(shù),n是觀測值的總個數(shù).對式(10),令y=x+u,將式(9)代入,且用Nu/n替換(1-F(u)),Allen等[19]給出尾部概率計算

對式(11)求逆函數(shù)可以得到τ分位數(shù)

實際中,往往需要估計極端VaR風(fēng)險(如:99%、99.9%的VaR),這涉及極端分位數(shù)估計(如:1%、0.1%的分位數(shù)).然而,由于在極端尾部可獲得樣本觀測數(shù)據(jù)較少,非線性分位數(shù)回歸模型(包括QRNN模型)的效果有時并不令人滿意.為此,可以使用POT方法改進QRNN模型極端尾部數(shù)據(jù)處理能力,得到QRNN+POT方法,對極端分位數(shù)估計,實現(xiàn)極端VaR風(fēng)險測度.

QRNN+POT方法的核心思想在于:首先,通過QRNN模型,得到正常分位數(shù)點處(如:5%)準確的分位數(shù)估計結(jié)果;其次,通過POT方法,將正常分位數(shù)點處的分位數(shù),轉(zhuǎn)化為極端分位點處(如:1%或0.1%)的分位數(shù),得到準確的極端分位數(shù)估計.QRNN+POT方法的基本算法可以分解為三個步驟完成.

步驟1由QRNN模型,計算正常分位數(shù)點τ2處的分位數(shù)Qt(τ2).

步驟2計算標準化的分位數(shù)殘差序列

步驟3由POT方法,計算極端分位數(shù)點τ1處的分位數(shù)Qt(τ1),這里τ1＜τ2.根據(jù)分位數(shù)的定義,有

其中由于Qt(τ2)＜0,不等號的方向發(fā)生了改變.根據(jù)式(14),有等價結(jié)果

可得

其中Qzt(1-τ1)為標準化分位數(shù)殘差序列{zt}的(1-τ1)分位數(shù),可以由POT方法中的式(12)進行求解.

上述式(16)的顯著意義在于建立了極端分位數(shù)Qt(τ1)與正常分位數(shù)Qt(τ2)之間的對應(yīng)關(guān)系,其功能在于將極端分位數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為正常分位數(shù)的計算.這樣,極端分位數(shù)由兩部分組成,第一,通過大量樣本觀測數(shù)據(jù)訓(xùn)練QRNN(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸)模型,準確計算出正常分位數(shù)Qt(τ2);第二,由POT方法計算出標準化分位數(shù)殘差序列的極端分位數(shù)Qzt(1-τ1),成功地將短下尾估計轉(zhuǎn)化為長上尾估計,能夠使用更多的樣本信息,得到更為準確的極端風(fēng)險估計,解決了其中的樣本量少的問題.為此,本文稱其為QRNN+POT方法.

本文提出的QRNN+POT方法,結(jié)合了QRNN(神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸)與極值理論的POT方法兩個方面的優(yōu)勢.QRNN模型是一種非參數(shù)非線性分位數(shù)回歸,相對比參數(shù)非線性分位數(shù)回歸(如:CAViaR模型), QRNN無需設(shè)定具體的非線性函數(shù)形式,就能夠通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)充分逼近與擬合金融系統(tǒng)中的非線性特征,準確刻畫金融風(fēng)險變動規(guī)律.極值理論的POT方法主要通過對樣本中超過某一較大閾值的所有數(shù)據(jù)進行建模,能夠有效地使用極端數(shù)據(jù)準確描述樣本數(shù)據(jù)分布的極端尾部特征.因此,QRNN+POT方法一方面能夠充分模擬金融系統(tǒng)中的非線性特征,另一方面能夠有效描述金融收益或損失分布的極端尾部特征,在實踐中顯示出強大的功能,實現(xiàn)極端VaR風(fēng)險準確測度.

