函數(shù)列收斂性判別法的動態(tài)與靜態(tài)性教學(xué)法

劉炎，張學(xué)奇，陳文輝

(廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

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函數(shù)列收斂性判別法的動態(tài)與靜態(tài)性教學(xué)法

劉炎，張學(xué)奇，陳文輝

(廣東金融學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,廣東 廣州 510521)

以“動態(tài)”和“靜態(tài)”的對立統(tǒng)一思想來討論函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂性與一致收斂性，據(jù)此，我們可以對于函數(shù)列收斂性判別法提供一種新的教與學(xué)的方式。

函數(shù)列;函數(shù)項級數(shù);收斂性;一致收斂性

函數(shù)列的收斂性與一致收斂性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在級數(shù)的收斂理論中扮演著相當(dāng)重要的角色。一般的數(shù)學(xué)分析書籍都列出了許多判定方法，但是根據(jù)定義判定函數(shù)列的收斂性與一致收斂性的過程過于繁瑣，學(xué)生很難掌握其本質(zhì)，更難以靈活地用于實際判斷。事實上，這種困難在于沒有很好的把握收斂性定義與各種判定方法中的動靜思想。我們可以注意到，無論從定義，命題還是習(xí)題，“任給”與“存在”是一對經(jīng)常并行出現(xiàn)的量詞。“任給”是先動后靜，“存在”是依賴著動而靜，是一種動靜結(jié)合的邏輯體系，可以說貫穿于整個分析學(xué)。本文從教學(xué)實踐出發(fā)，強化動態(tài)和靜態(tài)的思想來分析函數(shù)列的收斂性問題，得出這兩種狀態(tài)下收斂與一致收斂性的判定方法，并給出相應(yīng)的例題；最后，將此思想用運于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判斷，收到了很好的教學(xué)效果。

1　判別函數(shù)列收斂與一致收斂的方法

按照函數(shù)列收斂的定義，當(dāng)我們考察函數(shù)列{fn(x)}在某區(qū)間I內(nèi)的收斂性的時候，我們通常需要考察這個函數(shù)列在這個區(qū)間內(nèi)是否逐點收斂于某一函數(shù)f(x)。但是在實際應(yīng)用的過程中，運用此方法比較繁瑣。因此，我們引入靜態(tài)的思想。將x固定在x0之時，我們稱之為靜態(tài)。而若函數(shù)列{fn(x)}所處靜態(tài)之時且同時令n→∞,若函數(shù)列fn(x0)收斂于f(x0)，那么我們認為函數(shù)列{fn(x)}收斂。歸結(jié)以上，我們有以靜態(tài)方法判斷函數(shù)列收斂的結(jié)論：

在考察函數(shù)列{fn(x)}在某區(qū)間I內(nèi)的一致收斂性的時候，判定過程更為復(fù)雜。以往，我們先要求出極限函數(shù)f(x)，再找出一個N=N(ε)使得函數(shù)列與極數(shù)的差值|fn(x)-f(x)|<ε。我們引入動態(tài)的思想判定函數(shù)列的一致收斂性。當(dāng)x為在區(qū)間I上任意變化的時候，我們稱之為動態(tài)。若函數(shù)列{fn(x)}所處動態(tài)之時，并使n→∞，若函數(shù)列fn(x)的極限為f(x)，那么函數(shù)列{fn(x)}一致收斂。通過以上分析，我們得出以動態(tài)方法判斷函數(shù)列一致收斂與不一致收斂結(jié)論：

事實上，函數(shù)列一致收斂的動態(tài)性反映為x在區(qū)間I上的任意變化性，也即存在一個不依賴x而只依賴于控制函數(shù)差值的ε的充分大的數(shù)N=N(ε)，使得當(dāng)n>N=N(ε)時，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。這種N不依賴x的變化性就是動態(tài)性的反映。x變，N不依賴x而變，由動而導(dǎo)致靜正是一致收斂的核心。并由此，我們有得到一致收斂的否定性結(jié)論：

2　收斂與一致收斂判別方法的應(yīng)用

而固定x=x0，同時運用洛必達法則可得

同理，固定x=x1，也有相同的結(jié)果。因此根據(jù)結(jié)論1，發(fā)現(xiàn)在[0，1]和(-∞，+∞)內(nèi)函數(shù)列{fn(x)}收斂。以下分別討論函數(shù)列{fn(x)}在這兩個區(qū)間內(nèi)的一致收斂性：

(1)并不固定x的取值，讓其在區(qū)間[0，1]內(nèi)變化。我們發(fā)現(xiàn)無論x如何變化，總有x≤n成立。因此無論x在[0，1]中如何變化，當(dāng)n→∞時

(2)當(dāng)x∈(-∞,+∞)時，我們讓x在區(qū)間內(nèi)變化，使其處于動態(tài)的過程。同時，使x充分大，選取x與n滿足x=n+1，那么

最后，我們將上述動態(tài)和靜態(tài)的思想應(yīng)用于函數(shù)項級數(shù)收斂性與一致收斂性的判斷。我們通過一條例題來說明這種方法的應(yīng)用。

首先在區(qū)間[0，1)上選取x0并固定x=x0，那么會發(fā)現(xiàn)

3　結(jié)論

動態(tài)與靜態(tài)思想貫穿整個分析體系，從數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分積分、數(shù)列與函數(shù)列的收斂性、數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)的收斂性等等，可謂無處不在，從而數(shù)學(xué)分析教學(xué)中對動態(tài)與靜態(tài)思想方法值得我們深入細致的研究。在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，始終要向?qū)W生闡明這些基本結(jié)論與概念中蘊涵的動與靜的辨證關(guān)系，并且立足于讓學(xué)生以動的方法去理解，以靜的方法去解決，這樣才能真正掌握其要領(lǐng)。

[1] 徐志庭，劉名生，馮偉貞.數(shù)學(xué)分析(二)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 呂通慶.一致收斂與一致連續(xù)[M].北京:人民教育出版社,1981.

(責(zé)任校對王小飛)

10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.08.020

20160518

國家自然科學(xué)基金項目資助(11201087)；廣東省教育廳教改課題(2015GXJK103)；廣東金融學(xué)院校級重點培育學(xué)科“應(yīng)用數(shù)學(xué)”；廣東金融學(xué)院創(chuàng)新強校工程“溫度依賴于溶解度的熱對流模型的解的性態(tài)研究”；2015廣東省教育質(zhì)量工程—金融數(shù)學(xué)示范專業(yè)以及廣東省教育廳—數(shù)學(xué)建模團隊項目資助

劉炎(1980- )，男，湖南澧縣人，副教授，博士，主要從事偏微分方程研究。

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1674-5884(2016)08-0062-03