MIMO雷達(dá)迭代降維穩(wěn)健波束形成方法

虞泓波，馮大政，解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710071）

MIMO雷達(dá)迭代降維穩(wěn)健波束形成方法

虞泓波，馮大政，解 虎

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710071）

針對多輸入多輸出雷達(dá)發(fā)射、接收導(dǎo)向矢量失配問題，提出一種迭代降維穩(wěn)健波束形成方法.首先將整體線性聯(lián)合估計(jì)方法應(yīng)用到多輸入多輸出雷達(dá)模型中，得到改進(jìn)的協(xié)方差矩陣估計(jì)；接著建立多輸入多輸出雷達(dá)發(fā)射、接收導(dǎo)向矢量失配模型，根據(jù)目標(biāo)信號輸出功率最大原理，建立代價(jià)函數(shù)以估計(jì)真實(shí)的發(fā)射與接收導(dǎo)向矢量.并提出一種雙迭代算法求解該代價(jià)函數(shù)，每次迭代過程僅需要求解兩個(gè)低維的凸二次約束二次規(guī)劃問題.仿真實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)算法相比，在導(dǎo)向矢量失配嚴(yán)重情形下，所提算法能夠取得更高的輸出信干噪比，且收斂速度快，具有較低的計(jì)算復(fù)雜度.

多輸入多輸出雷達(dá)；穩(wěn)健波束形成；二次約束二次規(guī)劃；雙迭代；降維

多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）雷達(dá)能夠利用多個(gè)發(fā)射天線發(fā)射正交波形，利用MIMO雷達(dá)的波形多樣性可以增加系統(tǒng)自由度，從而提高系統(tǒng)干擾抑制能力、空間分辨率、參數(shù)可辨識性及目標(biāo)檢測能力［1-2］.近年來，人們研究了穩(wěn)健的波束形成方法，以提高在實(shí)際應(yīng)用中最小方差無畸變響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）波束形成器［3-11］的性能.文獻(xiàn)［3］提出了基于最壞情況的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法，在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上又提出基于概率約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法［4］.文獻(xiàn)［5］提出基于干擾和噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法.文獻(xiàn)［6］提出直接根據(jù)采樣數(shù)據(jù)自適應(yīng)計(jì)算對角加載水平的穩(wěn)健波束形成方法，該方法用整體線性聯(lián)合（General Linear Combined，GLC）估計(jì)的協(xié)方差矩陣代替采樣協(xié)方差矩陣，以提高傳統(tǒng)MVDR波束形成器的性能.文獻(xiàn)［7-10］研究了利用陣列幾何結(jié)構(gòu)少部分先驗(yàn)信息進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì)的方法，文獻(xiàn)［7-8］說明了此類方法的參數(shù)（先驗(yàn)信息）依賴性低于之前的穩(wěn)健波束形成方法.文獻(xiàn)［11］提出了一種迭代求解的MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成方法.

MIMO雷達(dá)系統(tǒng)自由度為發(fā)射陣維數(shù)與接收陣維數(shù)之積，對MIMO雷達(dá)進(jìn)行全維處理，需要更多的訓(xùn)練樣本估計(jì)協(xié)方差矩陣以提高M(jìn)VDR波束形成器的性能，且涉及到的計(jì)算復(fù)雜度很高，不利于工程應(yīng)用.筆者在文獻(xiàn)［7，9］的基礎(chǔ)上，利用MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列少部分先驗(yàn)知識，根據(jù)輸出功率最大原理，建立代價(jià)函數(shù)以估計(jì)真實(shí)的導(dǎo)向矢量，目標(biāo)函數(shù)將假定導(dǎo)向矢量與真實(shí)導(dǎo)向矢量間的失配量限定在假定導(dǎo)向矢量的正交補(bǔ)空間中，并提出一種雙迭代（Bi-Iteration，BI）算法求解該目標(biāo)函數(shù)，以減小計(jì)算復(fù)雜度.

