Verhulst優化模型在基礎沉降預測中的應用

張闖，彭振斌

(中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

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Verhulst優化模型在基礎沉降預測中的應用

張闖，彭振斌

(中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410083)

由于傳統的灰色Verhulst模型在基礎的沉降預測中精度較低，提出優化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優化的灰色Verhulst模型。優化的灰色離散Verhulst模型是采用離散化思維對原數據序列進行倒數變換創建，完成了從連續的形式向離散的形式變化，減少了傳統Verhulst模型建模過程中從微分方程到差分方程帶來的誤差。背景值初值優化的灰色Verhulst模型是采用變換倒數和優化的約束模型來求解背景值參數與初值參數而建立的。經過工程實例中優化模型與傳統的Verhulst模型的對比，由預測結果可以得出2種優化模型具備更高的預測精度的結論，因此在沉降分析中可從這2種優化的模型中選取合適的模型對類似工程沉降進行預測。

沉降預測；優化的灰色離散Verhulst模型；背景值初值優化的灰色Verhulst模型；預測精度

建筑物基礎沉降的計算是巖土工程重要問題之一。由于土體、施工、荷載等計算參數有很大的不確定性，而現有理論的計算方法大都基于一維固結理論狀態，沉降計算值與實測值差距很大。地基固結十分緩慢，幾年到十幾年才能最終穩定，沉降監測既費時又費力，因此沉降準確預測就顯得非常重要。一般利用施工期間的沉降觀測資料來推測建筑物使用過程中的沉降與時間的關系[1]，但理論還未成熟。隨著研究的深入，出現了很多預測沉降的方法，例如，雙曲線法、指數法、Asaoka法、遺傳算法、人工神經網絡法和灰色理論GM(1，1)和Verhulst法等[2-11]。土力學理論已證實，符合線性加載條件，建筑物基礎全過程沉降與時間關系具備飽和狀態呈“S”形曲線[12]，灰色Verhulst模型表現出的規律和沉降的時間關系曲線相同呈“S”形變化，所以工程中常用灰色Verhulst模型來預測沉降。然而灰色Verhulst模型預測精度相對較低，對此本文將2種優化的灰色Verhulst模型引入沉降預測，分別是優化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優化的灰色Verhulst模型。在創建離散灰色模型的過程中，預測、模擬、參數估計都利用的是離散方程，沒有離散模型與連續模型之間的近似代替，因而減少了誤差，使模型具備很高的精度[13]。當前灰色Verhulst模型優化的研究許多是從初值或者背景值，單獨利用遺傳算法、最小二乘法、線性規劃等方法對模型的優化，而將兩者同時考慮對模型進行優化鮮見文獻。本文采用變換倒數和最小偏差優化模型求出背景值的參數和初值的參數，且通過實例證實了優化模型能很好地提高預測精度。

1　優化的模型

1.1灰色Verhulst模型

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

(1)

根據式(1)利用最小二乘法，估計出參數a，b的值，得:

(2)

其中

定義2[11-12]：將下式

(3)

稱作灰色Verhulst模型白化方程。

(4)

Verhulst模型的已知數據序列應是等時間段的，原始數據序列很多時候都是不等距的，因此能夠利用spline三次樣條插值[15-16]和Hermite插值[17]等方法對原始數據進行等距處理。

1.2基于背景值優化的灰色Verhulst模型

由式(2)可知，a和b的值由背景值z(1)(k)決定，灰色Verhulst模型的模擬和預測精度直接被z(1)(k)的構造方式影響。要減少預測模型由背景值造成的誤差，就要先確定灰色Verhulst模型背景值產生誤差原因，然后對誤差產生的原因進行消除優化。對式(3)，在區間[k-1，k]上求積分可得：

(5)

圖1　灰色Verhulst模型背景值的誤差來源Fig.1 Error sources of background value of grey Verhulst model

(6)

為基于背景值優化的灰色Verhulst模型。

1)參數C，D，A的求解：

(7)

(8)

又由y(0)(k)=DeCk(1-eC)，根據式(8)可得：

(9)

再由y(0)(n)=y(1)(n)=A+DeCn，根據式(8)和式(9)分離變量可得：

A=y(0)(n)-DeCn=

(10)

(11)

同理可得：

(12)

3)參數a和b的求解

1.3初值優化的灰色Verhulst模型

除背景值的構造過程帶來的誤差會降低灰色Verhulst模型模擬和預測精度，選擇的初值條件也是一個重要的影響因素。因為傳統的灰色Verhulst模型都是建立在過點(1，x(1)(1))的擬合曲線基礎之上，但擬合的最優曲線并不一定會通過歷史數據中的某一點。要得到擬合的最優曲線，則要對模型進行初值的優化來提高模型的建模精度，設：

(13)

(14)

(15)

1.4優化的灰色離散Verhulst模型

y(1)(k+1)=β0+β1k+β2y(1)(k)

(16)

稱作優化的離散Verhulst模型。

優化的灰色離散Verhulst模型中的待估參數為β=(β0,β1,β2)T，采取最小二乘法對式(16)進行計算可得參數：

(17)

式中

(18)

(19)

1.5預測值的精度檢驗

1)相對誤差α：

(20)

2)后驗差比C：

C=S2/S1

(21)

式中：S1為原始數據的均方差；S2為殘差的均方差。

3)絕對關聯度ε：

εij=

(22)

