對教科書細節的研讀與思考例析
——以勾股定理為例

王傳利

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶　526061）

對教科書細節的研讀與思考例析
——以勾股定理為例

王傳利

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶526061）

以義務教育課程標準實驗教科書（人教版）8年級下冊中“勾股定理”為例，以13個教學細節為切入點，說明如何研讀教科書.教師應抓住關鍵性教學細節認真研讀教科書：重點研讀特定教學內容的核心提示語，明確教學的主要內容，確定教學主題；整體解讀特定教學內容，將之劃分為不同教學模塊，確定具體教學流程；仔細研究各教學模塊，基于教學點獲得關于特定教學內容的學科教學知識.

數學教科書；閱讀；數學思想方法；教學細節；教學點

教師在課堂教學中對每個細節的落實與把握，是在數學課堂教學中取得良好教學效果的根本保障，“教學細節”是一個應該得到充分重視的教學要素［1］.教師只有認真研讀教科書，將之讀懂、讀透，善于發掘教科書中易為人忽視的細節，才能取得良好的教學效果.教師認真研讀教科書是正確使用教科書的前提和保證，是教師提高教學效果的基礎.本文中，筆者以義務教育課程標準實驗教科書（人教版）8年級下冊中“勾股定理”為例，解析教師應如何研讀教科書.之所以選擇勾股定理為例，是因為勾股定理在數學學科中具有典型性和代表性，有利于培養學生觀察、發現、分析、解決問題的能力，還有利于提高學生的數學計算、論證、推理能力，正因為如此，勾股定理長期以來一直是教學與研究的熱點問題之一.

1　研讀教科書應從教學細節入手

教學細節是構成教學行為的最小單位，只有處于教學關節點、連接點上的教學行為，才具有推動、激活、連接、延續教學過程的功能［2］50.教學活動中直接影響教學目標落實及教學流程合理化的舉足輕重的關鍵環節，稱之為“關鍵性細節”［3］.教學細節包括某一特定教學內容的每個教學要點（如數學史、數學思想方法、數學問題情境引入、問題串的設計、學生的已有知識、困惑以及試誤、例習題的精選等）［4］.這些教學點鏈接著教學過程的各個環節，有的蘊含在某個教學環節里，有的則處于前后教學環節的銜接處.教師只有抓住教學中的細節，才能在課前完成對教學的預設，從而為在教學中實施并完成教學目標打好基礎.

課程標準與教材對教學具有一定的先天性預設，規定了教學所應達成的培養目標和基本要求，以及達成目標的主要方式和途徑，而作為教學組織者的教師對此認識的程度和內化水平，決定著教學預設水平的高低［2］49.教師應認真研讀教科書，抓住教學細節仔細研究教科書中的特定教學內容，對各教學點進行認真思考，制定相應的教與學策略，從而獲取關于特定教學內容的學科教學知識.很多優秀教師都具備這方面素養，他們總能敏銳地捕捉教學細節，對教科書編寫者的意圖、數學史的融入、數學思想方法的挖掘、問題串的設計及數學知識的本質有整體而全面的把握與認知，從而能夠做到合理使用與改造教科書，完成對教科書的“二次開發”，踐行“用教材教”而非死板地“教教材”.

2　基于教學細節研讀數學教科書

精致教學理論認為學習過程應該先有整體概念藍圖，再逐一建構內容知識，其目的是使學習者在學習局部細節知識之前，先在腦中建立一個概念地圖，即對整個學習任務有個清晰的整體概念模型.當教學目標和需求確定后，應選擇一項最簡單、最有代表性的教學內容作為“綜述”層面的內容，然后按照細節性、復雜性、具體性遞增的方式，逐級設置其他精致層面［5］.基于此，在研讀教科書時，教師應遵循自上而下、從整體到部分的教學序列，明確研讀的目的和任務，帶著問題驅動自己閱讀.首先，教師要找到教學的主要內容，確定教學主題；其次，教師應劃分教學模塊，確定教學流程；最后，教師應基于教學細節認真研讀教科書，獲得關于特定教學內容教與學的策略.

