基于平衡損失函數(shù)的具有時間效應(yīng)的多合同信度模型

李新鵬,朱　坤，孫維霞，楊　麗，吳黎軍

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)　a.數(shù)理學(xué)院; b.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊　830052)

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基于平衡損失函數(shù)的具有時間效應(yīng)的多合同信度模型

李新鵬a,朱坤a，孫維霞a，楊麗a，吳黎軍b

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)a.數(shù)理學(xué)院; b.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 烏魯木齊830052)

利用信度理論的方法，考慮制定的保費(fèi)的公平性、合理性，以及各風(fēng)險組之間具有特殊的相依效應(yīng)(時間效應(yīng))，得到了平衡損失函數(shù)下具有時間效應(yīng)的多合同模型的信度保費(fèi)和多合同Bühlmann模型的信度保費(fèi)，同時給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計(jì)，推廣了經(jīng)典信度理論。

多合同信度模型；平衡損失函數(shù)；時間效應(yīng)

信度理論是精算學(xué)中最重要的保費(fèi)厘定技術(shù)。它是用保單持有人過去的索賠額數(shù)據(jù)來計(jì)算保單組合的下一年保費(fèi)的一種定價方法。現(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann，它給出了任意分布下的凈保費(fèi)信度估計(jì)。信度保費(fèi)為樣本均值和聚合保費(fèi)的加權(quán)和，其中權(quán)重因子被稱為信度因子[1]。

給定保單的過去n年的索賠額X1,…,Xn，其分布依賴于風(fēng)險參數(shù)Θ。由于風(fēng)險的非其次性，假設(shè)Θ是隨機(jī)變量，具有先驗(yàn)分布h(θ)。在Θ給定條件下，Xi(i=1,2,…,n)獨(dú)立同分布，且分布函數(shù)為H(x,θ)。通過保單持有人的前n年索賠額X1,…,Xn來計(jì)算第Xi1,…,Xin年的保費(fèi)。將保費(fèi)估計(jì)值限定在過去索賠額的線性組合中，根據(jù)保單持有人的風(fēng)險特征得到信度公式：

經(jīng)典信度理論假定在風(fēng)險參數(shù)給定下,一個保單組合的不同保單索賠額之間獨(dú)立且同一個保單不同年索賠額之間也獨(dú)立。但在實(shí)際應(yīng)用中,各個保單間是具有風(fēng)險相依結(jié)構(gòu)的,如同一次交通事故可以導(dǎo)致多次索賠,地域臨近的房屋面臨共同的火災(zāi)風(fēng)險等。鄭丹等[2]利用信度理論的方法研究了具有時間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)估計(jì)問題,得到了對應(yīng)的信度保費(fèi)。Bolancé等[3]研究了索賠頻率風(fēng)險模型，得到了時間效應(yīng)為自相關(guān)時間序列時的信度保費(fèi)。Frees等[4]在時間效應(yīng)為Student-t copula條件下研究了信度保費(fèi)的估計(jì)問題。溫利民等[5]推廣了Bühlmann和Bühlmann-Straub模型，研究了具有共同隨機(jī)效應(yīng)的信度模型，運(yùn)用正交投影的方法，得到了信度保費(fèi)。黃維忠等[6]就平衡損失函數(shù)下具有共同隨機(jī)效應(yīng)的信度保費(fèi)問題進(jìn)行了研究。

保險公司在制定下一年保費(fèi)的時候，希望與保險人心目中的保費(fèi)相差較小。因此，本文提出使用平衡損失函數(shù)，其既可以反映擬合優(yōu)度，又能反映估計(jì)的精確性。設(shè)第i個保單的目標(biāo)估計(jì)為δ0i(X)，它與過去的索賠數(shù)據(jù)有關(guān)，可以是保險公司認(rèn)可的保費(fèi)。因此，定義的平衡損失函數(shù)為：

(1)

0≤ω≤1為權(quán)重因子，其取值不同反映了目標(biāo)保費(fèi)與擬合程度的重要性不同。式(1)給出的平衡損失函數(shù)在ω=0時為經(jīng)典信度理論中的平方損失函數(shù)。平衡損失函數(shù)在近些年來應(yīng)用較廣泛[6-8]。

本文既考慮了風(fēng)險間的相關(guān)性,又考慮了保費(fèi)制定的公平性、合理性。因此，運(yùn)用平衡損失函數(shù)研究了風(fēng)險組之間具有時間相依結(jié)構(gòu)的多合同信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費(fèi)。

1　模型假設(shè)與準(zhǔn)備

考慮K個保單構(gòu)成一個保單組合,對于第i個保單,它的過去n年索賠額為Xi1,…,Xin,假設(shè)每個保單各年索賠額都有各自的風(fēng)險參數(shù),為Θi1,…,Θin，且這些風(fēng)險參數(shù)具有某種相關(guān)結(jié)構(gòu)。假設(shè)如下:

假設(shè)1給定時間效應(yīng)Θij=θ時，索賠額Xij間獨(dú)立且同分布，且E(Xij|Θij)=μ(Θij)，Var(Xij|Θij)=σ2(Θij)，i=1,2,…,K，j=1,2,…,n+1。

假設(shè)3本文使用的平衡損失函數(shù)為

為此，給出以下記號：

Xi=(Xi1,…,Xin)′，Θi=(Θi1,…,Θin)′

X= (X1′,…,XK′)′，Θ= (Θ1′,…,ΘK′)′

本文目標(biāo)為求解最優(yōu)化問題：

(2)