(23)

4)小誤差概率P：

(24)

2　應用實例

為了驗證本文優化模型的有效性，根據文獻[11]和[19]的沉降觀測數據來建模，并用優化模型和文獻中的模型的模擬值與預測值和其實測值進行對比，來說明優化模型極大地提高了模擬精度和預測精度。

表1　模型精度等級

文獻[11]為高層建筑基礎沉降。用文獻[11]中前7個實測值進行預測建模求出優化的灰色離散Verhulst模型參數為β0=0.053 911,β1=

-0.001 062,β2=0.327 841，代入式(18)求出:

0.327 841k-0.001 580k)-1，k=1,2…6

(25)

分別將k=1,2…6代入式(25)求出擬合值，再將k=7,8,9代入式(25)求出預測值與文獻[11]中后3個實測值進行對比。求出的擬合值及預測值見表2。

e-0.946040(k-1)),k=2,3…7

(26)

分別將k=2,3…7代入式(26)求出擬合值，再將k=8，9，10代入式(26)求出預測值與文獻[11]中后3個實測值進行對比。求出的擬合值及預測值見表2。

文獻[19]為復合地基沉降。用文獻[19]中前8個實測值進行預測建模求出優化的灰色離散Verhulst模型參數為β0=0.0438 83,β1=

-0.001 428,β2=0.372 721，代入式(18)求出：

0.372 721k-0.002 278 k)-1，k=1,2…7

(27)

分別將k=1,2…7代入式(27)求出擬合值，再將k=8,9代入式(27)求出預測值與文獻[19]中后2個實測值進行對比，求出的擬合值及預測值見表3。

e-0.784361(k-1)),k=2,3…8

(28)

分別將k=2,3…8代入式(28)求出擬合值，再將k=9,10代入式(28)求出預測值與文獻[19]中后2個實測值進行對比，求出的擬合值及預測值見表3。

表2不同模型的預測分析結果

Table 2 Prediction and analysis results of different models

由表2～3數據可以看出，優化的模型擬合值與實測值很相近，表2中優化的灰色離散Verhulst模型平均相對誤差只有0.642 6，僅是傳統灰色Verhulst模型的1/5，背景值初值優化的灰色Verhulst模型平均相對于誤差只有0.704 0，僅是傳統灰色Verhulst模型的1/4，表3中優化的灰色離散Verhulst模型平均相對誤差只有0.562 5，僅是傳統灰色Verhulst模型的1/4，背景值初值優化的灰色Verhulst模型平均相對誤差為1.187 9，是傳統灰色Verhulst模型的1/2，都顯示了優化的模型擬合精度較高。表2～3中優化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優化的灰色Verhulst模型的后驗差比值均比傳統Verhulst模型的后驗差比值小，說明優化模型有很好的有效性。由表1得到優化模型的精度等級為一級。從表2～3中還可得出，優化的灰色離散Verhulst模型比背景值初值優化的灰色Verhulst模型的平均相對誤差小，因此優化的灰色離散Verhulst模型擬合精度較高。從上面的分析得出，優化模型比傳統模型具備更高的可靠性和預測精度以及較好的模擬預測效果。

表3不同模型的預測分析結果

Table 3 Prediction and analysis results of different models

3　結論

1)優化的灰色離散Verhulst模型是由變換倒數生成的序列建立的，把適用范圍擴展到近似“S”型數據序列，而且能很好地減少由微分方程到差分方程建模過程中所帶來的誤差。

2)采用倒數變換和優化模型求出的參數建立了背景值初值優化的Verhulst模型，可以減小了由背景值和初值產生的誤差。

3)優化灰色離散Verhulst模型和背景值初值優化灰色Verhulst模型與傳統灰色Verhulst模型的平均相對誤差、絕對關聯度、后驗差比值、小誤差概率等進行比較，由比較結果可知優化模型具備較好的有效性、實用性和可靠性。

4)擬合結果表明優化模型具有預測精度高、預測誤差波動小等顯著特點，且擬合值與觀測值非常接近，所以優化模型具備更好的適用性而且在工程應用中能發揮更大的價值。

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Application of the optimized Verhulst model to prediction of foundation settlement

ZHANG Chuang,PENG Zhenbing

(School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083， China)

Due to the low accuracy of the traditional grey Verhulst model in the foundation settlement prediction,the paper puts forward the optimized discrete grey Verhulst model and the grey Verhulst model of background value and initial optimization. Using discretization thought for reference, a grey discrete Verhulst model was constructed by reciprocal generation of the original data sequence. The grey discrete Verhulst model realizes changes from continuous form to discrete form, and eliminates jumping errors from the differential equation to the difference equation.The grey Verhulst model of background value and initial optimization were established by using the reciprocal transformation and the optimization model without constraint to acquire the parameters of the background value and initial value. The predicted results show that compared with the traditional Verhulst model by engineering examples, the proposed models possess much higher prediction precision. So the suitable model can be selected from the two optimization models to predict the settlement of similar projects.

settlement prediction; the optimized discrete grey Verhulst model; the grey Verhulst model of background value and initial optimization;prediction precision

2015-11-02

彭振斌(1952-)，男，湖南長沙人，教授，從事灌漿堵漏以及基礎沉降預測等方面的工作；E-mail：zbp9040@.sina.com

TU433

A

1672-7029(2016)08-1535-08