學數學勿忘“記數學”

束長明（鹽城市大豐區新豐中學）

學數學勿忘“記數學”

束長明
（鹽城市大豐區新豐中學）

不少海學生認為，學數學要學會思考，要理解數學思想與方法。筆者認為，前者固然重要，但要想學好數學還要學會記憶數學，否則就會出現“巧婦難為無米之炊”。數學思路就會失去“源頭”。事實上，記憶是學習的基礎，對任何一門功課的學習都不能輕視記憶。死記硬背招來了不少罵名，但是死記硬背也是一個必經的過程。在理解的基礎上記憶當然會更快速、更牢固，可是有時候記憶過程本身也是一個理解的過程，有些知識點記住了也就理解了，記憶和理解相互促進，一個數學公式，加深理解的過程就是在不斷重復記憶，而記熟了這個公式也會幫助學習者更好地理解知識點。

蘇霍姆林斯基在學困生學習應用題時不是采取大量重復的去做類型題，而是停下來和學生一起進行相關知識的積累。這種積累實際上就是一種知識的記憶、儲存。在平常，我們也會發現某道題不會解，實際上是某個公式忘記了，或某個思想方法頭腦里沒有。陜西師大盧增儒教授在解題策略中提到的“模式識別”也說明了記憶的重要性。那么，學數學該記憶哪些知識呢？一般來說，數學基本概念、基本定義要記憶，數學的基本解題程序、幾何的基本圖形要熟知，數學的基本思想、基本方法要記憶。下面筆者就一道幾何題談談知識的儲存對解法自然產生的重要性。

一、試題呈現

如圖1，在△ABC中，已知AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC，求證：△ABC是等腰三角形。

二、解法展示

解法1：如圖2過點D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F。

因為AD平分∠BAC，所以DE=DF。又因為AD是BC邊上中線，所以BD=DC，所以Rt△DBE?Rt△DCF（HL），所以∠B=∠C，所以△ABC是等腰三角形。

解法2：如圖2過點D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F。

因為AD平分∠BAC，所以DE=DF。又因為AD是BC邊

上中線，所以S△ABD=S△ACD，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

圖1　

圖2　

圖3　

解法3：如圖3，延長AD至點E，使得DE=AD，連結BE。

因為AD是BC邊上的中線，所以BD=DC，又因為∠ADC= ∠BDE，AD=DE，所以△ADC?△EDB，所以AC=BE，∠DAC= ∠BED。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，所以∠BAD= ∠BED，所以AB=BE，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法4：如圖4取AC中點K，連接DK。

又因為D是BC中點，所以DK∥AB。由AD平分∠BAC，

易證得∠ADK=∠AKD，于是AK=DK。

解法5：如圖5，延長AB至K，使得BA=AK，連接CK。

（思路也是中點找中點形成中位線，只不過是倍長邊長）。

圖4　

圖5　

圖6　

解法6：如圖6，延長AD交△ABC的外接圓于K，連接BK，CK。

由AD平分∠BAC，可得BK=CK。易證△BDK?△CDK，所以∠BKA=∠CKA。所以易證△BAK?△CAK，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法7：前一部分雷同解法6，由△BDK?△CDK，可證得∠BDA=90°，又BD=CD，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。

解法9：由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD。由于∠BAD=∠CAD，BD=CD。于是，可得到（AC-AB）（AC+AB-2ADcos∠CAD）=0。由D是BC邊上中點以及三角形三邊關系可得AC+AB＞2AD，所以AC+AB-2ADcos∠CAD不為0。所以AC=AB，所以△ABC是等腰三角形。

三、解題思考

只有我們頭腦中儲存了解題需要的基本知識、基本圖形、基本方法，甚至一些類型的典型題，然后解題時按照相應的模式識別、知識點的關聯，解法就會自然生成。例如，本題解法1聯想到全等三角形對應邊相等而構造的輔助線。解法2利用角平分線上的點到角兩邊距離相等結合等積法。解法3聯想到三角形倍長中線而獲得解法。解法4、5主要由中點聯想到儲備的中點找中點構造中位線的方法，輔助線和解題方法油然而生。解法6、7由角平分線使用方法自然聯想到在圓中圓周角相等所對弦相等這一定理，于是輔助線就自然產生。解法8是聯想到正弦定理處理邊角關系可把題中的相關量放入等式中求解。解法9聯想到余弦定理具有處理邊角關系的功效。

總之，在平常教學中要引導學生題后歸納反思，建構知識方法體系，并要求學生記住這些知識方法，這樣解題時解法就會自然產生了。

顧建偉.從知識的關聯遠近看解法自然生成［J］.中學數學教學參考：中旬，2016（3）：37-38.

·編輯溫雪蓮