2.1重點研讀，明確教學的主要內容和教學主題

2.1.1研讀教科書時，應先確定教學的主要內容

教師在進行特定教學內容教學時，首先要明確教學的主要內容.數學教學的主要內容多是明確顯示在教科書上的，那就是特定教學內容的核心提示語—數學概念、法則、定理、公式，一般以黑體字或加粗予以標示，義務教育課程標準實驗教科書則以藍色字體標示.勾股定理一節的核心提示語——“命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.”就是教與學的主要內容.

2.1.2確定教學主題

數學教學是著重于傳授知識還是發展能力，在業界歷來存有爭議.按照新課程標準，教師在向學生傳授知識的同時，還要特別注重培養學生的數學素養，培養學生用數學思想方法提出問題、觀察問題、分析問題和解決問題的能力，為此，教師需要認真思考講授內容以便確定教學主題.

具體到勾股定理的教學，一般有2種教學主題：一種是介紹勾股定理的數學史與數學文化；一種是探究與發現勾股定理.前者基本上靠教師直接講解，后者則由教師引導學生自主發現并得出結論.雖然教科書勾股定理一節中蘊含著豐富的數學史知識，新課改也強調適當向學生介紹數學史與數學文化，但教師應分清主與輔且要講究方式方法，若只是對歷史信息的直接和簡單運用，則僅屬于對數學史知識運用的較低層次［6］.教師應明確以后者為教學主題，因為其能較好地體現三維課程目標，對培養學生的數學素養更為有益.

2.2整體研讀特定教學內容，劃分教學模塊，確定教學流程

課堂教學中涉及3條思路：教師教的思路，學生學的思路和教材本身所固有的邏輯思路（即教學內容中各知識點之間的本質聯系）.優秀執教者能在一節課中成功地將3條思路融合為一，形成特定的主題線索［7］.通過研讀教科書，可以發現勾股定理一節具體可分為8個教學模塊（見表1）.據此可以初步確定本節課的教學流程：引入—探究—猜想—證明—應用—小結，這是教科書提供給教師的一個基本教學框架（見圖1）.

對教科書上的幾大模塊進行分析，可知其符合所確立的教學主題.如果勾股定理的教學重點放在發現、探究和證明該定理上，則所用時間會較長，且一節課很難較全面地介紹數學史知識.本節課應分為2個課時：第1課時為勾股定理的探究、證明及簡單應用（即教科書上的前4個模塊和模塊Ⅶ）；第2課時為勾股定理的應用（即教科書上的后4個模塊）.

表1　勾股定理的教學模塊

圖1　勾股定理閱讀教科書流程圖

2.3仔細閱讀，基于教學細節獲得關于教與學的學科教學知識

在對教科書本身固有的邏輯思路分析透徹后，教師就應該根據各教學模塊劃分的教學過程，思考其教的思路和學生學的思路.評價一節課的優劣，首先要看教師教學的思路是否清晰，即教學流程是否科學、自然而得體.一般每節課思路和流程的形成至少要借助于2個關鍵性細節，關鍵性教學細節起著不可忽視的整合作用［8］，因此，教師在研讀教科書過程中要注意對教學細節的挖掘與思考.具體到勾股定理教學，教師需要思考如下13個教學細節（見表2）.

教學細節1～3屬于教學模塊Ⅰ，教學細節4～6屬于教學模塊Ⅱ，教學細節7～9屬于教學模塊Ⅳ，教學細節10與11屬于教學模塊Ⅵ，教學細節12與13屬于教學模塊Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，而教學細節1，3，5，7，12，13又將各教學模塊串成一個整體.這13個教學細節將勾股定理的引入、探究、猜想、證明和應用有機地聯結為一體，聚焦于以下3個問題.

表2　勾股定理的13個教學細節

2.3.1在勾股定理的教學中注意滲透數學思想方法和數學史

1）在教學中運用所挖掘的數學思想方法進行教學.評價一堂數學課的教學質量，首先要關注教師在教學過程中是否揭示出數學的本質，讓學生體悟到數學思想方法.一堂數學課如果能使學生體會到其中的數學思想和方法，就屬于高品位的數學教學［9］88.教師不僅要通過研讀教科書挖掘其中蘊含的數學思想方法，還要懂得如何在教學中使用和滲透數學思想方法.