3　實證研究

3.1數(shù)據(jù)選取與統(tǒng)計分析

本文選取世界范圍內(nèi)代表性的國家或地區(qū)的股票市場作為研究對象,考慮上證綜合指數(shù)(SSEC)、日經(jīng)225指數(shù)(Nikkei225)、紐約標普500指數(shù)(S&P500)和倫敦富時100指數(shù)(FTSE100)的日收盤價數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)網(wǎng)站(http://finance.yahoo.com).日收益采用對數(shù)收益率yt=100×(lnpt-lnpt-1),其中pt是第t日的股票指數(shù)收盤價.表1給出了各股票指數(shù)日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計、J-B檢驗和LM檢驗結(jié)果.從表1可以看出,上證綜合指數(shù)的平均收益最高,為0.026;其次為紐約標普500指數(shù)和倫敦富時100指數(shù);日經(jīng)指數(shù)的平均收益最低,為-0.023.不過,上證綜合指數(shù)的標準差也最大,為1.656;其次為日經(jīng)指數(shù)和紐約標普500指數(shù);倫敦富時100指數(shù)的標準差最小,為1.318.這一結(jié)果與金融市場的“高風(fēng)險–高收益”經(jīng)典規(guī)律基本吻合.表1中的偏度與超額峰度的統(tǒng)計結(jié)果表明,各股票指數(shù)均呈現(xiàn)左偏特征;并且四個股票指數(shù)的峰度值都大于3,呈現(xiàn)尖峰厚尾特征.這些特征表明,收益序列都不符合正態(tài)分布假設(shè),J-B檢驗結(jié)果也證明了這一點.LM檢驗的結(jié)果表明收益序列有很明顯的ARCH效應(yīng),呈現(xiàn)出異方差特征.為此,需要使用分位數(shù)回歸揭示收益序列的動態(tài)規(guī)律,一方面,避免對分布特征的假定;另一方面,能夠揭示收益序列的異質(zhì)效應(yīng).

為比較各方法VaR風(fēng)險測度的效果,將整個樣本區(qū)間(3 000天)劃分為樣本內(nèi)(2 000天)與樣本外(樣本外1有700天,樣本外2有1 000天)兩個部分,樣本內(nèi)與樣本外的樣本量之比分別為2.86:1與2:1.使用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)進行建模,分別對樣本內(nèi)與樣本外VaR風(fēng)險進行預(yù)測,評價各模型VaR風(fēng)險測度效果.表2給出了樣本區(qū)間劃分結(jié)果,樣本外1是正常的波動時期,主要考慮其95%置信水平下的正常VaR風(fēng)險測度;樣本外2的前期包含樣本外1,且其后期包含金融危機爆發(fā)區(qū)間(2008年9月14日,雷曼兄弟提出破產(chǎn)申請,在同一天美林證券宣布被美國銀行收購,緊接著全球股市開始大崩盤,2008年9月15日和9月17日全球股市市值暴跌,2008年9月30日道瓊斯指數(shù)跌幅達6.98%,創(chuàng)下有史以來的最大跌幅),不僅需要考慮正常VaR風(fēng)險測度(95%置信水平),還需要考慮極端VaR風(fēng)險測度(99%、99.9%置信水平).

表1　各股票指數(shù)日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計、J-B檢驗和LM檢驗Table 1　Descriptive statistics,J-B test and LM test of daily log returns of each stock index

表2　樣本區(qū)間劃分Table 2　Sample interval division

3.2正常VaR風(fēng)險測度

為計算在95%置信水平下正常VaR,可以使用QRNN模型估計5%分位數(shù).在QRNN模型建立過程中,考慮到每周交易5天,選取滯后5天收益率作為解釋變量,即以yt-1、yt-2、yt-3、yt-4、yt-5作為輸入;隱層轉(zhuǎn)換函數(shù)選取Sigmoid函數(shù);輸出層轉(zhuǎn)換函數(shù)選取線性函數(shù).依據(jù)AIC指標,由網(wǎng)格搜索實現(xiàn)各股票指數(shù)對應(yīng)QRNN模型的隱含層節(jié)點個數(shù)J和懲罰參數(shù)λ的選取,結(jié)果見表3.為比較,本文也考慮使用CAViaR模型來估計正常VaR.在CAViaR模型建立過程中,涉及到非線性函數(shù)形式選擇問題.事實上,還有一種CAViaR模型(自適應(yīng)型A-CAViaR),由于沒有取得較好的實證效果,本文省略了其結(jié)果,只報告前文提及的三種CAViaR模型.

