基于擴展有限元的裂隙巖體錨固數值分析

王校鋒

（海裝上海局，上海　200083）

基于擴展有限元的裂隙巖體錨固數值分析

王校鋒

（海裝上海局，上海200083）

擴展有限元法是近年來提出的在標準有限元框架上解決不連續問題的一種有效數值方法.介紹了擴展有限元分析裂紋擴展的方法，應用擴展有限元法分析了裂隙巖體錨固，在裂紋擴展時引入了損傷準則.計算結果與文獻給出的實驗結果對比表明：擴展有限元法能較為精準地模擬裂紋的擴展，且不需要在裂紋處布置高密度的網格，裂紋擴展時也不需要網格重劃分，為分析裂巖錨固提供了一種有效的模擬途徑.

擴展有限元；裂隙巖體；裂紋擴展；損傷；數值模擬

大量工程實踐表明：巖石邊坡和大型洞室開挖等工程失穩破壞都與其內部節理或裂隙擴展貫通有關［1］.裂紋缺陷的擴展機制和錨桿對裂紋擴展的抑制機理研究一直是當今巖力學研究的難點和熱點問題，大量學者運用數值方法［2-5］或試驗分析［6-7］對其進行了研究.

擴展有限元法（Extended Finite Element Method，XFEM）于1999年由美國西北大學的Belytschko研究組首次提出［8-9］，在標準有限元框架下，連續區域采用標準有限元方法，不連續區域內，對有限元的位移近似函數進行修正，增加了對不連續邊界的描述方法.

本文介紹了擴展有限元分析裂紋擴展的方法，并首次利用擴展有限元法對裂隙巖體錨固進行了分析，分析裂紋擴展時引入了損傷準則.

1　擴展有限元法

常規有限元方法中，位移可以表示為：

式（1）僅適用于連續介質，對于非連續介質，Belytschko等［8-9］基于單位分解的思想，將位移插值函數定義為：

式中，N為不含裂紋的常規單元節點集合；N1為被裂紋完全貫穿的單元節點集合；N2為包含裂尖的單元節點集合，如圖1所示；ui、αj和bαk分別為常規單元、貫穿單元和裂尖單元節點的位移；H（x）為Heaviside函數，在裂紋面上、下側分別取+1和-1，用來表示裂紋面位移的不連續性：

φα（x）為裂尖漸進位移場附加函數，用于反映裂尖的應力奇異性.根據線彈性斷裂力學［10］，I型、II型復合裂紋尖端位移場可以表示為：

式中，

于是得到φα（x）（α=1～4）由以下基函數組成：

式中，r、θ滿足以裂紋尖端為坐標原點建立的極坐標系（圖1）.

圖1　含裂紋單元示意圖

2　控制方程

將位移插值函數表達式（2）帶入虛功原理方程，可以得到擴展有限元法的控制方程：

K為整體剛度矩陣，由單元剛度矩陣組裝而成：

其中，

f為等效節點力向量：

Γt、Γu和Γc分別表示外力施加邊界、位移約束邊界和裂紋邊界；ft和fb分別表示外力和體力（圖2）.

圖2　裂紋體邊界條件

3　裂紋擴展及損傷準則

在裂紋擴展時引入損傷準則，當裂紋達到初始損傷準則時材料會根據損傷演化定律發生損傷.

初始損傷準側采用最大主應力準則：

當損傷準則f大于1時，之后每一步迭代時將會發生裂紋擴展，且滿足：

式中，ftol為容差.

采用雙線性損傷演化定律［11］，如圖3所示，當材料達到初始損傷點A時，材料開始損傷.若沒有損傷演化定律，材料特性如直線OD所示為線彈性；由于損傷演化定律，材料的裂紋擴展時，材料特性將沿著直線AC方向.若達到B點時卸載，材料特性將會沿著直線BO回到O點；重新加載后材料特性會沿著折線OBC達到點C，此時材料將破壞.