教師根據核心提示語找到關鍵詞語，再研讀教學模塊即可確定特定教學內容蘊含的數學思想方法.在勾股定理教學中，教師根據核心提示語“命題1”，找到關鍵詞語“直角三角形和a2，b2，c2”，再結合教學模塊Ⅱ，Ⅲ，Ⅶ，可以確定本節課蘊含數形結合、特殊—一般—特殊、化歸、割補等數學思想［10-11］.在實施教學時，教師應靈活使用這些數學思想方法：a.利用數形結合思想，借助以a，b，c為邊的正方形的面積可以探究和證明定理（拼一拼）；b.在形成定理的過程中，先由易于計算的特殊直角三角形獲得命題1，然后猜想對于一般直角三角形也有命題1，再應用獲得的勾股定理，這是對“特殊—一般—特殊”數學思想的靈活應用；c.在探究定理的過程中，利用割補法可求出斜放正方形的面積；d.在探求過程中，利用化歸思想，可將“求斜放正方形的面積問題”轉化為“求正放正方形和直角三角形的面積問題”；e.在小結環節，教師應再次引導學生回顧本節課運用了哪些數學思想方法.按照以上方法施教，學生就可以在教師引導下于觀察、探究、猜想、驗證的教學過程中習得數學思想方法.

2）在教學中正確運用勾股定理中的數學史知識進行教學.教科書中的教學模塊Ⅰ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅶ和Ⅷ中均含有數學史知識，教學細節1，3，5，7，8和11則都涉及對數學史的思考.雖然勾股定理涉及的數學史知識十分豐富，但教師在實際教學中應有選擇性地加以應用.在課堂引入部分，可以考慮借助“畢達哥拉斯的地板磚”；在證明環節，則宜適當引入趙爽弦圖、畢達哥拉斯證明或總統證明；在得到定理環節，可以適當介紹“勾三股四弦五”的故事和百牛定理；至于勾股定理的發現與證明等相關數學史知識，教師可以讓學生在課下進行收集與整理，專門開展勾股定理的主題匯報活動，而這正是教科書教學模塊Ⅷ的目的所在.

2.3.2講好勾股定理的引入、探究和證明

教學模塊Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ為勾股定理的引入、探究和證明環節，而教學細節1，3，5～9和11正是針對這幾個模塊教與學的思考.勾股定理的引入、探究和證明應是一個一脈相承的有機整體，讓學生由畢達哥拉斯的發現想到如何進行探究，由自主探究自然地得出勾股定理的過程及證明思路，這是數學教師的教學追求.

1）教學模塊Ⅰ有2點作用：一是通過數學史的引入，讓學生體悟到大數學家畢達哥拉斯發現勾股定理的過程；二是可以為教學模塊Ⅱ提供探究思路.如果對模塊Ⅰ的這2點作用認識不到位，教師就不能很好地引導學生發現和探究勾股定理，也就難以由此順利得出勾股定理的證明.勾股定理的引入、探究和證明，用到了正方形的面積和“勾股樹”知識（見圖2）.教師應引導學生以等腰直角三角形的3邊向外做3個正方形來解釋勾股樹，這正好與教科書中如下結論相吻合：“可以發現，以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.”

圖2　勾股樹

2）關于勾股定理的探究.在探究勾股定理環節中，教師需要做到如下幾點：

a.教師應敢于放手讓學生嘗試直接用尺子度量直角三角形3條邊的長，由此得到命題1.通過對幾個直角三角形的測量學生會發現，由于得到的數據不總為整數，他們很難猜想歸納出命題1，這就迫使學生必須尋求新的探究方式.

b.為了解決測量3條邊所得數據不總為整數這個問題，學生必須正視教科書中畢達哥拉斯的發現，進而需要借助勾股樹進行探究.

c.教學模塊Ⅱ提供了網格線，教師應引導學生將地板磚抽象成教科書中的網格線.先要去掉地板磚上的裝飾及每個正方形的對角線，得到大的方格線；繼而把大方格線縮小至網格線（每個小正方形的邊長設定為1，見圖3）.正確制作幾何畫板，借此形象地向學生演示網格線的形成過程，對教師是一個較大的挑戰.

