高階常系數齊次線性微分方程的解法

凱歌

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特　010070)

高階常系數齊次線性微分方程的解法

凱歌

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特010070)

0　引言

求解常微分方程的問題，常常通過變量分離、兩邊積分，如果是高階微分方程則通過適當的變量代換，達到降階的目的來解決問題。本文是對幾種類型的高階常系數齊次線性微分方程的不同解法進行總結，分別對常系數齊次線性微分方程和歐拉方程、可降階的高階微分方程給出定義，應用變量替換法解齊次微分方程，降階法求高階微分方程，并且用具體的實例分析了常微分方程的應用。

1　基本方法的歸納總結

1.1常系數齊次線性微分方程和歐拉方程

（1）常系數齊次線性微分方程

定義設齊次線性微分方程中所有的系數都是常數，即：

這里的a1，a2，…，an代表常數。式（1）就被稱作是n階常系數齊次線性微分方程。

用通解的解法能夠得出：

其中F（λ）=（λn+a1λn-1+…+an-1λ+an）是的n次多項式。所以x=eλt為方程（2）的充要條件是λ是：

的根。因此，式（2）是式（1）的特征方程，式（2）就叫做特征根。下面種常見情況分別進行討論。

①特征根是單根的情形

設λ1，λ2，…，λn，代表特征方程（2）的n個不等根，所以相應的式（1）有n個解：

若λi（i=1，2，…，n）是實數，那么式（3）是式（1）的n個線性無關的實值解，而式（1）的通解可寫成x=c1eλ1t，c2eλ2t，…，c3eλnt，其中c1，c2，…，cn是任意的常數。

如果出現復根，那么因為方程是實常數的系數，復根會以共軛形式成對的表達。如果λ1=α+βi是一個特征根，那么λ1=α-βi就也是特征根，式（1）的復值解。

因為實部和虛部也是方程的解，所以有兩個實值解eatcosβt，eatsinβt

解 有特征方程λ4-1=0的根是λ1=1，λ2=-1，λ3=i，λ4=-i有兩個實根和兩個復根，都是單根，方程的通解x=c1et+c2e-t+c3cost+c4sint，這里c1，c2，c3，c4是任意的常數.

②特征根有重根的情形

先設λ1=0，即特征方程有因子λk，于是an=an-1=…= an-k+1=0，也就是特征方程的形為λn+a1λn-1+…+an-1λ=0。而式（1）變成可知它有k個解1，t，t2，…，tk-1且線性無關。所以特征方程的k重零根就對應于方程（1）的k個線性無關解1，t，t2，…，tk-1。如果這個k重根k≠0，作變量變換x=yeλ1t后，

其中b1，b2，…，bn仍為常數，而相應的特征方程為：

直接計算可得F（μ+λ1）e（μ+λ1）t=L[e（μ+λ1）t]=L1[eμt]eλ1t=G（μ）e（μ+λ1）t，所以F（μ+λ1）=G（μ），從而Fj（μ+λ1）=Gj（μ），j=1，2，…，k。可見式（2）的根λ=λ1對應式（5）的根μ=μ1=0，且它們重數相同。這樣，問題就轉化成前面討論過的情形了。

解有特征方程λ3-3λ2+3λ-1=o，其中λ=1是三重根，所以方程的通解有形為：

x=（c1+c2t+c3t2）et，其中c1，c2，c3，表示任意常數。

（2）歐拉方程

定義 形如

的方程叫做歐拉方程，這里a1，a2，…，an為任意的常數。可通過變量變換轉化為常系數齊次線性微分方程。

引進變換x=et，t=lnx，計算可得到：

其中β1，β2，…，βk-1為任意常數。于是:

把上面的式子代進式（6）后，就有：

其中b1，b2，…，bn為任意常數，所以可以求出上面的通解，再代回原來的變量（t=ln|x|），就可以求得方程（6）的通解。

解 設y=xK，得到K應該滿足的方程K（K-1）-K+ 1=0，K1=K2=0。所以通解形式為y=（c1+c2ln|x|）x，其中c1，c2表示任意的常數。

1.2可降階的高階微分方程

定義 n階微分方程一般地可以寫

n≥2的時候，叫做高階微分方程。與一階方程的通解類似，一般的n階微分方程（7）的通解都有n個任意的常數。求解高階微分方程的途徑，通常為通過變量變換使它降低階數。現分為以下幾種類型進行討論。

（1）不顯含未知函數x的方程

不顯含未知函數x的方程，或者不顯含未知函數和其直到k-1（k≥1）階導數的方程，它的通常形式為：

易知，若x（k）=y，就化為關于y的n-k階方程式：

階數低的比階數高的更容易求解。求出了（9）的解y=φ（t），就得x（k）=φ（t）。再積分k次，就能得到（8）的解。

1x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5，其中，c1，c2，c3，c4，c5為任意常數。

（2）不顯含自變量的方程

一般形式有：

例5求解方程xx''+（x'）2=0

設方程

的左端是關于變量x，x'，…，x（n）的m次齊次函數，即對任何k≠0成立著恒等式

此時，方程（12）可寫為：

或寫為：

例6求解方程xx''-（x'）2=0。

即y'=0或者y=c1，亦即x'=c1x。所以解為x=c2e （c1）。

2　結語

以上是對常微分方程中幾類高階常系數齊次線性微分方程的解法技巧的總結，希望學生通過各種類型方程的解法進行歸類，并正確而又快捷地判斷所給出的方程屬于何種類型，從而按照所掌握的方法可以有條理地進行求解。但是不應該死記一些解法，更重要的是訓練自己思維方法。

［1］王高雄等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，北京，2006.

［2］崔梅平等.常微分方程（第二版）[M].高等教育出版社，北京，1982.

［3］金富臨等.常微分方程（第一版）[M].上海科學技術出版社，上海，1984.

［4］秦化淑.常微分方程及其應用（第一版）[M].國防工業出版社，北京，1985.

［5］任永泰、史希福主編等.常微分方程及其應用（第一版）[M].遼寧人民出版社，遼寧，1984.

［6］錢祥征等.常微分方程解題方法（第一版）[M].湖南科學技術出版社，湖南，1984.

［7］伍卓群、李勇等.常微分方程（第一版）[M].高等教育出版社，北京，2004.

Differential Equation;Characteristic Equation;Euler Equation;Homogeneous Equation

High Order Constant Coefficient Linear Differential Equation Solution

KAI Ge
（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia University of Finance and Economics，Hohhot 010070）

1007-1423（2016）02-0026-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.02.006

凱歌（1981-），女，內蒙古呼和浩特人，碩士研究生，講師，研究方向為應用數學、經濟動力學

2015-11-24

2015-12-24

常微分方程是微積分學的重要組成部分，求解高階微分方程是常微分方程的一難點問題，通常用適當的變量代換，達到降階的目的來解決問題。結合多年的教學經驗，歸納總結給出高階常系數齊次線性微分方程的一些求解方法，包括常系數齊次線性微分方程和歐拉方程以及可降階的高階微分方程等，并通過例題闡述各種方法。

微分方程；特征方程；歐拉方程；齊次方程

Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration.Solving Ordinary Differential equation of difficult problem is the differential equations of high order.Generally,in order to achieve the purpose to solve problems,it uses an appropriate variable substitution.With many years of teaching experience,summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order,including homogeneous linear differential equation with constant coefficient,Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on,gives an example to explain a variety of methods.