表3QRNN模型參數(shù)選擇結(jié)果(τ=5%)Table 3　Parameter selection results of QRNN model(τ=5%)

為比較VaR風(fēng)險測度效果,采用Kupiec[20]似然比檢驗法和Christofferson[21]有條件覆蓋檢驗法對VaR進行返回測試.表4給出了基于QRNN模型和CAViaR模型的95%VaR風(fēng)險測度的返回測試結(jié)果,主要包括:失敗率(記為F)、似然比檢驗的P值(記為P1)和有條件覆蓋檢驗的P值(記為P2).最后四列為本文匯總結(jié)果,似然比檢驗失敗次數(shù)(記為NS1)和有條件覆蓋檢驗失敗次數(shù)(記為NS2)分別為在四個股票指數(shù)95%VaR返回測試中,似然比檢驗和有條件覆蓋檢驗拒絕原假設(shè)次數(shù)合計,取值越小表明模型越有效;似然比檢驗P值平均(記為P1平均)和有條件覆蓋檢驗P值平均(記為P2平均)分別為各方法在四個股票指數(shù)Kupiec似然比檢驗P值的平均值和Christofferson有條件覆蓋檢驗P值的平均值,取值越大表明模型越有效.

從顯示95%置信水平下正常VaR返回測試結(jié)果的表4可以看出:就樣本內(nèi)表現(xiàn)而言,所有模型都取得了較好的效果,失敗率與理論水平相同或接近,似然比檢驗P值也都接近于1,AS-CAViaR模型和QRNN模型在有條件覆蓋檢驗下的P值也接近于1,失敗次數(shù)都為0,表明模型是有效的.就樣本外的表現(xiàn)而言,第一,各模型樣本外表現(xiàn)不如樣本內(nèi),表現(xiàn)為失敗率與理論水平的偏差增加和P值下降,同時各模型在樣本外都有1次的失敗記錄;第二,除對上證綜指樣本外VaR風(fēng)險測度失敗以外,QRNN模型在其余三個股票指數(shù)樣本外VaR風(fēng)險測度上依然有良好表現(xiàn),其似然比檢驗的P值平均和有條件覆蓋檢驗的P值平均要高于CAViaR模型,表明QRNN模型優(yōu)于CAViaR模型.

表4　基于QRNN模型和CAViaR模型95%VaR返回測試結(jié)果(τ=5%)Table 4　Backtest results of 95%VaR based on QRNN model and CAViaR model(τ=5%)

3.3極端VaR風(fēng)險測度

3.3.1基于QRNN模型的測度

這里考慮99%置信水平下的極端VaR風(fēng)險測度效果,使用QRNN模型估計1%分位數(shù).仍然使用樣本內(nèi)數(shù)據(jù),在1%分位點處,重新估計QRNN模型,模型的變量設(shè)置與參數(shù)選擇方法同前,參數(shù)選擇結(jié)果見表5.再分別進行樣本內(nèi)預(yù)測與樣本外2的預(yù)測,結(jié)果見表6.為比較,本文也使用CAViaR模型進行極端VaR風(fēng)險測度,給出了99%VaR風(fēng)險測度結(jié)果見表6.

表5QRNN模型參數(shù)選擇結(jié)果(τ=1%)Table 5　Parameter selection results of QRNN model(τ=1%)

表6給出了QRNN模型和CAViaR模型預(yù)測的99%VaR返回測試結(jié)果,Kupiec似然比檢驗和Christofferson有條件覆蓋檢驗得到較為一致的結(jié)論:第一,就樣本內(nèi)表現(xiàn)而言,各模型依然取得了較好的效果,失敗率非常接近1%的理論水平,失敗次數(shù)都為0;第二,各模型的樣本外表現(xiàn)急劇下降,各模型所得失敗率都大于理論失敗率,低估了風(fēng)險,失敗次數(shù)集中在2次～3次,表明模型幾乎失效.這意味著,在極端事件多發(fā)時期,由于收益序列極端尾部數(shù)據(jù)的稀疏性,僅僅使用非線性分位數(shù)回歸模型,很難給出準確的極端VaR風(fēng)險測度結(jié)果.

