雙絲杠驅動進給單元軸向剛度模型及影響因素分析

許向榮，鹿群鵬，宋現春，姜洪奎

(山東建筑大學 機電工程學院,山東 濟南 250101)

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雙絲杠驅動進給單元軸向剛度模型及影響因素分析

許向榮，鹿群鵬，宋現春，姜洪奎

(山東建筑大學 機電工程學院,山東 濟南 250101)

雙絲杠驅動進給單元在高性能數控機床中的應用較為廣泛，研究其動態特性對于提高數控機床的加工性能具有重要的意義。文章基于關鍵滾動功能部件結合面剛度各個方向耦合的影響，圍繞雙絲杠驅動進給單元軸向剛度進行了研究分析，通過研究雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度模型，結合動力學和Hertz接觸理論的相關知識，推導其各組成部分的剛度計算公式，探索其主要影響因素及關系曲線。結果表明：雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度主要受到滾珠絲杠副、支承軸承的結構參數，螺母位置以及兩根絲杠跨距的影響；支承軸承結構參數的變化，會引起進給單元軸向剛度的明顯變化；螺母位置是進給單元軸向剛度的主要影響因素，在兩端固定的方式下其軸向剛度中間最小，在機床加工過程中，應盡量避免在絲杠的中間位置進行操作。

結合面；雙絲杠驅動； 進給單元； 軸向剛度

0　引言

與傳統的單絲杠驅動進給系統相比，雙絲杠驅動進給系統有很大的優勢，如高精度、高剛度、低振動等，因此，雙絲杠驅動進給系統日益成為高性能數控機床、加工中心研究領域的一個熱點[1-3]。

目前，國內外學者紛紛圍繞雙絲杠驅動進給系統展開了理論和實驗方面的研究。Hiramoto等介紹了重心驅動原理，設計了工作臺和主軸均采用重心驅動的機床模型和實際的雙驅動進給系統的實驗模型，通過實驗發現重心驅動進給系統可以明顯地減小機床的振動[1]，但是缺乏理論支持。Gomand等采用理論建模的方法，建立了龍門數控機床雙驅動進給系統的數學模型，推導了絲杠軸向振動方程，并分析了絲杠變形對其靜動態特性的影響[2]。

而國內這方面的研究起點較晚，但隨著高性能數控機床的快速發展，各科研院所也加快了對雙驅動進給系統的研究。何王勇等僅考慮雙滾珠絲杠同步驅動軸的同步軸間負載耦合關系及絲杠、螺母的軸向扭轉耦合關系的影響，建立了其動力學模型，推導了動力學方程，并對其固有頻率進行了理論計算[3]。唐余林和芮執元等以銑車復合加工中心雙驅進給系統為研究對象，將雙絲杠耦合轉化到橫梁的各個方向上的運動，建立了雙驅進給系統動力學模型及其動力學方程，并進行了模態分析與諧響應分析，找到了系統的薄弱環節，并對其進行了優化[4-5]。郭崇高等采用有限元分析和虛擬樣機技術，建立了雙驅動進給系統動力學模型，采用拉格朗日方程，推導了系統運動微分方程，獲得了其主要模態參數，最后對其進行了模態分析和諧響應分析，得出兩對導軌滑塊與兩根絲杠跨距等對系統動態性能的影響，并提出了相應的改進措施[6]。丁喜合等建立了二自由度系統振動模型，采用單因素分析方法研究了絲杠跨距和導軌跨距對雙絲杠驅動進給系統動態特性的影響[7-9]。但是對于導軌跨距的影響研究中沒有考慮導軌法向結合面的剛度。白茹通過拉格朗日方程在廣義坐標下的變換建立了雙驅滾珠絲杠進給系統的實體模型，并設計了加工中心雙驅進給系統動態性能實驗平臺，對雙驅滾珠絲杠進給系統的動態特性進行了分析，提出了雙驅進給系統的改善措施,為進一步研究奠定了理論基礎[10]。夏田等建立了雙絲杠驅動工作臺動力學模型，找到了位置響應的主要因素，對重心驅動工作臺結構進行了改進，并建立了有限元分析模型，進行了模態分析和諧響應分析。其研究發現進給軸剛度是影響位置精度的關鍵因素，恰當選擇導軌的間距對提高工作臺的動態響應性能有重要的作用[11]。楊勇等采用理論建模的方法，對MCH63臥式加工中心“重心驅動”機構建立了動力學模型，通過實驗獲得了導軌結合面的剛度和阻尼值，并計算分析了導軌結合面剛度、阻尼值及“重心驅動”結構對機床動力學性能的影響[12]。

