脈沖Leslie-Gower型捕食者-食餌系統的概周期解

鐘 麗 華

(北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013)

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脈沖Leslie-Gower型捕食者-食餌系統的概周期解

鐘 麗 華

(北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013)

考慮了食餌具避難效應的脈沖Leslie-Gower型生物系統.利用相應的常微分方程系統解和脈腫系統解的關系，得到脈沖生物系統的持久性及唯一概周期解的存在性.

脈沖系統；Leslie-Gower型捕食者-食餌模型；概周期解；持久性

近年來脈沖微分方程由于其精準描述系統發展遭遇擾動的特征而得到眾多學者的廣泛研究，其相關基本概念及有關脈沖生物模型的研究成果可參見文獻[1-6].

另一方面，現實世界概周期環境因素的存在也值得關注，文獻[4-5]研究了周期和概周期競爭生物系統模型.受此啟發，本文研究一個重要的食餌具有避難效應的脈沖Leslie-Gower型系統

(1)

文獻[4，7-8]討論了這個模型周期解的存在性和分支問題.本文主旨是利用相應常微分方程系統的解和脈沖系統的解的關系，考慮脈沖系統(1)概周期解的存在性問題.

1　模型分析

定義1.2[6]函數φ∈PC(R，R)稱為概周期的，如果它滿足下面的條件：

(2) 對于任意的ε>0，存在實數δ>0，當t′-t″<δ時，φ(t′)-φ(t″)<ε.

(3) 對ε>0，存在一個相對稠密集合T，如果對τ∈T，當φ(t+τ)-φ(t)<ε時，有t-τk>ε，k∈Z.

考慮系統：

(1.1)

引理1.1yi(0)>0，令(yi(t),y2(t))T是系統(1.1)的解，則對于所有t≥0，滿足yi(t)>0(i=1，2).

引理1.2系統(1)和(1.1)滿足下列關系：

(1) 如果(y1(t)，y2(t))T是系統(1.1)的解，則

是(1)的解；

(2) 如果(x1(t),x2(t))T是(1)的解，則

是(1.1)的解.

當t=τk,k=1,2,…,有

(1.2)

所以方程(1)最后兩個等式也成立.因此(x1(t)，x2(t))T是方程(1)的解.

所以yi(t)在區間[0，+∞)是連續的.易知(y1(t)，y2(t))T滿足系統(1.1).

引理1.3假設：

(H1) 存在正常數mi和Mi，當t>0和1+hik>0(i=1，2)時，

則方程(1.1)的解滿足

其中

證明令(y1(t),y2(t))T是方程(1.1)的解.由假設條件知

利用比較原理，

從而對于任意的正數ε，存在T1>0，當t>T1時，

y1(t)<β1+ε.

(1.3)

再由(1.1)式的第二個方程和(1.3)式，當t>T1時有

即對于任意的正數ε，存在T2>T1，當t>T2時，

y2(t)<β2+ε.

(1.4)

另一方面，由(1.1)式的第一個方程和(1.4)式，當t>T2時，

令ε→0，可以得到

即對于任意的正數ε，存在T3>T2滿足當t>T3，有

y1(t)>α1-ε.

類似地，對于足夠大的t，

令ε→0，可以推出

引理證明完成.

注1.1在引理1.3的條件下，集合

Ω={(y1，y2)T∈R2|0<αi≤yi≤βi，i=1，2}

是系統(1.1)的不變集，從而系統是持久的.

引理1.4假設(H1)和(H2)成立.則系統(1.1)的解(x1(t),x2(t))T滿足

(1.5)

證明由引理1.2，(x1(t)，x2(t))T是系統(1)的解，則

是系統(1.1)的解.由引理1.3得

(1.5)式成立意味著系統(1)是持久的.

引理1.5假設(H1)和(H2)成立，那么集合Ω≠?.

證明利用概周期函數的性質，存在序列{tn}，當n→∞時tn→∞，且n→∞時，

ri(t+tn)→ri(t)，Ai(t+tn)→Ai(t)，B1(t+tn)→Bi(t)，i=1，2

在R一致成立.

取(y1(t)，y2(t))T作為(1.1)的解，滿足對于充分大的正常數T*和i=1，2，αi≤yi(t)≤βi，且序列{y(t+tn)}在R的有界子集上是一致有界且等度連續的.由Ascoli定理，當k→∞時，存在子列{y(t+tnk)}，其在R的有界子集一致地收斂到連續函數族zi(t)，從而對于給定的Ti∈R，假設對所有的nk，tnk+T1≥T*.考慮下列系統：

B1(s+tnk)y1(s+tnk)-A1(s+tnk)(1-m)y2(s+tnk)]}ds，

y2(t+tnk+T1)=y2(tnk+T1)+

由Lebesgue控制收斂定理，令k→∞，對于t≥0，

(1.6)

因為T1是任意的，(z1(t)，z2(t))T是(1.1)的解.顯然，對于t∈R和i=1，2，有αi≤zi(t)≤βi，所以(z1(t)，z2(t))T∈Ω.