圖3　網格線的形成過程

弗賴登塔爾［9］82曾經說過：“沒有一種數學思想如當初剛被發現時那樣發表出來.一旦問題解決了，思考的程序便顛倒過來，把火熱的思考變成冰冷的美麗.”雖然教師無法追溯畢達哥拉斯的探究思路，但至少可以洞悉教科書編寫者的意圖.數學教師有責任并且要有能力引領學生親歷探究過程，同時要注意培養其動手操作和類比遷移的能力.

d.正確引導學生利用網格線探究勾股定理.有了教學細節5的考慮，學生自然能聯想到利用網格線進行探究.為了能將直角三角形放入網格線中，可借助畢達哥拉斯的發現，啟發學生將直角三角形的2條直角邊置放于整格部分，并且利用直角三角形的3條邊向外作3個正方形得到勾股樹（見圖4），之后探究3個正方形的面積關系即可.教師應啟發學生思考為何正方形正放好求解而斜放不好求解，從而引導其將“斜”化歸為“正”；之后，進一步引導學生利用割補法計算斜放正方形面積并完成表格3.

圖4　割補法的使用和講解

表3　勾股定理探究表

表3的設計很重要，它向學生明示了研究方向，從畢達哥拉斯到學生的探究都是從面積關系入手考慮的，符合我們研讀教科書得到的關鍵詞語.相比顧泠沅［9］253的勾股定理教學設計，它省略了討論“2ab+1=c2”，直奔主題“a2+b2=c2”，這就是研讀教科書的益處.教科書中并沒有給出表3，教師只有認真研讀教科書才能設計出合理的表格.

3）關于勾股定理的證明.教科書在教學模塊Ⅳ和Ⅷ分別給出了趙爽弦圖、畢達哥拉斯證法、弦圖的另一種證法及總統證法.教師需要靠其自身的教學智慧，選擇恰當的證法證明勾股定理.為此，教師必須讀透讀懂教科書，才能真正理解編寫者的意圖.

a.教科書在探究得出命題1后給出了利用趙爽弦圖證明勾股定理的方法，這使得探究和證明銜接不良，顯然不符合確定的教學主題.在實際教學中，許多教師認為勾股定理的證明思路學生不易想到［12］，而且，從學生體驗知識發現過程的角度看，要讓學生循著前人的思考路徑“再發現”勾股定理是不現實的［13］.根據教學細節4～6的思考，在學生經過探究后可順利得出如圖5的勾股定理證明過程.基于以上原因，教師應在探究得出命題1后先采用“拼一拼”的證法，之后，再采用趙爽弦圖的證法比較好.

圖5　拼一拼

b.學生對“拼一拼”從嚴格意義上講是否算一種證法存在困惑.教師可結合數學史知識選擇教學模塊Ⅳ中的趙爽弦圖，或者選擇教學模塊Ⅷ中弦圖的另一種證法及畢達哥拉斯證法，延續探究思路向學生說明，古代數學家包括畢達哥拉斯都是通過“拼一拼”的方式證明勾股定理的.

c.學生有可能提出用尺子測量的方法不能得出勾股定理，但可利用幾何畫板通過度量任意直角三角形的3條邊，當3條邊的邊長為小數時，仍有“a2+b2=c2”成立.教師在充分肯定學生想法的同時，要明確告知學生：實驗數據只能增加結論的可靠性，特殊實例永遠代替不了一般規律，命題1只有通過嚴格論證才能稱之為定理.

d.教師應具備動態的知識觀和教學觀.根據關鍵詞語可以悟出：從畢達哥拉斯的發現到勾股定理的探究再到勾股定理的證明，都是借助于“面積相等——以直角三角形3條邊為邊長的3個正方形的面積關系”，因此，不管采用何種證法都要以此為基礎.模塊Ⅷ中的總統證法實際上也是“拼一拼”的證法，可是其在教科書中是以靜態形式呈現的，需要教師認真去讀去悟，動態地生成教與學的策略.