3.3.2基于QRNN+POT方法的測度

表6的結(jié)果表明,在金融危機期間,單獨使用QRNN模型不能給出準確的極端VaR風(fēng)險測度結(jié)果.本節(jié)使用前文提出的QRNN+POT方法,開展極端VaR風(fēng)險測度.首先,使用QRNN模型求出收益率序列的5%分位數(shù)Qt(0.05)(過程詳見正常VaR風(fēng)險測度),根據(jù)式(13)求出標準分位數(shù)殘差序列{zt};其次, 由POT方法式(12)求出{zt}的99%分位數(shù)Qzt(0.99)和99.9%分位數(shù)Qzt(0.999);最后,根據(jù)式(16)求出收益率序列的1%分位數(shù)和0.1%分位數(shù),得到99%VaR和99.9%VaR,即VaRt(0.99)=-Qt(0.01),VaRt(0.999)= -Qt(0.001).VaR與分位數(shù)之間關(guān)系的討論,參見葉五一[22]等的研究.類似于本文提出的QRNN+POT方法,也可以將CAViaR模型與POT方法結(jié)合得到CAViaR+POT方法.為比較,也使用了CAViaR+POT方法來估計極端VaR風(fēng)險.

表6　基于QRNN模型和CAViaR模型的99%VaR返回測試結(jié)果(τ=1%)Table 6　Backtest results of 99%VaR based on QRNN model and CAViaR model(τ=1%)

在正式報告極端VaR風(fēng)險測度效果之前,通過常用的交叉驗證(cross validation)來檢驗QRNN+POT方法與CAViaR+POT方法的預(yù)測精度.鑒于本文使用的樣本數(shù)據(jù)為時間序列數(shù)據(jù),具有先后順序關(guān)系,其交叉驗證操作過程與截面數(shù)據(jù)存在較大區(qū)別.本文的交叉驗證過程分三個步驟完成.

第一步,將指數(shù)收益序列y1,y2,...,yT依時間先后次序進行分組.考慮到進行10重交叉驗證,本文劃分12組,每組樣本量為n=[T/12]+1,得到

其中T為時間序列長度或樣本量;[·]為取整運算;+1是為了不浪費樣本觀測數(shù)據(jù);當(dāng)T不能被12整除時,最后一組數(shù)據(jù)的樣本量可能不足n,但最多不會比其他組少12個.

第二步,將(y(j),y(j+1))作為樣本內(nèi)觀測、y(j+2)作為樣本外觀測,分別使用QRNN+POT方法與CAViaR +POT方法進行建模,實現(xiàn)樣本內(nèi)與樣本外極端VaR風(fēng)險測度,并計算其平均絕對誤差與均方根誤差分別記為MAEj、RMSEj,吳武清等[23]指出MAE與RMSE往往可以得到一致的評價結(jié)果.

第三步,對j=1,2,...,10,重復(fù)第二步10次,得到10重交叉驗證結(jié)果,并計算平均絕對誤差與均方根誤差的平均值分別為越小的方法,其樣本內(nèi)與樣本外具有更高預(yù)測精度.

本文中,四支股指收益的樣本量都為T=3 000,劃分12組后,每組擁有樣本量250個.使用前兩組樣本數(shù)據(jù)500個進行建模,對下一組數(shù)據(jù)250個進行預(yù)測,依次滾動進行,完成10重交叉驗證過程.表7報告了交叉驗證結(jié)果,結(jié)果表明:無論在99%還是在99.9%置信水平,與其他方法相比,本文提出的QRNN+POT方法具有最小的,具有更高的預(yù)測精度.