上述對于雙絲杠驅動進給系統的研究,多數采用建立動力學模型，推導動力學方程，有限元模態分析和諧響應分析的思路對進給系統動態特性進行研究，沒有專門針對系統剛度進行的研究。因此，文章考慮結合面剛度各個方向耦合的影響，建立了雙絲杠驅動進給單元的動力學模型，并在此基礎上建立了其軸向剛度模型，分析研究了影響進給單元剛度的主要因素，獲得了其相應的關系曲線，為后面分析雙絲杠驅動進給單元的動態特性奠定了基礎。

1　雙絲杠驅動進給單元組成

雙絲杠驅動進給單元結構組成示意圖，如圖1(a)所示，主要包括：兩臺相同型號的伺服電機，兩套相同型號的滾珠絲杠副，兩套相同型號的支承軸承，兩套相同型號的直線滾動導軌副以及拖板組成。由兩臺伺服電機同步驅動兩套滾珠絲杠副帶動拖板沿著直線滾動導軌副做往復直線運動，實現進給驅動。

2　單元軸向剛度模型

由于60%的機床振動產生于其結合部[13-14]，因此在研究雙絲杠驅動進給單元的動態特性時，不能忽略結合面的影響，尤其是其主要滾動功能部件，如滾珠絲杠副、滾動軸承、直線滾動導軌副結合部的影響。這三種部件作為雙絲杠驅動進給單元的關鍵部件，其變形及剛度對整個系統的變形及剛度特性都有很重要的影響。因此，在該部分里，文章依據動力學相關理論，建立了雙絲杠驅動進給單元動力學模型，如圖1(b)所示。并在此基礎上建立了進給單元的軸向剛度模型。然后，基于Hertz接觸理論[15]，推導了滾珠絲杠副、支承軸承結合面的接觸變形和接觸剛度的計算公式，進而獲得進給單元的軸向剛度計算公式；最后，通過實例計算分析研究了其各個設計參數對進給單元軸向剛度的影響。

依據圖1(b),可以建立雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度模型，如圖1(c)所示。

圖1　雙絲杠驅動進給單元圖(a) 結構示意圖；(b)動力學模型；(c) 軸向剛度模型

從圖1(c)可以看出，由彈簧串、并聯的剛度系數計算方法可得出雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度由式(1)、(2)表示為

(1)

式中：Kfi(i=1、2)為第i根滾珠絲杠傳動系統的軸向剛度，N/mm，可以根據式(2)進行計算，Ksi(i=1、2)是滾珠絲杠副結合面的軸向剛度，N/mm；kφsi(i=1、2)是滾珠絲杠扭轉—軸向耦合剛度，N/mm；Kbbil(i=1、2)、Kbbir(i=1、2)分別是左、右端支承軸承結合面的軸向剛度，N/mm；Kφbbil(i=1、2)、Kbbir(i=1、2)分別是左端軸承扭轉—軸向耦合剛度，N/mm；Ksgi(i=1、2)是由拖板耦合引起的滾珠絲杠軸向剛度，N/mm。

2.1滾珠絲杠副結合面的軸向剛度計算

相關研究表明，兩個曲面物體互相接觸、擠壓，其在接觸部位的應力分布與接觸面的形狀、尺寸及表面粗糙度等許多因素有關[14]。1881年，Hertz指出兩光滑彈性體在相互作用的力下發生的接觸變形及應力分布應滿足Hertz接觸假設[15]：

(1) 接觸物體只產生彈性變形，服從胡克定律。

(2) 接觸表面充分光滑，不考慮接觸面的介質以及動摩擦力的影響。

(3) 接觸面的尺寸與接觸物體表面的曲率半徑相比是小量。

滿足上述假設的接觸為赫茲接觸。

在上述假設下，忽略工作載荷分布不均勻的影響，單螺母絲杠副在法向載荷Q作用下，螺母滾道面

與絲杠滾道面間由于法向彈性接觸變形所產生的彈性變形量[16-18]δn由式(3)表示為

(3)

根據幾何關系，可以得到絲杠相對于螺母的軸向彈性位移δa由式(4)表示為

δa=δncosλ/sinβ

(4)

將式(3)帶入式(4)，可得單螺母滾珠絲杠副的載荷變形關系由式(5)表示為

(5)

式中：Fa為螺母受到的軸向推力，N，Fa=zQsinβcosλ；β、λ分別為滾珠絲杠副的接觸角和螺旋升角，°；z為滾珠絲杠副的滾珠數目。

將式(5)兩邊分別對δa求導，可得單螺母絲杠副的軸向接觸剛度式(6)為

(6)

通常采用雙螺母預緊的方法減小或消除滾珠絲杠副的軸向間隙，以提高其軸向接觸剛度。因此，在上述單螺母滾珠絲杠副研究上，可以得到雙螺母滾珠絲杠副結合面的軸向接觸剛度Ksi(i=1,2)[13]由式(7)表示為