勾股定理的證明方法據說超過400種，大致可歸結為2類：一類是代數法——通過嚴格的演繹方法證明定理；一類是幾何法—通過“拼一拼”的方法證明定理.趙爽弦圖是幾何法的典型代表，歐幾里得證法是代數法的典型代表.歐幾里得證法雖然是用全等三角形證明勾股定理，但對學生來講太復雜，教師不宜在課堂上講授此方法.教師若能多關注、多思索勾股定理證明中所蘊含的數學文化，則其能聯想到的證明方法會更多，在授課中所滲透的數學文化會更精彩，其引導的教學過程也會更具內涵，這對培養學生的數學素養無疑是助益良多的［14］.

2.3.3對教學模塊Ⅵ中勾股定理的應用探究3的思考

教學細節11可引發教師一系列的思考：義務教育課程標準實驗教科書（人教版）分別在平方根、立方根2節中各安排了1道例題說明無限不循環小數，當時并沒有點出無理數的概念；無理數一節僅讓學生在數軸上畫出，卻沒有要求往下畫；勾股定理一節為何給出在數軸上的畫法？平方根、立方根、無理數、勾股定理的先后順序能否打亂？教師若能認真研讀不同版本的教科書和相關的教研論文，再注意考慮勾股定理與三角形的全等與相似、正余弦定理、射影定理、切割線定理及三角函數等前后知識之間的聯系，認真揣摩編寫者的教育理念和編寫意圖，就可以從中獲得許多特定教學內容的學科教學知識.

3　結語

教科書、學生、教師是構成課堂教學過程的3個空間因素，教師研讀教科書時應體悟出3種思路：教師教的思路、學生學的思路、教科書本身固有的邏輯思路.教師要抓住關鍵性教學細節，從學生的立場出發，重新對教科書進行整合與編碼，合理地選擇、優化和創新教學內容，實現從忠實到調適再到創新教科書.教師對教科書的深度解讀與合理設計，為學生的數學思考構造了一條思維的綠色通道［14］，可以使學生對數學知識本質的理解更加全面、清晰、通透［14］.研讀教科書是為了更好地獲取特定教學內容的學科教學知識，每位教師都應下功夫對教科書深研細讀，這是提高教學效果毋庸置疑的基礎與前提.

本文所說的教科書是狹義的教材，是指教師和學生在課堂教學中所用的課本，而說教材是教師之間交流的重要平臺，是傳統說課中重要但又不受重視的環節，也是我們今后研究的方向.

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［3］徐瑞泰.綜合同構法與融會貫通能力的培養［J］.上海教育科研，2007，11：66-67.

［4］王傳利.PCK視角下的數學說課——由勾股定理說課談起［J］.現代中小學教育，2015，31（7）：64-68.

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Reading Up and Thinking of the Details of Textbooks——Take the Pythagorean Theorem as an Example

WANG Chuanli
（School of Mathematics and Statistics，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

ractIn this paper，we select"Pythagorean theorem"in the standard experimental textbook for grade eight of the compulsory education curriculum as an example and explain how to read textbooks from 13 teaching details.Teachers should be teaching and reading textbooks based on students'learning by grasping this crucial details，focus on reading the core of the specific teaching content to determine the main content of the teaching and the teaching theme；overall reading specific teaching content to divide the teaching module，determine the teaching process（teaching link design）；carefully reading the teaching module，obtain Pedagogical Content Knowledge of specific teaching content knowledge.

ordsmathematical textbook；reading；mathematical thinking method；teaching details；teaching points

O174.52

A

1009-8445（2016）02-0022-08

（責任編輯：陳靜）

2015-12-01

廣東省教育科學研究基金資助項目（2013JK179）；肇慶教育發展研究院教育研究重點課題資助項目（ZQJYY201513）

王傳利（1975-），男，山東鄒城人，肇慶學院數學與統計學院講師，碩士.