現(xiàn)在,報告分位數(shù)預(yù)測與極端VaR風(fēng)險測度結(jié)果.限于篇幅,本文只報告基于QRNN+POT方法預(yù)測的樣本外1 000天1%分位數(shù)和0.1%分位數(shù)結(jié)果(與實踐中最常用的兩個置信水平為99.0%與99.9%的極端VaR風(fēng)險對應(yīng)),如圖1和圖2所示;省略了基于CAViaR+POT方法所得的結(jié)果以及其他置信水平下極端VaR風(fēng)險測度結(jié)果,感興趣的讀者可以來函索取相應(yīng)結(jié)果.圖1和圖2中實線表示各股票指數(shù)的收益率,虛線表示由QRNN+POT方法預(yù)測的1%分位數(shù)和0.1%分位數(shù).由圖1和圖2可以看出:第一,各股票指數(shù)的收益序列存在明顯的波動聚集效應(yīng),QRNN+POT模型預(yù)測的1%分位數(shù)和0.1%分位數(shù)與收益序列具有相似的趨勢,能夠真實地刻畫極端VaR風(fēng)險變動規(guī)律.第二,在樣本外2的701天至1 000天(時間區(qū)間為2008年7月至2009年8月),收益序列的波動性加劇,這也與現(xiàn)實的金融危機情況相符,而本文提出的QRNN+POT方法準確地預(yù)測了這一金融危機期間出現(xiàn)的極端風(fēng)險,表現(xiàn)為1%分位數(shù)和0.1%分位數(shù)的絕對值明顯增大.

表7　各方法的10重交叉驗證Table 7　Ten folds cross validation for methods

繼續(xù)使用Kupiec似然比檢驗和Christofferson有條件覆蓋檢驗,對基于QRNN+POT方法和CAViaR+POT方法所得的兩個極端(99%與99.9%)VaR風(fēng)險測度進行返回測試,結(jié)果分別見表8和表9.無論在表8的還是在表9中,兩個檢驗結(jié)果都一致表明:第一,與僅僅使用非線性分位數(shù)回歸模型相比,使用QRNN+POT方法和CAViaR+POT方法無論在樣本內(nèi)還是在樣本外都取得了較好的實證效果,失敗率非常接近1%和0.1%的理論水平,失敗次數(shù)都為0,表明各方法都是有效的.第二,就P值平均而言,QRNN+POT方法在樣本內(nèi)與樣本外的P值平均幾乎都大于相應(yīng)的CAViaR+POT方法所得結(jié)果,表明QRNN+POT方法的極端VaR風(fēng)險測度的精度要高于CAViaR+POT方法.這些實證結(jié)果表明:在極端事件多發(fā)時期,使用QRNN+POT方法能夠顯著改善極端VaR風(fēng)險測度效果.第三,似然比檢驗結(jié)果表明:整體而言,QRNN+POT方法樣本外預(yù)測精度略低于樣本內(nèi);而有條件覆蓋檢驗尚不足以判斷其樣本內(nèi)與樣本外表現(xiàn)的優(yōu)劣,主要由于在極端VaR返回測試中理論失敗次數(shù)與連續(xù)失敗次數(shù)都較小,偶發(fā)因素可能影響到該檢驗結(jié)果.

表8　基于QRNN+POT方法和CAViaR+POT方法的99%VaR返回測試結(jié)果Table 8　Backtest results of 99%VaR based on QRNN+POT method and CAViaR+POT method

圖1QRNN+POT方法預(yù)測樣本外1 000天的1%分位數(shù)與實際收益率比較Fig.1　Comparison of real return and 1%quantile of 1 000 days out of sample predicted by QRNN+POT method

表9　基于QRNN+POT方法和CAViaR+POT方法的99.9%VaR返回測試結(jié)果Table 9　Backtest results of 99.9%VaR based on QRNN+POT method and CAViaR+POT method