1 MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成方法

假設(shè)一個(gè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)包含M個(gè)發(fā)射正交信號的發(fā)射陣元，N個(gè)接收陣元，θi為遠(yuǎn)場點(diǎn)目標(biāo)的波達(dá)角，b（θi）∈CN×1，b（θi）表示接收導(dǎo)向矢量，a（θi）∈CM×1，a（θi）表示發(fā)射導(dǎo)向矢量，則MIMO雷達(dá)數(shù)據(jù)矢量可以表示為

其中，βi為回波幅度，P為信號源個(gè)數(shù)，符號?表示Kronecker積，z為零均值復(fù)高斯白噪聲矢量.數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R=E｛yyH｝，在實(shí)際應(yīng)用中通常由采樣數(shù)據(jù)的最大似然估計(jì)得到:為樣本數(shù).容易求得采樣矩陣求逆（Sampling Matrix Inversion，SMI）算法目標(biāo)信號輸出功率為

1.1發(fā)射、接收導(dǎo)向矢量失配模型

假設(shè)a（θt）與b（θt）分別為假定的發(fā)射導(dǎo)向矢量與接收導(dǎo)向矢量，則c（θt）=a（θt）?b（θt），為假定的收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量.為簡化表示，下文中用at表示a（θt），用bt表示b（θt），用ct表示c（θt）.假設(shè)ea和eb分別為發(fā)射導(dǎo)向矢量與接收導(dǎo)向矢量的失配量（這里的失配量ea與eb包含了由角度失配、陣元誤差等各種因素導(dǎo)致的導(dǎo)向矢量失配），則真實(shí)的收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量為

由式（3）容易得到收發(fā)聯(lián)合導(dǎo)向矢量的失配量為

1.2改進(jìn)的協(xié)方差矩陣估計(jì)

文獻(xiàn)［6］提出了應(yīng)用于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)的GLC方法用來估計(jì)相控陣?yán)走_(dá)的協(xié)方差矩陣，首先將此方法拓展至MIMO雷達(dá)中，得到一個(gè)比傳統(tǒng)采樣協(xié)方差矩陣更為有效的協(xié)方差矩陣估計(jì).由文獻(xiàn)［6］所示，一個(gè)更為精確的協(xié)方差矩陣估計(jì)可表示為

其中，

由此，一個(gè)更為精確的MIMO雷達(dá)協(xié)方差矩陣估計(jì)值為

1.3MlMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成方法

式（3）給出了真實(shí)的發(fā)射導(dǎo)向矢量與接收導(dǎo)向矢量模型，結(jié)合式（2）可得到真實(shí)導(dǎo)向矢量下的MVDR波束形成器的目標(biāo)信號輸出功率為

圖1　函數(shù)值f（θ）隨角度的變化曲線

類似于文獻(xiàn)［7］中的方法，MIMO雷達(dá)的發(fā)射陣列與接收陣列可看成兩個(gè)相控陣模型進(jìn)行處理，對于MIMO雷達(dá)發(fā)射與接收導(dǎo)向矢量，需要增加如下約束，以保證估計(jì)的導(dǎo)向矢量對應(yīng)的角度在角域Θ內(nèi)，即

其中，

由圖1可以看出，Δa與Δb的取值一定位于角域Θ的邊界點(diǎn)上，因此，Δa與Δb取值的一個(gè)簡單計(jì)算為

為避免（at+ea）與（bt+eb）分別收斂于零向量0a與0b，類似于文獻(xiàn)［9］的方法，分別將失配量ea與eb進(jìn)一步分解成兩部分，e⊥a表示與at正交的部分，e⊥b表示與bt正交的部分，e∥a表示與at平行的部分，e∥b表示與bt平行的部分，即有ea=e⊥a+e∥a，eb=e⊥b+e∥b.需要說明的是，e∥a=γaat，e∥b=γbbt，其中γa與γb為尺度因子，故e∥a與e∥b不會影響波束形成器的輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio，SINR）［9］.綜上，MIMO雷達(dá)估計(jì)發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量的代價(jià)函數(shù)可表示為

由于不容易直接求解該代價(jià)函數(shù)，筆者提出了一種雙迭代二次約束二次規(guī)劃（Bi-Iteration-Quadratically Constrained Quadratic Programming，BI-QCQP）算法來求解式（15）所示代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解.

1.4Bl-QCQP算法

首先，固定e⊥a，注意到

其中，IN為N階單位矩陣.式（15）可轉(zhuǎn)化為

其次，固定eb⊥，利用式（17）所示問題是一個(gè)凸的QCQP問題，利用凸優(yōu)化

其中，IM為M階單位矩陣.可將式（15）轉(zhuǎn)化為

綜上，用雙迭代算法求解代價(jià)函數(shù)式（15）的BI-QCQP算法流程如下:

（1）給定初值e⊥a（0），參數(shù)0＜δ?1.

