一種改進的小波閾值去噪方法

李朋，余諒（四川大學計算機學院，成都　610065）

一種改進的小波閾值去噪方法

李朋，余諒
（四川大學計算機學院，成都610065）

0　引言

數字圖像在獲取、傳輸及存儲的過程中不可避免地會受到各種噪聲的污染，這不僅影響圖像的視覺效果，還會給對圖像的進一步處理和分析帶來不利影響。因此，對圖像進行去噪處理就顯得尤為重要。與傳統的去噪方法，如中值濾波、鄰域濾波、均值濾波等方法相比，小波變換具有衰減性和波動性，它可以對圖像的時域和頻域做局部化分析，通過伸縮平移變換達到對信號逐步地進行多尺度細化，最終達到在高頻處時間細分，在低頻處頻率細分的結果。在小波去噪方法中，尤以小波閾值去噪研究最為廣泛[1]。

1　小波閾值去噪的原理及步驟

1994年，Donoho和Johnstone提出了基于小波收縮（Wavelet Shrinkage）的去噪方法[2]，他們提出的Vis-uShrink方法就是最早的小波閾值去噪方法。小波所具有的低熵性、良好的時頻特性、去相關性等特點[3]，使得小波能夠對信號進行多尺度分析，有效地分離圖像信號與噪聲。

1.1小波閥值去噪的原理

小波閾值去噪的基本原理是，含有噪聲的圖像信號經小波變換后，有用信號的能量主要集中在少數幅值較大的系數上，而噪聲的能量則主要在高頻處且小波系數的幅值較小，所以，只要我們能確定一個合適的閾值，對分解得到的小波系數進行閾值量化處理，濾除噪聲的小波系數，保留有用信號的系數，就能實現對圖像的去噪[4]。小波閾值去噪實現起來比較簡單，去噪效果也較理想，因此，它得到了相關研究者的重視，是目前小波去噪方法中研究較為廣泛的去噪方法之一。

1.2小波閥值去噪的步驟

利用小波閾值方法對含噪圖像進行去噪的一般步驟為：

（1）選擇合適的小波并確定分解層次，對含早圖像信號進行小波分解，將其變換到小波域，得到個尺度的小波系數。

（2）選擇合適的閾值函數和閾值，對高頻小波系數進行量化處理。

（3）將經過閾值處理后的小波系數進行小波逆變換，得到去噪后的圖像。

很顯然，小波閾值去噪方法的關鍵步驟是選擇閾值函數以獲得合適的閾值，這樣才能達到理想的去噪效果。下一節將介紹小波閾值去噪中閾值函數和閾值的選擇方法。

2　小波閾值與閾值函數的選擇

2.1常見的閥值

小波閾值去噪中一個比較大的挑戰是如何找出一個合適的門限來充當閾值。太小的門限值會使處理后的小波系數保留很多與噪聲有關的小波系數，使噪聲去除不徹底；而太大的門限值又會使與圖像信息有關的小波系數置為零，使圖像的重要細節信息丟失。因此，閾值的選取在小波閾值去噪方法中十分重要。下面介紹幾種常見的閾值估計方法。

（1）VisuShrink閾值

Donoho和Johnstone在1994年提出了VisuShrink方法[2]，該方法又被稱為通用閾值法。它是針對多維獨立正態變量聯合分布，在維數趨向無窮時得出的結論，在最小最大估計限制下得出的最佳閾值。該閾值被定義為：

其中，σn是噪聲的標準差，N是圖像中像素的個數。在該閾值估計方法中，相同的閾值被應用在小波分解得到各級小波系數中。盡管通用閾值的估計結果相對平滑，但可能會產生過扼殺現象，在實際應用的效果不太理想。

（2）SureShrink閾值

Donoho和Johnstone在1995年提出了一種基于Stein無偏似然估計 （Stein's Unbiased Risk Estimation，SURE）的軟域值估計方法，由此得到的閾值被稱為SureShrink閾值[5]。這種方法為不同層級的小波系數設定不同的閾值，SureShrink閾值的目的是使含噪圖像與原始圖像的均方誤差最小。SureShrink閾值的計算方法是先取得給定閾值的似然估計，如式（2）所示；然后再將似然函數最小化，得到所需要的閾值，如式（3）所示。

式（2）中，t是選定的初始閾值，Wj表示來自子帶j的小波系數，NW表示各子帶Wxy小波系數的個數和。Donoho和Johnstone指出，當小波系數較多時，適用此閾值，當小波系數個數較少時，宜用通用閾值。