(7)

式中：PP為絲杠上承受的預緊法向力，N；F為軸向載荷，N。

由式(7)可以看出，在軸向載荷作用下，雙螺母滾珠絲杠副結合面的軸向接觸剛度與軸向載荷、預緊力、螺旋升角、接觸角等幾何參數有關。

2.2拖板引起的滾珠絲杠軸向剛度計算

工作過程中，除了軸向載荷會引起單根絲杠軸向變形外，拖板會使得兩根絲杠產生耦合變形，進而影響到進給單元的軸向動態變形量。在軸向載荷作用下，絲杠會發生拉壓變形，其大小與兩端的支承方式及螺母的工作位置有關。設支承方式為兩端固定方式，由于兩根滾珠絲杠通過拖板連接在一起，假設兩根絲杠不能實現同步運動，則勢必會出現如圖2所示的耦合作用。

圖2　兩端固定安裝方式示意圖

圖2中，lsi(i=1,2)為絲杠i支承與螺母間的距離，mm；lsgi(i=1,2)為絲杠i的長度，mm；ly為兩根滾珠絲杠跨距，mm。

由圖2可以看出幾何關系式(8)為

ls2=lyθ+ls1

(8)

因此，對于單根滾珠絲杠來說，其軸向變形量式(9)、(10)為

(9)

(10)

式中：δs1、δs2分別為絲杠1、2的軸向直線位移量，mm；F為絲杠的軸向載荷，N；d1為絲杠的螺紋內徑，mm；θ為兩根絲杠不同步時，拖板的扭轉角度；lsi(i=1,2)為絲杠i支承與螺母間的距離，mm；lsgi(i=1,2)為絲杠i的長度，mm；ly為兩根滾珠絲杠跨距，mm；E為材料的縱向彈性模量，鋼的E=207 GPa。

因此，由拖板引起的滾珠絲杠軸向剛度由式(11)、(12)表示為

(11)

(12)

從式(11)，(12)中可以看出，影響進給單元中拖板引起的滾珠絲杠軸向剛度的主要因素有：兩根絲杠的跨距ly，螺母的位置ls1以及兩根絲杠不同步時拖板的扭轉角度θ。

2.3滾珠絲杠的扭轉—軸向耦合剛度計算

在驅動力矩和軸向載荷作用下，滾珠絲杠時會產生扭轉變形，從而引起螺母軸向位移，因而會影響絲杠軸向動態變形量。根據材料力學相關知識，可得兩端固定時單根滾珠絲杠在扭矩作用下產生的軸向變形量由式(13)表示為

(13)

因此，絲杠的扭轉—軸向耦合剛度式由(14)表示為

(14)

2.4支承軸承結合面的軸向剛度計算

鑒于滾動軸承與滾珠絲杠副結構和受力的相似性，之前求滾珠絲杠副軸向接觸剛度計算時的假設條件，仍適用于支承系統軸向剛度的計算，且單滾珠絲杠副軸向接觸剛度計算分析方法也同樣適用于支承系統軸向剛度的計算。因此，忽略工作載荷分布不均勻的影響，設螺旋升角，則支承軸承結合面的軸向剛度式(15)為

(15)

由于絲杠工作時對滾動軸承的軸向和徑向作用力比較小，可以忽略不計，所以此處認為軸向力Fa為滾動軸承的預緊力。

從式(15)可以看出，影響支承軸承結合面軸向剛度的主要因素有：滾珠個數，接觸角及密合度。根據絲杠兩端軸承的布置方式以及彈性體串并聯時的剛度計算公式即可對進給單元支承軸承的軸向剛度Kbbi進行計算。

2.5支承軸承的扭轉—軸向耦合剛度計算

相對于滾珠絲杠的扭轉變形，支承軸承的扭轉變形Kφbbi可以忽略不計，因此其對軸向剛度的影響也可以忽略不計。

Kφbbi=0

(16)

3　單元軸向剛度影響因素分析

從第2部分分別得到了雙絲杠驅動進給單元剛度模型中各部分的剛度計算公式，因此只要已知滾珠絲杠副和支承軸承的結構參數，就可以得到整個進給單元的軸向剛度。下面通過具體實例計算，采用單因素分析方法對進給單元的軸向剛度影響因素進行分析，其中滾珠絲杠副和支承軸承的具體參數見表1和2。

