從數系學習引發學生對數論的興趣

張霜月（旅順三高中）

從數系學習引發學生對數論的興趣

張霜月
（旅順三高中）

數論在數學史上產生較晚，在15世紀末16世紀初才漸有雛形，到19世紀已經發展成為一個有著強大理論體系的數學分支學科。而對高中生的學習來說，素數的學習將知識面由有原先接觸到的初等數論擴大到了高等數論的范疇中。如何引領學生充分理解課本知識，鼓勵有志于此的學生對數論難題發起挑戰，也是高中數學教學的一個艱巨任務。

一、數論前沿理論與高中數學課程

數論，是研究數字特性的一個數學分支學科。數論產生的早期主要是歐幾里得關于素數的無窮多個證明，即歐幾里得發現的求最大公約數的輾轉相除法以及中國南北朝時期發現的孫子定理。之后，由于生產、生活水平的限制，人們并不需要更多的理論去支持生產，于是數論理論一度停滯不前，直到費馬、梅森、歐拉、高斯等人發展，他們研究數論的主要目標是素數，主線思想是尋找素數的通項公式。數學家發現初等數論無法解決這一問題，于是數論發展產生了更多分支。

高中數學的數系學習中引入了復數的概念，這是在學生已有的數系知識中添加的全新內容。在學習復數之前，學生對數的認識僅限于實數范圍。學生對數的認識還表現在日常所能接觸到的范圍內，盡管諸如π、、e等一系列無理數的存在對學生的理解有一定的難度，但它們都可以結合現實生活中的實例來分析理解。

二、引發學生興趣，探索數論難題

1.打好基礎，掌握知識

初中時候學生就已經對實數系有了比較深刻的了解。實數包括有理數和無理數。其中有理數就包括整數和分數，無理數也就是無限不循環小數。在引入復數概念之前，首先要保證學生對實數域范圍內的數要分類準確，理解清晰，比如、e、π、0.3、7等數字到底是屬于哪個范疇內。在學生充分理解了之后，就可以通過引入一元二次方程解得問題啟發學生的思維。這里的教學應該以學生的思路為主，學生會回憶相關一元二次方程根個數判定的相關問題。提問式的教學在這里會起到意想不到的效果，讓學生思考為什么有些方程沒有或者只有一個實數根。這樣的教學更能引發學生的興趣，也會讓學生記憶深刻。復數是指能寫成a+bi形式的數，a、b為實數，i表示虛數單位，也就是。

例題1：若復數z滿足z（1＋i）＝1－（ii是虛數單位），則其共軛復數z=。

2.正確引導，增加信心

在這一部分的學習中，由于復數本身的特性，導致學生可能會不容易理解。這就要求我們更加耐心的指導。建立平面直角坐標系表示復數的平面。教學中，應該由淺入深，先講解清楚概念，再進行四則運算練習。在四則運算中，加減法的運算不容易出錯，而乘除法的運算還有一定難度。i+i=2i。這里復數乘除法的運算，教師可以類比根式，二者對比進行，他們同樣需要對分母進行處理。在無理數分式中，這一過程叫做分母有理化；而在復數運算中，是將分母化成實數。

3.開闊視野，放眼未來

毋庸置疑，對不同層次的學生，教學方法不盡相同。對于學習數學很困難的學生，我們要盡可能教會他們如何解題、如何理解；而對于熱愛數學，甚至是投身數學探索行列的學生，我們要多加引導，使他們保持對數學學習的興趣。在這一部分的教學中引入棣莫佛定理：對于復數z=r（cosθ+isinθ），有Zn=rn［cos（nθ）+isin（nθ）］，其中n為正整數。將棣莫佛定理于歐拉公式相聯系，讓學生感受到數學的神奇之處。數學的教學不僅僅在于讓學生學會一個知識，更重要的是興趣的培養。在這部分知識的學習中，要讓學生了解，數學并不是一個死板教條的課程，在歷史上也存在很多不足，也是在很多數學家不斷地努力下，才將整個關于數的體系發展為現在較為完善的水平。在遠古時期，為了滿足人們生活的需求，自然數就應運而生。隨著時代發展，出現了正負數之分，后來由于除法的產生，還有了分數、小數。

對幾何圖形圓進行深入研究后有了圓周率，對勾股定理進行計算后又出現了平方根。最后，隨著科學技術的發展，原先的實數理論已經不能完全適應計算的需求，于是數學家們又創造出一種自然界中不存在的數——復數。對于學生的思考，我們應該多給予肯定，并鼓勵他們繼續思考。復數之于數論的知識并不限于i=這樣一個簡單表示，鼓勵學生更多地了解和學習才能拓展視野，教好課程。

數論中的很多問題一直困擾著人們，一代又一代的數學大師在不斷探索中摸索前行。高中數學教師擔負著培養人才的重任，只有在教學中不斷總結經驗，了解學生心理，激發學生對數學學習的熱情，才能真正起到拋磚引玉的作用。數系的擴充這部分內容的教學，是一個合理的契機，作為教師應該好好把握，激發學生對數論知識的興趣。

張美琴.從數系學習引發學生對數學的興趣［J］.新課程：上，2013（9）.

·編輯李琴芳