一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動性

林 文 賢

(韓山師范學院數學與統計學院，廣東 潮州 521041)

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一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型微分方程的振動性

林 文 賢

(韓山師范學院數學與統計學院，廣東 潮州 521041)

通過利用Riccati變換和Young不等式，獲得了具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型泛函微分方程的振動準則，推廣和改進了最近文獻的結果.

廣義Emden-Fowler型微分方程；振動準則；阻尼項

1　預備知識

在核能物理、化學反應系統、氣體動力學、流體力學等方面有著眾多應用的Emden-Fowler方程x″(t)+λ(t)|x(t)|α-1x(t)=0(α>1)是一個半線性微分方程，基于其廣泛的實際應用背景，吸引了很多學者的研究興趣.[1-8]本文將討論一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型泛函微分方程

(1)

其中y(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ(s)=|s|α-1s，α是常數，n(≥2)是一個偶數.假設下列條件成立：

(H1)p(t)，q1(t)，q2(t)∈C(I，[0，∞))，I=[t0，∞)，0≤p(t)≤p<1；

(H2)βn>βn-2>…>β2>α>βn-1>βn-3>…>β1>0均為常數；

當m(t)=0，n=2時，方程(1)就是文獻[6]所研究的方程.本文的目的是建立方程(1)的若干振動準則，從而文獻[6]結論為本文結果的特例，并推廣了文獻[7-8]的相應結果.關于本文中的函數不等式，如果沒有特別說明，都是對一切充分大的t成立.

2　主要結果

引理1設x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1≥t0，使得y(t)>0，y′(t)>0，y″(t)≤0，t≥t1.

證明設x(t)是方程(1)的最終正解，由條件(H1)和(H4)，

下證y′(t)>0. 事實上，若存在t1≥t0，使y′(t1)<0，注意到

是t的減函數，有

從t1到t積分得

注意到r′(t)>0，可得y″(t)≤0，t≥t1.

引理2設x(t)是方程(1)的最終正解，且存在某個i0∈{1，2，…，n}，使得

(2)

證明設x(t)是方程(1)的最終正解，由引理1知y′(t)>0， 從而x(t)>(1-p)y(t). 再由方程(1)得

(3)

定義函數φ(t)=y(t)-ty′(t)，則φ′(t)=-ty″(t)>0，故φ(t)單調增加且最終定號.

(4)

聯合(3)—(4)式，

即

對上式積分，有

上式中令t→∞，這與(2)式矛盾，因此φ(t)>0成立.

證明設f(x)=lnx，因f″(x)<0，故f(x)是當x>0時的嚴格凹函數，所以

定理1設存在某個i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且存在函數ρ(t)∈C1(I，(0，∞))，使得

(5)

其中

(6)

(7)

則方程(1)是振動的.

證明設x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，可設x(t)>0，t≥t0.由引理1，y(t)>0，y′(t)>0，t≥t1.令

(8)

則

利用(3)和(8)式，

(9)

由引理3，可得

其中σ(t)≤min{σ1(t)，σ2(t)，…，σn(t)}，ki(i=1，2，…n)由(7)所定義.

因此(9)式化為

(10)

(11)

聯合(7)，(10)—(11)式，

(12)

再由引理4，

(13)

對上式積分得

令t→∞，注意到(5)式，有W(t)→-∞，這與W(t)>0矛盾. 因此方程(1)沒有最終正解，故方程(1)振動.

推論1設存在某個i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且

(14)

則方程(1)是振動的.

證明只需在定理1中取ρ(t)=1即可.

下面給出方程(1)的Kamenev型振動準則.

定理2設除(5)式外定理1的全部假設都成立.若當n>1時，

(15)

其中Q(t)由(7)式定義，則方程(1)是振動的.

證明如同定理1的證明，設x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，設x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0，x(σ2(t))>0，t≥t1，故有y(t)>0. 令W(t)的定義同(8)式，則W(t)>0，t≥t1，且(13)式成立，從而

注意到

有

因此

上式與條件(15)矛盾. 定理2證畢.

下面利用Philos型的積分平均技巧[10]，得出方程(1)新的振動定理.為此引進如下一類函數C. 令D={(t，s)|t≥s≥t0}，D0={(t，s)|t>s≥t0}.函數H(t，s)∈C(D，R)稱為屬于C類，記作H∈C，如果：

(ⅰ)H(t，t)=0，t≥t0;H(t，s)>0，(t，s)∈D0.

(16)

定理3設存在某個i0∈{1，2，…，n}，使得(2)式成立，且存在函數ρ(t)∈C1(I，(0，∞))和H∈C，使得

(17)

其中h(t，s)由(16)式定義.則方程(1)是振動的.

證明設x(t)是方程(1)的非振動解，不妨設x(t)>0，x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0，x(σ2(t))>0，t≥t1，故有y(t)>0. 令W(t)的定義同(8)式，則W(t)>0，t≥t1，且(12)式成立. 記

則由(12)式得到

對上式利用引理4且注意到A(s)的定義，有

因此

上式與條件(17)矛盾. 定理3證畢.

[1]ELBERT A. A half-linear second order differential equation[J]. Acta Mathematica Hungarica，1987，49:487-508.

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[4]朱剛，任洪善，俞元洪.具有連續分布時滯的非線性中立型雙曲微分方程解的振動性[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2007，39(2):6-10.

[5]林文賢. 具有阻尼項的中立型Emden-Fowler方程的區間振動準則[J].韓山師范學院學報，2011，32(6)：8-11.

[6]林丹玲. 半線性中立型二階時滯微分方程的振動準則[J].安徽大學學報，2015，39(1)：15-20.

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[10]PHILOS CH G. Oscillation theorems for linear differential equation of second order[J]. Arch Math，1989，53(3)：483-492.

(責任編輯：李亞軍)

Oscillation for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple delays

LIN Wen-xian

(College of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou 521041，China)

By using Riccati transformation method and Young’s inequality，some new interval oscillatory criterion for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple de1ays are obtained. The results generalize and improve some known results.

generalized Emden-Fowler functional differential equations；oscillation criteria；damping terms

1000-1832(2016)03-0025-05

2015-04-10

廣東省自然科學基金資助項目(S2013010013372)；廣東省高等教育教學改革項目(GDJG20142396)；廣東省高等學校特色創新項目(2014GXJK125).

林文賢(1966—)，男，教授，主要從事泛函微分方程理論及其應用研究.

O 175.13[學科代碼]110·51

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.006