表1　G3210—4滾珠絲杠副結構參數

表2　角接觸球軸承結構參數

從圖3中可以看出，雙絲杠驅動進給單元軸向剛度主要受到滾珠絲杠副、支承軸承的結構參數，螺母位置以及兩根絲杠跨距的影響為

(1) 雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度隨著滾珠絲杠副的接觸角、預緊力、滾珠數目以及螺旋升角的增大而增大，而呈非線性變化。其軸向剛度隨著曲率比的增加而明顯降低。軸向載荷的增加使其軸向剛度呈線性增大。

(2) 增大支承軸承的接觸角，滾珠數目都可以使其軸向剛度有明顯的提高，而且呈非線性變化。其軸向剛度隨著曲率比的增加而線性降低。

(3) 螺母位置對于雙絲杠驅動進給單元軸向剛度有顯著的影響，還跟支承方式有直接的關系，此處選擇兩端固定的方式，因此，其軸向剛度兩端最大，而中間最小；兩根絲杠跨距的增加使其軸向剛度呈線性增大；拖板扭轉角使得軸向剛度非線性增大。

但是，可以發現雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度受支承軸承結構參數，尤其是受軸承接觸角的影響比較大，變化范圍比較顯著。

因此,在設計時需要尋找最優滾珠絲杠副和支承軸承的結構參數，合理布置螺母位置、選擇絲杠的跨距，有利于提高雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度。

為了找到影響雙絲杠驅動進給單元軸向剛度的主要因素，對以上各部分進行了比例計算，計算結果如圖4所示，其中，拖板引起的絲杠耦合剛度所占比例最大。因此，影響拖板引起的絲杠耦合剛度的主要因素，便是影響進給單元軸向剛度的主要因素。由式(9)、(10)和圖3可以看出螺母位置是影響進給單元軸向剛度的主要因素。螺母處于絲杠中間位置時進給單元的剛度最小，因此，在機床加工過程中，盡量避免在此位置進行加工操作。

圖3　進給單元影響因素分析關系曲線圖(a) 絲杠軸向載荷的影響 ；(b) 絲杠預緊力的影響；(c) 絲杠接觸角的影響 ；(d) 絲杠滾珠個數的影響(e) 絲杠螺旋升角的影響；(f) 絲杠曲率比的影響；(g) 軸承滾珠個數的影響 ；(h) 軸承接觸角的影響(i) 軸承溝曲率半徑系數的影響；(j) 螺母位置的影響；(k) 兩根絲杠跨距的影響;(l) 拖板扭轉角的影響

圖4　進給單元軸向剛度比例計算圖

4　結論

通過上述研究可知：

(1) 雙絲杠驅動進給單元的軸向剛度主要受到滾珠絲杠副、支承軸承的結構參數，螺母位置以及兩根絲杠跨距的影響；

(2) 支承軸承結構參數，尤其是其接觸角的變化，會引起進給單元軸向剛度的明顯變化；

(3) 拖板引起的絲杠耦合剛度所占比例最大，其影響因素——螺母位置是影響進給單元的主要因素。

(4) 當采用兩端固定支承方式時，螺母處于絲杠中間位置時進給單元的剛度最小，要盡量避免機床在絲杠中間位置處進行加工操作。

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(學科責編：吳芹)

The model and influencing factors analysis of axial stiffness of dual ball screw driving feed unit

Xu Xiangrong，Lu Qunpeng, Song Xianchun,etal.

(School of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong Jiangzhu University, Jinan 250101,China)

Abstract： Dual ball screw driving feed unit has been used increasingly in the high performance CNC machine tool, so it is very significant to study the dynamic characteristics of dual ball screw driving feed unit for improving the processing performance of NC machine tool. Considering the coupled influence of the stiffness of key rolling joint surface, the research on axial stiffness of dual ball screw driving feed unit is carried on. An axial stiffness model of dual ball screw driving feed unit is built, stiffness calculation equations of each component are deduced based on dynamics and Hertz contact theory and its main influencing factors and their relationship curves are obtained. The results show that the axial stiffness of dual ball screw driving feed unit changes slightly with the structural parameters of ball screw pair, but changes obviously with the structural parameters of ball bearing. Ball screw span makes the axial stiffness linearly increase. Torsion angle makes the axial stiffness nonlinearly increase. The influence of nut position is related to its support mode. Through calculation of stiffness proportion, nut position is the main influence factor on the axial stiffness: under both ends fixed, the axial stiffness is the largest at both ends and smallest at mid position. As a result, during machining process of CNC, operation at middle position need to be avoided.

joint surface; dual ball screw driving; feed unit; axial stiffness

2015-12-17

國家自然科學基金項目(51205235)；山東建筑大學校內博士基金項目(XNBS1246)

許向榮(1978-)，女，副教授，博士，主要從事機電系統精密測控及系統動力學等方面的研究.E-mail：xt7875@163.com

1673-7644(2016)02-0125-08

TH132.1

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