（3）BayesShrink閾值

BayesShrink閾值[6]是在假定小波系數服從廣義高斯分布（Generalized Gaussian Distribution，GGD）的前提下，利用貝葉斯數學框架、以最小化貝葉斯平均風險為準則來找到各子帶詳細小波系數。BayesShrink閾值的定義如式（4）所示。

式中，σnoise表示噪聲的標準方差，σsignal表示圖像信號的標準方差。

2.2常見的閥值函數

在小波閾值去噪方法中，常見的閾值函數主要是硬閾值（Hard threshold）函數和軟域值（Soft threshold）函數。

（1）硬閾值函數

硬閾值函數是將絕對值小于或等于閾值的小波系數當作噪聲，予以去除，對其作置零處理，將絕對值大于閾值的小波系數予以保留。硬閾值函數的表達式如下式所示。

式中，ω表示小波系數，T表示所選擇的閾值，Thard（ω）表示經硬閾值函數量化處理后的小波系數。

（2）軟域值函數

軟域值函數也是將絕對值小于或等于閾值的小波系數當作噪聲，予以去除，即作置零處理，而將絕對值大于閾值的小波系數當作圖像信息，并按照一定比例收縮后保留。軟域值函數的表達式如下所示。

式中，ω表示小波系數，T表示所選擇的閾值，Tsoft（ω）表示經硬閾值函數量化處理后的小波系數。函數sgn（ω）是符號函數，它返回變量ω的符號。

一般來說，由于硬閾值函數直接把絕對值小于閾值T的小波系數置為零，因此硬閾值函數會使圖像在T和-T處產生不連續現象，但可以較好地保留邊緣等局部特征，而軟域值函數處理要相對平滑，但會造成邊緣模糊等失真現象。

2.3改進的閥值與閥值函數

（1）改進的閾值

考慮到通用閾值會產生“過扼殺”現象等缺點，在參考其他學者研究成果的基礎上[7-9]，本文提出了一種改進的閾值選取方法，如下式所示：

其中，Timprove表示對第j層小波系數所選取的閾值的閾值，σ是噪聲的標準差，N是輸入的圖像中含有的像素個數。j表示小波分解尺度。由式（7）可以看出，當j=1時，所選取的閾值為；當j=2時，所選取的閾值大于j=1時的閾值，而在j>2以后，所選取的閾值又依次減小。之所以這樣選擇閾值，是因為在小波分解的高頻系數中，除了噪聲信息外，還有圖像的細節信息，因此，為了較多地保留圖像的細節信息，本文在對第二層小波系數處理時，所選取的閾值比第一層的閾值增大了；又由于隨著小波分解尺度的增大，噪聲的幅值逐漸減小，所以當j>2后，選取的閾值又逐漸減小。綜上所述，本文所選取的閾值具有一定的自適應性，更符合噪聲在不同層次的分布及圖像細節信息的實際分布情況，因此，改進后的閾值去噪效果更理想。

（2）改進的閾值函數

針對軟域值會造成圖像邊緣模糊失真等缺點，本文提出了一種改進的閾值方法所選取的閾值函數是如下式所示。

由式（8）可知，與原來的軟域值函數相比，改進后的閾值函數的主要變化是對|ω|T的小波系數全置為0，改進后的函數是在原始閾值函數的基礎上進行萎縮，且使其具有更高階，從而使新閾值函數在|ω|=T和|ω|=-T處的圖像是連續的且是平滑過渡的，這樣，噪聲（小波系數）與有用信號（小波系數）之間存就在一個平滑過渡區，從而在一定程度上降低圖像的邊緣模糊程度。

3　算法仿真

圖1　不同閾值去噪方法對高斯噪聲去噪的結果比較

實驗采用MATLAB（R2010b）自帶的圖像camera-man.tif進行仿真實驗，各種閾值去噪方法所用圖片均加入均值為0、方差為0.005的高斯白噪聲，用sym4小波函數（由于sym小波有更好的對稱性，更適合于圖像處理，且能減小圖像重構時的相移[10]）對圖像進行4層小波分解，然后在不同小波分解層采用不同的閾值去噪方法對小波系數進行處理，最后重構圖像。camera-man圖片的原始圖像、加入高斯噪聲的圖像、硬閾值去噪圖像、軟域值去噪圖像以及經參考文獻[7]、[8]、[9]提出的閾值去噪算法處理后的去噪圖像和經本文提出的改進閾值的小波閾值去噪方法處理后的去噪圖像如圖1（a）-（h）所示。