（2）將e⊥a（k-1）代入式（17）所示代價(jià)函數(shù)，求解該凸QCQP問題的最優(yōu)解，得到e⊥b（k-1）.

（3）將e⊥b（k-1）代入式（19）所示代價(jià)函數(shù)，求解該凸QCQP問題的最優(yōu)解，得到e⊥a（k）.

說明:由于BI算法的收斂性與初值無關(guān)［11］，因此為方便計(jì)算，可賦初值e⊥a（0）=at.

2 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

假設(shè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)采用收發(fā)共置的均勻線陣，陣元個(gè)數(shù)為10，陣元間距為半個(gè)波長.空間遠(yuǎn)場處存在兩個(gè)點(diǎn)干擾，分別位于30°與50°，干噪比（Interference and Noise Ratio，INR）均為30 dB.為驗(yàn)證文中算法在導(dǎo)向矢量失配較大的場景下的性能，設(shè)假定的目標(biāo)方向?yàn)?°，而真實(shí)的目標(biāo)方向?yàn)?°，即目標(biāo)波達(dá)方向存在3°的失配，陣元幅相誤差服從零均值復(fù)高斯分布，方差為0.04.仿真實(shí)驗(yàn)添加5種算法與文中算法進(jìn)行性能對比:文獻(xiàn)［6］的GLC算法、文獻(xiàn)［9］的基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量估計(jì)（Rec）算法、最壞情況性能最優(yōu)算法（Worst-Case）［3］、基于概率約束算法（Probability Constraint，PC）［4］和經(jīng)典的對角加載算法（Loaded Sample Matrix Inverse，LSMI）.其中，Worst-Case算法中誤差界選取ε=7；PC算法中誤差界選取εpc=7，概率值選取p=0.99；LSMI方法中對角加載水平采用10σ2，σ2為噪聲功率；BI-QCQP算法角域范圍選取Θ=［θt-5°，θt+5°］=［-2°，8°］.圖4為單次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，其余為100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)取平均值的結(jié)果.

圖2給出了樣本數(shù)為200時(shí)，6種算法輸出SINR隨輸入信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）的變化曲線圖.從圖2可以看出，在整個(gè)輸入SNR范圍內(nèi)，所提算法均取得了最高輸出SINR.GLC算法由于采用自適應(yīng)對角加載技術(shù)，相對于固定對角加載技術(shù)LSMI顯示出較好的性能.由于Rec算法首先使用Capon譜進(jìn)行協(xié)方差矩陣重構(gòu)，而Capon法對陣元福相誤差較為敏感，在陣元幅相誤差較大時(shí)重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣與理想?yún)f(xié)方差矩陣偏差較大，Rec算法性能會嚴(yán)重下降［10］.

圖3給出了SNR為-5 dB時(shí)，6種算法輸出SINR隨樣本數(shù)變化曲線，樣本數(shù)從10開始，在樣本數(shù)小于100時(shí)，為保證Worst-Case、PC、Rec算法的協(xié)方差矩陣可逆，對這3種算法的協(xié)方差矩陣進(jìn)行對角加載，加載因子為10σ2.從圖3可以看出，與其他4種算法相比，所提算法的輸出SINR在整個(gè)樣本數(shù)范圍均獲得了最大值，所提算法與Worst-Case、PC、Rec、LSMI算法在樣本數(shù)為200以后開始收斂，而GLC算法隨著樣本數(shù)的增加性能逐漸下降，這是因?yàn)楫?dāng)樣本數(shù)較大時(shí)估計(jì)的協(xié)方差矩陣更接近理想?yún)f(xié)方差矩陣，從而由自適應(yīng)對角加載技術(shù)得到的對角加載水平減小，不能提供足夠好的抗導(dǎo)向矢量失配的穩(wěn)健性.

圖2　輸出SINR隨SNR變化曲線

圖3　輸出SINR隨樣本數(shù)的變化曲線

圖4 輸出SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線

圖4給出了SNR為-5 dB時(shí)，BI-QCQP算法輸出SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線，從圖4可以看出，經(jīng)過3 ～4步文中算法開始收斂，說明BI-QCQP算法可快速收斂.BI-QCQP算法每一步迭代過程僅需要分別求解兩個(gè)低維QCQP問題，因此，BI-QCQP算法的快速收斂性就使得所提算法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度.