4　結(jié)束語

本文將QRNN模型與極值理論的POT方法相結(jié)合,給出了一個新的極端VaR風(fēng)險測度方法:QRNN+POT.選取上證綜合指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)、紐約標普500指數(shù)和倫敦富時100指數(shù)為研究對象,實證比較了QRNN模型、CAViaR模型、QRNN+POT方法和CAViaR+POT方法在VaR風(fēng)險測度中樣本內(nèi)與樣本外的表現(xiàn).結(jié)果表明:第一,對于正常VaR風(fēng)險測度,非線性分位數(shù)回歸:QRNN模型與CAViaR模型都能得到較為準確的VaR風(fēng)險測度結(jié)果,不過前者在樣本內(nèi)與樣本外的表現(xiàn)都優(yōu)于后者;第二,對于極端VaR風(fēng)險測度,兩個非線性分位數(shù)回歸模型的表現(xiàn)明顯下降,特別是在樣本外各模型幾乎都失效;第三,使用本文提出的QRNN+POT方法,顯著改善了極端VaR風(fēng)險測度效果,無論樣本內(nèi)還是樣本外,各模型無一失效,并且QRNN+POT方法優(yōu)于CAViaR+POT方法.

圖2QRNN+POT方法預(yù)測樣本外1 000天的0.1%分位數(shù)與實際收益率比較Fig.2　Comparison of real return and 0.1%quantile of 1 000 days out of sample predicted by QRNN+POT method

本文提出的QRNN+POT方法,結(jié)合了QRNN模型與極值理論兩個方面的優(yōu)勢.未來,有兩個方向值得進一步研究:第一,在建模方法上,可以考慮使用其他極值理論(EVT)的方法改進QRNN模型對極端尾部數(shù)據(jù)處理能力,給出QRNN+EVT方法;第二,在應(yīng)用領(lǐng)域上,可以將QRNN+POT(QRNN+EVT)方法應(yīng)用于其他領(lǐng)域,如:極端氣候環(huán)境變化研究等.

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A new method for extreme value at risk measure:QRNN+POT

Xu Qifa1,2,Chen Shijun1,Jiang Cuixia1,2,Liu Xi1
(1.School of Management,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China; 2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making,Ministry of Education,Hefei 230009,China)

It is difficult to choose an appropriate nonlinear functional form in nonlinear quantile regression and give an accurate measure of extreme VaR due to the data sparsity in the upper or lower tail of financial time series distribution.To this end,we proposed to describe the nonlinear structure in financial system through the quantile regression neural network(QRNN).Furthermore,we improved the ability to handle tail data information for nonlinear quantile regression using the POT method from extreme value theory,and advanced a new financial risk measure method:QRNN+POT.We studied in detail how to implement the new method and provided the procedure of the new method to estimate extreme VaR.For empirical illustration,we selected four worldwide stock markets to test the performance of the new method and classical nonlinear quantile regression models both in-sample and out-of-sample.The empirical results show that the classical nonlinear quantile regression models perform bad in extreme VaR measure while they have good performance in normal VaR measure.Our new method turns out to be superior to those classical models in terms of the accuracy of VaR measure and is able to describe the extreme risk effectively during the financial crisis.

extreme value at risk;nonlinear quantile regression;quantile regression neural network;POT method;QRNN+POT method

F224.0

A

1000-5781(2016)01-0033-12

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.004

2014-04-26;

2014-11-20.

國家自然科學(xué)基金資助項目(71071087;70901048);教育部人文社科規(guī)劃基金資助項目(14YJA790015);安徽省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃基金資助項目(AHSKY2014D103);合肥工業(yè)大學(xué)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)移研究中心資助項目(SK2014A073).

許啟發(fā)(1975—),男,安徽和縣人,博士,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:金融計量,數(shù)量經(jīng)濟,Email:xuqifa1975@163.com;

陳士俊(1990—),男,安徽滁州人,碩士生,研究方向:金融計量,Email:505csjcsj@163.com;

蔣翠俠(1973—),女,安徽碭山人,博士,副教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向:金融計量,時間序列分析,Email:jiangcx1973@163.com;

劉曦(1992—),女,安徽合肥人,博士生,研究方向:金融計量,Email:lisal1992@163.com.