關于2階整數矩陣的Catalan方程*

李偉勛

(廣東石油化工學院 理學院，廣東 茂名525000)

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關于2階整數矩陣的Catalan方程*

李偉勛

(廣東石油化工學院 理學院，廣東 茂名525000)

整數矩陣；Catalan方程；特征方程；可解性

0　引言

1637年，Fermat[1-2]提出方程：

Xn+Yn=Zn，X,Y,Z∈N,n>2,gcd(X,Y,Z)=1

(1)

無解(X,Y,Z,n)。

1844年Catalan[3]提出：

Xm-Yn=1,X,Y,Z∈N

(2)

僅有解(X,Y,m,n)=(3,2,2,3)。這是兩個迄今尚未完全解決的著名猜想，方程(1)和(2)分別稱為Fermat方程和Catalan方程。由于這兩個猜想在數論及其相關領域內有著重要的意義，人們對于它們在其他集合上的可解性進行了大量的研究[4-7]。

Xm-Yn=E,X,Y,Z∈S(A)，m,n∈N,m>1,n>1

(3)

的可解性。即用初等方法證明了以下結論：

1　若干引理

設A是復數域上的n階矩陣，En是n階單位矩陣，則多項式fA(X)=|XEn-A|稱為矩陣 A的特征多項式，代數方程fA(X)=0的根稱為A的特征根。

引理1如果矩陣A的特征根都是單根，則存在n階可逆矩陣P，可使P-1AP為如下的對角矩陣：

其中X1，…，Xn是矩陣A的全部特征根。

證明參見文獻[8]的推論7.6.3。

設u，ν是正整數，此時二次方程

X2-uX-ν=0

(4)

恰有兩個不同的實根：

(5)

引理2如果正整數α，β適合α>β，則必有：

(6)

證明由于α-β≥1，從(5)可知X1>1，故有：

故(6)成立。

2　定理證明

設(X,Y,m,n)是方程(3)的一個解，根據集合S(A)的定義，可知存在正整數r,s，可使X=Ar以及Y=As，代入(3)立得：

Arm-Asm=E

(7)

假如rm=sn，則(7)的左邊等于O，故不可能，因此rm≠sn。

設u=a+b,ν=bc-ad,矩陣A的特征多項式

fA(X)=|XE-A|=X2-uX-ν

(8)

因此(8)恰有兩個適合(5)的不同特征根X1和X2，于是根據引理1可知，存在2階可逆矩陣P，使得：

(9)

因為對于任何正整數t，有P-1AtP=(P-1AP)t，所以從(7)和(9)可得：

P-1(Arm-Asn)P=P-1ArmP-P-1AsnP=(P-1AP)rm-(P-1AP)sn=

(10)

從(10)可得：

(11)

由于rm≠sn，而且X1>1，所以當rmsn時,由于n>1，所以sn>1，由引理2可知此時(11)也不成立。綜上所述，方程(3)無解(X,Y,m,n)。

[1] Ribenboim P. 13 lectures on Fermat's last theorem[M]. New York: Springer Verlag，1979.

[2] Frejman D. On Fermat's equation in the set of Fibonacci matrices [J]. Discussiones Mathematicae，1993，13(1):61-64.

[3] Catalan R. Note extraite d'une letter addressee editeur[J]. J.Reine Anew Math，1844(27):192-193.

[4] LIU Zhiwei. The generalized Catalan conjecture[J]. Journal of Math,2013(3):1107-1114.

[5] Frejman D. On Fermat’s equation in the set of Fibonacci matrices[J]. Discuss. Math,1993(13):61-64.

[6] Grytczuk A. On Fermat’s eqution in the set of integral 2×2 matrices[J]. Period. Math. Hunger,1995(30):79-84.

[7] Q.Li, M-H. Le. A note on Fermat’s eqution in 2×2 matrices[J]. Discuss. Math,1995(15):135-136.

[8] 張禾瑞,郝炳新.高等代數[M].北京:高等教育出版,1984.

(責任編輯：柳豐)

On the Catalan’s Equation in 2×2 Matrices

LI Weixun

(College of Science ，Guangdong University of Petrochemical Technology ，Maoming 525000，China)

Let A=be a nonsingular integral 2×2 matrices，anda+b>0 withbc>ad, proved that the Catalan's equation in 2×2 matrices has no solution, by using some properties of eigenvalues of matrices.

Integer matrix; Catalan's equation; Characteristic equation; Solvability

2016-05-22；

2016-07-18

李偉勛(1971—)，男，廣東茂名人，副教授，研究方向為初等數論。

O156.7

A

2095-2562(2016)04-0059-02