引理1給出了具有時間效應(yīng)的多合同信度模型的重要性質(zhì)。

引理1在假設(shè)1和假設(shè)2下，有以下結(jié)果[9]：

①Xij的均值為

② 過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

③Xi的協(xié)方差矩陣為

④Xi的協(xié)方差矩陣的逆為

2　平衡損失函數(shù)下多合同信度模型的保費(fèi)估計(jì)

定理1為最優(yōu)化問題(2)的解，即第個保單下一年的信度保費(fèi)估計(jì)。

定理1在上述3個假設(shè)條件下，運(yùn)用平衡損失函數(shù)，通過求解最優(yōu)化問題(2)，得到Xi,n+1的最優(yōu)信度保費(fèi)估計(jì)為：

其中：

證明引入一隨機(jī)變量Yi=Iδ0i(X)+(1-I)Xi,n+1，其中I為0-1區(qū)間的隨機(jī)變量，它獨(dú)立于其他的隨機(jī)變量且P(I=1)=1-P(I=0)=ω。ω為式(2)中的權(quán)重因子。因此，最優(yōu)化問題(2)等價于

(3)

由引理2知，最優(yōu)化問題(3)的解為：

μYi=EYi=E[E(Yi|I)]=

ωE(Yi|I=1)+(1-ω)E(Yi|I=0)=

ωE[δ0i(X)]+(1-ω)EXi,n+1=

ωμδ+(1-ω)μ

又因?yàn)镋(Xi|I)=E(Xi)為一常數(shù)向量，所以Cov[E(Yi|I),E(Xi|I)]=0。由引理1知：

ΣYiXi=Cov(Yi,Xi)=E[Cov(Yi,Xi|I)]+

Cov[E(Xi|I),E(Yi|I)]=

ωCov(Yi,Xi|I=1)+

(1-ω)Cov(Yi,Xi|I=0)=

ωCov(δ0i(X),Xi)+

(1-ω)Cov(Xi,n+1,Xi)=

ωdii1n′ + (1-ω)ai,n + 1(ai1,…,ain)

1n為n×1的全1向量，且

因此，

所以，Xi,n+1的最優(yōu)估計(jì)為：

結(jié)構(gòu)參數(shù)σ2的無偏估計(jì)為

結(jié)構(gòu)參數(shù)a2的無偏估計(jì)為

3　結(jié)束語

本文在平衡損失函數(shù)下研究了具有時間效應(yīng)的多合同信度模型,得到了相應(yīng)的信度保費(fèi),推廣了經(jīng)典的信度理論,且基于所得結(jié)論給出了平衡損失函數(shù)下多合同Bühlmann模型的信度估計(jì)和基本結(jié)構(gòu)參數(shù)μ,σ2,a2的無偏估計(jì)。

[1]BüHLMANN H,GISLER A.A course in credibility theory and its applications[M].Netherlands:Springer,2005.[2]鄭丹,章溢,溫利民.具有時間變化效應(yīng)的信度模型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,36(3):249-252.

[3]BOLANCé C,GUILLé M,PINQUET J.Time-varying credibility for frequency risk models:estimation and tests for autoregressive specification on the random effects[J].Insurance:Mathematics and Economics,2003,33(2):273-282.

[4]FREES E W,WANG P.Credibility using copulas[J].North American Acturial Journal,2005,9(2):31-48.

[5]WEN L M,WU X Y,ZHOU X.The credibility premiums for models with dependence induced by common effects[J].Insurance:Mathematics and Economics,2009,44(1):19-25.

[6]HUANG W Z,WU X Y.The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,2012,28(2):203-216.

[8]李新鵬,吳黎軍.平衡損失函數(shù)下具有時間變化效應(yīng)的信度保費(fèi)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)),2013,27(4):133-137.

[9]鄭丹.相依風(fēng)險下的信度模型[D].南昌:江西師范大學(xué),2013.

(責(zé)任編輯陳艷)

Multiple Contracts Model with Time Effects Based on Balanced Loss Function

LI Xin-penga, ZHU Kuna, SUN Wei-xiaa, YANG Lia, WU Li-junb

(a.College of Mathematics and Physics; b.College of Mathematics and System Sciences,Xinjiang Agriculture University, Urumqi 830052, China)

Using the credibility theory method, and considering the premium’s equity, various risk groups’ dependent effects, i.e. time effects, this paper obtained the multiple contracts model’s premium with time effects under balanced loss function, and derived the multiple contracts Bühlmann model’s premium, and gave the unbiased estimation of structure parameter, thus generalized the classical credibility theory.

multiple contracts model; balanced loss function; time effect

2015-10-10.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11361058)；新疆維吾爾自治區(qū)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(201510758112)

李新鵬(1986—),男,甘肅人,碩士,講師,主要從事精算數(shù)學(xué)研究，E-mail:news20060801015@126.com。

format：LI Xin-peng, ZHU Kun, SUN Wei-xia,et al.Multiple Contracts Model with Time Effects Based on Balanced Loss Function[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(8):165-168.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.08.027

O212

A

1674-8425(2016)08-0165-04

引用格式：李新鵬,朱坤，孫維霞，等.基于平衡損失函數(shù)的具有時間效應(yīng)的多合同信度模型[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2016(8):165-168.