下面詳細(xì)分析6種算法的計(jì)算復(fù)雜度，忽略低階項(xiàng)（二階及以下項(xiàng)），其中，Worst-Case算法與PC算法中均需求解二階錐規(guī)劃問題（Second-Order Cone Programming，SOCP），用內(nèi)點(diǎn)法容易求解，一般在10步左右可以收斂［3］，Rec算法與文中BI-QCQP算法均需要求解QCQP問題，用內(nèi)點(diǎn)法求解其迭代次數(shù)一般也需要10步左右.因此，可以假設(shè)上述4種算法中每一次用內(nèi)點(diǎn)法求解SOCP或QCQP問題的迭代次數(shù)均為B=10（實(shí)際中每次求解的迭代次數(shù)可能不同，但一般均在10次左右），以便于對計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析.BIQCQP算法的迭代次數(shù)假設(shè)為3步.

表1列出了6種算法的計(jì)算復(fù)雜度.BI-QCQP算法由于采用迭代降維處理，每次迭代只需分別求解兩個(gè)低維的QCQP問題，且算法可以快速收斂，而Worst-Case算法、PC算法及Rec算法均需進(jìn)行全維迭代處理，因此與Worst-Case算法、PC算法及Rec算法相比，其計(jì)算復(fù)雜度更低.此外，在進(jìn)行權(quán)矢量更新時(shí)，BIQCQP算法的計(jì)算復(fù)雜度為（O 3B（M3+N3）），遠(yuǎn)小于Worst-Case算法、PC算法及Rec算法的計(jì)算復(fù)雜度O（BM3N3），從而較大提高了計(jì)算效率.

表1　6種算法計(jì)算復(fù)雜度比較

3 結(jié)束語

筆者將GLC算法應(yīng)用到MIMO雷達(dá)模型，得到改進(jìn)的協(xié)方差矩陣估計(jì)，接著利用MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列少部分先驗(yàn)知識，根據(jù)目標(biāo)信號輸出功率最大原理建立代價(jià)函數(shù)以估計(jì)真實(shí)的發(fā)射與接收導(dǎo)向矢量.用BI算法求解該代價(jià)函數(shù)，將原始的高維問題轉(zhuǎn)化為低維的凸QCQP問題.仿真實(shí)驗(yàn)表明，與傳統(tǒng)算法相比，在導(dǎo)向矢量失配嚴(yán)重的情形下，文中算法能夠取得最高的輸出SINR，且能快速收斂，與其他穩(wěn)健波束形成算法相比，具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，尤其在進(jìn)行權(quán)矢量更新時(shí)，能夠較大提高計(jì)算效率.

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（編輯:齊淑娟）

Iterative dimension-reduced robust adaptive beamformer for MIMO radar

YU Hongbo，F(xiàn)ENG Dazheng，XIE Hu
（National Key Lab.of Radar Signal Processing，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

Aiming at the transmitted and received steering vectors mismatch problem，an iterative dimension-reducing robust adaptive beamformer for MIMO radar is presented.The General Linear Combined（GLC）method is applied in MIMO radar to obtain the enhanced covariance matrix estimation，and the transmitted and received steering vectors mismatch model is established.The cost function is established based on the desired signal output power maximum principle to estimate the transmitted and received steering vectors.The bi-iteration method is proposed to solve the cost function and it is merely necessary to find out two low-dimensional convex quadratically constrained quadratic programming（QCQP）problems in per iteration.Simulation results show that the proposed method can obtain the higher output signal-to-noise-plus-interference（SINR）under the condition of severe steering vector mismatch than the conventional robust beamformers，and that the proposed method can converge fast so that it has the lower computational complexity.

multiple-input multiple-output（MIMO）radar；robust beamformer；quadratically constrained quadratic programming（QCQP）；bi-iteration；dimension-reduced

TN958.92

A

1001-2400（2016）01-0030-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.006

2014-07-20 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-04-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61271293）

虞泓波（1988-），男，西安電子科技大學(xué)博士研究生，E-mail:beyond?hongbo@126.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.022.html