小學數學教材中的數學史

江獻

摘 要： 黃金分割在一些著名建筑、雕塑、名畫及植物生長規律中都有所體現，我們身邊隨處都在彰顯“黃金分割”的美妙。本文結合小學數學教材中“黃金分割”的介紹對“黃金分割”從起源到發展及生活中的應用進行整理和介紹。

關鍵詞： 黃金分割 中末比 斐波那契數列

引言

人民教育出版社2014年3月出版的義務教育教科書數學在六年級上冊第51頁以“你知道嗎？”的形式介紹了“黃金比”（圖1），為了使小學一線教師在教學時能夠更好地進行這一內容的教學，以下將對“黃金分割”從起源到發展及生活中的應用進行整理和介紹。

1.“黃金分割”的定義

把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個比值即為黃金分割，這個比值是=0.6180339……通常用希臘字母？準表示這個值。中世紀德國數學家、天文學家開普勒在《宇宙之秘》中寫道：“‘畢達哥拉斯定理（勾股定理）和‘中末比是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠玉。”[1]他用黃金形容勾股定理，用珠玉形容中末比，后來逐漸演變成用黃金形容中末比。

2.“黃金分割”的起源

2500多年前，古希臘的著名數學學派——畢達哥拉斯學派以正五邊形的五條對角線構成的五角星形作為自己學派的標志。正五邊形的五條對角線交點以一種特殊的方式分割對角線：每條對角線都被交點分成兩條不相等的線段，使該對角線的整體與較長部分之比等于較長部分與較短部分之比，這就是所謂的“黃金分割”。我們并不知道畢達哥拉斯學派是用什么方法求解黃金分割的，“黃金分割”這個名稱也不是來自該學派[2]。最早在書中正式使用“黃金分割”這個名稱的是德國數學家歐姆（1792-1872以歐姆定律聞名的G·S歐姆之弟），在1835年出版的第二版《純粹初等數學》一書中，他首次使用了這一名稱。到19世紀之后，這一名稱才逐漸通行起來，成為現在人們所熟知的名稱[3]。古希臘數學家歐多克索斯（公元前4世紀）從比例論的角度對這一問題加以研究和推廣，并把這種分線段的方法叫做分線段成“中末比”[4]。公元前300年前后，歐幾里得撰寫《幾何原本》時記載下了歐多克索斯的研究成果，這也是最早論述有關“黃金分割”的著作[5]。在該書第四卷記述了用黃金分割作正五邊形、正十邊形的問題。

3.斐波那契數列與“黃金分割”

4.“黃金分割”的應用

古希臘以來的美學家有一條公認的美學定律：符合黃金分割的平面圖形或幾何體是最美的。古希臘雅典的帕特農神殿就是按黃金分割建造的，其大理石柱廊高恰好占整個神殿高度的0.618。古埃及修建的胡夫金字塔，其高與底部正方形邊長之比為0.62。埃菲爾建造巴黎大鐵塔在比例上應用的也是黃金分割法[9]。法國巴黎圣母院的正面高度和寬度比例是8：5，每一扇窗戶的長寬比也是如此，這個比值接近于黃金分割比[10]。美籍華人建筑大師貝聿銘根據斐波那契螺旋溶古代建筑藝術與現代最新技術于一體設計的華盛頓國家藝術館，該館的每一個房間一年四季太陽都能照射到[4]。

美麗的女神維納斯的雕像其下半身長與全身長的比值約為0.618[5]。健美身段的比例中有許多黃金分割比：頭部以眼睛為界的上下比例，全身以肚臍為界的上下比例，肚臍以上部分以肩部為界的上下比例，手臂以肘部為界的上下比例等[11]。著名畫家達·芬奇的油畫《蒙娜麗莎》就完美地體現了黃金分割在藝術上的應用，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面的位置完美地體現了黃金分割，使得這幅油畫看起來那么和諧和完美，使它成為一幅傳世名作。報幕員報幕的時候應站在舞臺寬度的0.618位置最佳[5]。

除此之外生活中常見的還有黃金矩形——寬和長之比為黃金分割比的特殊矩形，很多國家的國旗就是黃金矩形，電視機屏幕的形狀就是近似黃金矩形。還有黃金三角形——底與腰的長度比為黃金分割比的等腰三角形，另外還有五角星形等。

“黃金分割”在我們的生活中可以說是無處不在，因此小學數學教師可以結合以上知識介紹“黃金比”這一史料，讓學生善于發現生活中的數學，從而感受數學美。

參考文獻：

[1]韓玉海，王立華.黃金分割及黃金圖形[J].中學生數學，2006，2：6.

[2]李文林.數學史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.2：37.

[3]韓雪濤.好的數學 數的故事[M].長沙：湖南科學技術出版社，2014，1：182.

[4]李如錦.“黃金分割”漫談[J].天府數學，1999，11：80.

[5]李玉芳.0.618的文化內涵[J].天津職業院校聯合學報，2011，5：68.

[6]朱家生.數學史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011，5：84.

[7]鄭慶安，侯紹君.斐波那契數列與黃金分割的內在聯系及應用[J].南陽師范學院學報，2008，12：36.

[8]馬銳，羅兆富.數學文化與數學欣賞[M].北京：科學出版社，2015，6：142.

[9]張雄.黃金分割的美學意義及其應用[J].陜西教育學院學報，1998，3：63.

[10]張媛.美妙的“黃金分割”[J].安徽電子信息職業技術學院學報，2006，4：32.

[11]可中.奇妙的“黃金分割”[J].初中生世界，2004，14：33.

基金項目：本文得到云南省教育廳科學研究基金項目（編號：2014Y431）的資助，在此深表謝意。