主觀上看，上述小波閾值去噪方法都不能完全去除噪聲，但與其它方法相比，本節所提出的基于新閾值的去噪方法在去除圖像噪聲方面更徹底些，處理后的圖像更平滑自然些。

從客觀角度評價上述幾種基于小波閾值的圖像去噪方法（本文中，我們選擇所得去噪圖像的均方誤差和峰值信噪比作為比較內容），由MATLAB計算出的經上述各種閾值去噪方法對含噪圖像 （所含噪聲是均值為0、方差為0.005的高斯白噪聲）進行去噪處理后所得圖像的均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）如表1所示。

由表1中的數據，我們可以看出，提出的基于小波變換的改進閾值很改進閾值函數去噪方法比上述其他幾種方法有明顯的優勢：去噪更徹底，且對于圖像的一些細節信息有更多保留，此外，由該方法的進行去噪處理后所得去噪圖像的峰值信噪比也較高，均方誤差較小，與原始圖像的差別度較小。

表1　不同閾值去噪方法對高斯噪聲去噪的MSE和PSNR比

4　結語

本文在分析了小波閾值去噪原理、步驟、閾值選擇及軟硬閾值函數的基礎上，針對常用閾值及軟硬閾值函數的不足，提出了改進閾值與改進閾值函數的小波閾值去噪算。實驗證明，本文提出去噪方法是有效的，對高斯噪聲的去除效果較好。

[1]王蓓，張根耀，李智，王靜.基于新閾值函數的小波閾值去噪算法[J].計算機應用，2014，34（5）：1499-1502.

[2]Donoho DL，Johnstone IM.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet Shrinkage[J].Biometrika，1994，81:425-455.

[3]李旭超，朱善安.小波域圖像降噪概述[J].中國圖象圖像學報，2006，11（9）：1201-1209.

[4]程正興，楊守志，馮曉霞.小波分析的理論算法進展和應用[M].北京，國防工業出版社，2007.

[5]Donoho DL，Johnstone IM.Adapting to Unknown Smoothness Via Wavelet Shrinkage[J].AmericanStaticalAssoc，1995，90（432）: 1200-1224.

[6]Chang S G，Yu B.and Vetterli M.Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression[J].IEEE Trans.on Image Proc.，2000，9（9）:1532-1546.

[7]王香菊.基于中值濾波和小波變換的圖像去噪方法研究[D].西安科技大學，2008.

[8]楊鑫蕊.改進的小波閾值去噪算法研究[D].哈爾濱理工大學，2014.

[9]蔡德尊.基于小波變換的圖像去噪算法研究[D].哈爾濱工業大學，2011.

[10]董長虹，高志，余嘯海.MATLAB小波分析工具箱原理與應用[M].北京：國防工業出版社，2004.

Image Noise;Soft and Hard Threshold;Wavelet Transform;Threshold Denoising

An Improved Wavelet Threshold Denoising Method

LI Peng，YU Liang
（College of Computer Science，Sichuan University，Chengdu 610065）

1007-1423（2016）07-0072-05

10.3969/j.issn.1007-1423.2016.07.017

李朋（1988-），男，河南周口人，碩士研究生，研究方向為多媒體技術余諒（1963～），男，四川成都人，副教授、博士，研究方向為多媒體技術

2016-01-26

2016-02-28

數字圖像在獲取、傳輸及存儲的過程中不可避免地會受到各種噪聲的污染，這不僅影響圖像的視覺效果，還會給對圖像的進一步處理和分析帶來不利影響。因此，對圖像進行去噪處理就顯得尤為重要。針對小波軟、硬閾值去噪方法的缺點，提出一種改進的小波閾值去噪方法，該方法的去噪效果要優于軟硬、閾值去噪方法和其他一些改進算法。

圖像噪聲；軟硬閾值；小波變換；閾值去噪

In the process of acquisition,transmission and storage,digital image inevitably will be polluted by a variety of noise,this not only influ-ence the visual effect of the image,but also will bring trouble in further processing and analysis of the image.Therefore,it is very impor-tant to remove the noise of the image.For soft and hard threshold wavelet denoising method exist some shortcomings,proposes an im-proved wavelet threshold denoising method,the denoising effect of this method is superior to the hard and soft threshold method and some other improved algorithms.