反向Gauss消元及方陣的UL分解

孔美婷，傅守忠

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶　526061）

反向Gauss消元及方陣的UL分解

孔美婷，傅守忠

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶526061）

討論了求解線性方程組的反向Gauss消元法.首先將方程組變成等價的下三角方程組，再通過代入求解出方程組的解；此外，討論了與此對應的UL分解及其計算方法．

線性方程組；反向Gauss消元；矩陣；UL分解

0　引言

在日常生活和科學研究中，有許多問題需要通過求解線性方程組予以解決.在計算方法中，求解線性方程組常用的直接方法是Gauss消元法.該方法通過消元（即對增廣矩陣進行初等行變換）將方程組化成等價的上三角方程組，再通過回代進行求解.由于矩陣的初等行變換相當于左乘初等矩陣，因此可將Gauss消元法的消元過程看作將系數矩陣做了LU分解（即一個下三角矩陣L乘以一個上三角矩陣U）后，再左乘下三角矩陣的逆矩陣而得［1-3］.

在手工模擬Gauss消元法計算時，常會遇到上三角部分數字絕對值較大，而下三角部分數字絕對值較小的情形.此時大數字要參與多次運算，計算很不方便.本文模仿Gauss消元法給出一種反向消元法，即將方程組消元為一個下三角方程組再代入求解.它也相當于將系數矩陣分解為一個上三角矩陣U乘以一個下三角矩陣L.

1　反向Gauss消元法

設有線性方程組Ax=b，其中

若設ann≠0，依次將增廣矩陣第n行的-ain/ann倍加到第i行（i=n-1，…，1），則方程組的增廣矩陣變為

然后，自上而下代入即可求得方程組的解

2　方陣的UL分解

根據線性代數理論可知，對增廣矩陣所做的初等行變換，相當于依次左乘可逆矩陣

其中，k=n，n-1，…，2.令

M=M2M3…Mn，

則

由于Mk都可逆，且

仍是上三角矩陣，所以M也可逆，且U:=M-1也是上三角矩陣.因而A可分解為A=UL.矩陣U和L的元素也可通過如下待定參數法得到.設

依次相繼比較UL與A的第k列和第k行（k=n，n-1，…，1），可得即

例1 求解方程組

解對增廣矩陣使用反向消元

使之成為下三角方程組.由第1個方程可得x1=-1，代入第2個方程，得x2=1；一起代入第3個方程，得x3=1.

若采用常規的Gauss消元法，則會產生分數，使計算過程復雜化.

應用公式（1）和（2），按順序l31，l32，l33，u13，u23，l21，l22，u12，l11可求得上述方程組系數矩陣A的UL分解

這樣，解原方程組Ax=b就等價于先用回代求解上三角方程組Uy=b，即

得y=（11，-1，1）T，再代入求解下三角方程組Lx=y，即式（3）右邊矩陣為增廣矩陣對應的方程組，即可得解x=（-1，1，1）T.

記矩陣A的第i行、第i列到第n行、第n列的元素組成的子式為

證與矩陣LU分解的相應定理類似（可參見［4］中定理1.1.2）.

［1］令鋒，傅守忠，陳樹敏，等.數值計算方法［M］.2版.北京：國防工業出版社，2015.

［2］令鋒，傅守忠，陳樹敏，等.數值計算方法復習與實驗指導［M］.2版.北京：國防工業出版社，2015.

［3］喻文健.數值分析與算法［M］.北京：清華大學出版社，2012.

［4］徐樹方，高立，張平文.數值線性代數［M］.北京：北京大學出版社，2013.

Abstracttract：This paper discusses the reverse Gauss elimination which changes the linear equations into equivalent lower triangular equations，then gets the solutions by substitution.The UL decompositions of matrices are also discussed and its computation methods are given.

Keywordswords：linear equations；reverse Gauss elimination；matrix；UL decomposition

（責任編輯：陳靜）

Reverse Gauss Elimination for Equations and UL Decomposition of Matrices

KONG Meiting，FU Shouzhong
（School of Mathematics and Statistics，Zhaoqing University，Zhaoqing，Guangdong 526061，China）

O151.2；O241.6

A

1009-8445（2016）02-0009-03

2015-11-20

廣東省教學質量工程建設項目（粵高教函［2015］133號）

孔美婷（1993-），女，廣東汕尾人，肇慶學院數學與統計學院2011級學生.

傅守忠（1966-），男，內蒙古卓資人，肇慶學院數學與統計學院副教授，博士.