2　主要結果

考慮常微分方程

(2.1)

其中D是Rn中的開集，f(t,X)對于X∈D關于t是一致概周期的.為討論(2.1)概周期解的存在性，考慮方程(2.1)的積系統

引理2.1[6]假設存在一個定義在[0，+∞)∈D×D的Liapunov函數V(t，X，Y)，滿足下列條件：

(1)α(‖X-Y‖)≤V(t,X,Y)≤β(‖X-Y‖)，其中α(γ)和β(γ)是連續遞增的正定函數；

(2) |V(t,X1,Y1)-V(t,X2,Y2)|≤K{‖X1-Y2‖+‖Y1-Y2‖}，其中K>0是一個常數；

(3)V(t,X,Y)≤-μV(t,X,Y)，其中μ>0是一個常數.

且對于所有t≥0，t0≥0，在緊集Ω?D?R2中方程(2.1)有解.則方程(2.1)在Ω中有唯一的概周期解，其在D中是一致漸近穩定的.

定理2.1假設引理1.3的條件(H1)和(H2)滿足，同時下列條件成立：

(H5) 存在正常數ρ1，ρ2，θ滿足

則系統(1)存在唯一概周期解.

證明首先證明方程(1.1)有唯一的概周期解.

(2.3)

所以系統(1.1)的概周期解的存在性等價于系統(2.3)在Ω1={(z1,z2)T∈R2|lnαi≤zi≤lnβi，i=1，2}有唯一的概周期解，并且Ω1關于系統(2.3)是不變的.

(2.4)

顯然有

min{ρ1,ρ2}‖Z(t)-Z*(t)‖≤V(t,Z(t),Z*(t))≤max{ρ1,ρ2}‖Z(t)-Z*(t)‖，

所以引理2.1的條件(1)滿足.注意到

從而引理2.1的條件(2)也滿足.

利用方程(2.4)的解計算右導數D+V(t)，有

D+V(t)=

其中用到了中值定理和條件(H1).進而

假設系統(1)中hik≡0，i=1，2；k=0，1，2，….考慮系統特殊的非脈沖點的常微分方程：

(2.5)

推論2.1假設下面條件成立：

其中

則系統(2.5)有唯一的概周期解.

[1]SAMOILENKO A M，PERESTYUK N A.Impulsive differential equations[M].Singapore：World Scientific，1995：1-270.

[2]YOSHIZAWA T.Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions[M].New York：Springer，1975：40-223.

[3]DONG LINGZHEN，CHEN LANSUN.A periodic predator-prey chain system with impulsive perturbation[J].J Comput Appl Math，2009，223：578-584.

[4]HUO HAIFENG,LI WANTONG.Periodic solutions of delayed Leslie-Gower predator-prey models[J]Applied Mathematics and Computation，2004，155：591-605.

[5]SHAIR AHMAD，GANI TR STAMOV.Almost periodic solutions ofN-dimensional impulsive competitive systems[J].Nonlinear Anal：Real World Appl，2009，10(3)：1846-1853.

[6]HE MENGXIN，CHEN FENGDE，LI ZHOUNG.Almost periodic solution for an impulsive differential equation model of plankton allelophthy[J].Nonlinear Anal：Real World Appl，2010，11：2296-2301.

[7]KUMAR KAR T.Stability analysis of a prey-predator model incorporating a prey refuge[J].Communications in Nonlinear Science and Numeric Simulation，2005，10：681-691.

[8]CHEN FENGDE，CHEN LIUJUAN，XIE XIANGDONG.On a Leslie-Gower predatorprey model incorporating a prey refuge[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10：2905-2908.

(責任編輯：李亞軍)

Almost periodic solutions of an impulsive Leslie-Gower prey-predator system

ZHONG Li-hua

(School of Mathematics and Statistics，Beihua University，Jilin 132013，China)

Impulsive Leslie-Gower predator-prey model incorporating a prey refuge is considered.Using the relation between the solutions of impulsive system and the corresponding non-impulsive system，sufficient conditions ensuring the permanence of non-impulsive system and the existence of a unique almost periodic solution are obtained.

impulsive system；Leslic-Gower prey-predator model；almost periodicity；permanence

1000-1832(2016)03-0048-06

2015-05-13

國家自然科學基金資助項目(11271157；11371169).

鐘麗華(1973—)，女，講師，主要從事微分方程研究.

O 211.63[學科代碼]110·44

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.010