圖3　雙線性損傷演化定律

4　裂隙巖體錨固數值模擬

裂隙巖體模型如圖4（a）所示，寬為70 mm，高140 mm，厚度為20 mm，巖體中部有一穿透型裂紋，長度為42 mm，與水平軸夾角為45°；裂紋處布置3根錨桿，采用2種加錨方式.巖體的彈性模量為1.44 GPa，泊松比為0.233；錨桿的彈性模量為10.1 GPa，泊松比為0.3，直徑為2.5 mm.

巖體網格劃分不考慮裂紋的影響，且裂紋本身為幾何特征，無需劃分網格；巖體采用八節點六面體單元劃分，共8 000個單元、9 471個節點；錨桿采用二節點桿單元，共60個單元、63個節點.

巖體上下受壓板擠壓，壓板設為剛體，與壓板間的摩擦系數為0.15.

圖4　裂隙巖體與加錨方式示意圖

圖5所示為巖體在無錨固、垂直加錨和垂直裂紋加錨情況下的裂紋擴展路徑示意圖，可以看出三種情況下裂紋的擴展方向均平行于加載方向，與文獻［12］的實驗及計算結果一致，說明了本文的計算方法的正確性.

從圖5的比較中可以看出，在裂紋處添加錨桿能夠在一定程度上減小開裂程度.在巖體在同樣的荷載作用下，無錨固巖體裂紋擴展約20 mm，垂直加錨巖體裂紋擴展約15 mm，垂直裂紋加錨巖體裂紋擴展約17 mm.

垂直加錨方式錨桿布置方向與裂紋擴展方向垂直，能較為有效地抑制裂紋擴展；對于垂直裂紋加錨方式，雖然錨桿布置方向與初始裂紋的方向垂直，但裂紋不沿著初始裂紋方向擴展，錨桿無法起到應有的效果.

從圖5的裂紋擴展路徑中可以看出，巖體網格不需要重劃分，裂紋從單元內部擴展；且裂紋與巖體網格相互獨立，在需要分析不同夾角的裂紋時，僅需調整裂紋的幾何模型，不需要重新劃分巖體網格.

5　結論

本文介紹了擴展有限元方法并用其對裂隙巖體錨固進行了分析，分析裂紋擴展時引入了損傷準則，得到如下結論：

（1）擴展有限元法能準確高效地模擬裂紋擴展，分析時不需要在裂紋處布置高密度網格，裂紋擴展時也無需網格重劃法.

圖5　不同錨固方式裂紋擴展路徑與最大主應力云圖

（2）開裂基體的網格和裂紋相互獨立，對于不同裂紋僅需調整裂紋的幾何模型，無需重新劃分基體網格.

（3）裂隙巖體上下受壓的情況下，開裂方向與加載方向一致，垂直加錨方式效果優于垂直裂紋加錨方式.

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AbstractThe extended finite element method（XFEM）presented recentlyis an effective numerical method for modeling discontinuity within a standard finite element method framework.The method for crack growth analysis with XFEMis introduced.XFEMand damage criteria are used to analyze the fractured rock mass anchorage.Compared with the experimental results in the literature，the result shows the accuracy of XFEM in simulating crack growth without massive meshes in the crack tip and remeshing during the crack growth.XFEM is an effective way for simulating the fractured rock mass anchorage.

Numerical Analysis for Fractured Rock Mass Anchorage Based on Extended Finite Element Method

WANG Xiaofeng
（Shanghai MilitaryRepresentative Bureau of NavyEquipment Department，Shanghai 200083，China）

extended finite element method；fractured rock mass；crack growth；damage；numerical simulation

TU452

A

1001-4217（2016）03-0062-07

2015-10-13

王校鋒（1979—），男（漢族），浙江省嵊州市人，工程師，研究方向：數值計算、控制理論與控制工程.E-mail：wangxiaofeng_sh@sina.con