結合自適應稀疏表示和全變分約束的圖像重建

王 勇1，馮唐智1，陳楚楚1，喬倩倩1，楊笑宇1，王國棟1，高全學2

（1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安 710071；2.西安電子科技大學通信工程學院，陜西西安 710071）

結合自適應稀疏表示和全變分約束的圖像重建

王 勇1，馮唐智1，陳楚楚1，喬倩倩1，楊笑宇1，王國棟1，高全學2

（1.西安電子科技大學電子工程學院，陜西西安 710071；2.西安電子科技大學通信工程學院，陜西西安 710071）

針對以二維小波變換和離散余弦變換為代表的固定正交基在圖像壓縮感知高分辨率重建中的局限性，提出了一種新的自適應冗余字典稀疏表示結合全變分約束的圖像高分辨率重建算法.該算法以迭代過程的中間圖像作為訓練樣本，通過自適應學習獲得適合樣本特征的冗余字典，它充分利用了字典原子與待重建圖像的相關性，獲得了待重建圖像的理想完備稀疏表示，從而降低了采樣率，提高了圖像重建質量.最后，以全變分作為正則化條件，采用交替迭代算法求解稀疏優化問題.仿真結果表明，該算法可以在低采樣率下重建出高質量的圖像.

壓縮感知；自適應冗余字典；稀疏表示；圖像重建；全變分

在圖像高分辨率重建中，稀疏表示是近年來關注的熱點之一，也是壓縮感知成像的核心問題之一［1］.為提高圖像表示的稀疏性，一般通過小波、離散余弦等正交變換對圖像進行稀疏表示.這些傳統稀疏表示的優點是操作簡單、理論成熟.但是這些變換存在著只能表示有限的信號特征的缺點，當信號與基函數特征不匹配時不能獲得理想的稀疏表示.最近，字典作為一種有效的稀疏表示手段被引入到圖像去噪、去模糊、超分辨及分類等問題中［2-7］，獲得了較好的效果.在雷達圖像編碼領域，從已有相關圖像學習出字典，并將該字典作為稀疏變換基應用在合成孔徑雷達圖像壓縮中，取得了較好的效果.相比以小波變換為基礎的JPEG2000壓縮算法，該方法能夠更好地保留圖像的重要特征［2］.在圖像去模糊方面，利用圖像分塊在冗余字典下具有稀疏性先驗的性能，通過求解稀疏優化問題來恢復圖像，獲得了較好的效果［3］.采用交替迭代思想，從降質圖像本身學習冗余字典，自適應地選取適合待重建圖像特征的稀疏變換基，在圖像去模糊和超分辨重建中取得了較好效果.在壓縮感知方面，在多稀疏空間框架下根據圖像局部特性自適應地選取稀疏表示基，提高了表示的稀疏性，降低了采樣率［4］.

為了克服傳統圖像在壓縮感知中采用正交基或固定字典作為稀疏變換基帶來的圖像重建質量低和適應性不強的問題，筆者根據多原子庫自適應學習的思想，建立了圖像稀疏編碼模型.該模型從迭代重建過程的中間圖像學習得到冗余字典，充分利用了字典原子與待重建圖像的相關性，從而獲得了較理想的圖像稀疏編碼.利用圖像在字典域具有稀疏性這一先驗知識，通過求解非線性優化問題可以重建出高質量圖像.由于圖像重建是一個典型的反問題，為了進一步提高重建質量，需要挖掘更多的先驗信息，縮小優化問題的求解范圍，從而提高重建質量.全變分是一種根據自然圖像離散梯度具有稀疏性這一先驗知識而提出的正則化約束模型，已成功應用于圖像去噪和修復等反問題中.全變分在促使重建圖像平滑的同時，還對圖像的邊緣和紋理具有很好的保持作用［8］.筆者將全變分稀疏先驗作為一種正則化項引入到重建模型中，提出了一種結合自適應稀疏表示和全變分約束的圖像高分辨率重建算法（Adaptive Sparse rePresentation and Total Variation constraint reconstruction，ASP-TV），提高了圖像重建質量.

1 圖像稀疏重建

根據壓縮感知理論，圖像的稀疏表示重建過程是一個反問題.設待重建圖像x∈RN×N；稀疏變換基為正交變換Ψ，Ψ∈RN×N；圖像的稀疏編碼x=Ψα，其中α中每一列的非零元素的個數不大于K個；觀測信號y=Φx，其中Φ為觀測矩陣.壓縮感知理論［1］指出，若觀測矩陣Φ和稀疏基Ψ不相關，可以從M≥K log（N/K）個采樣中通過求解最優化問題（P1）來重建出信號x:

2 基于ASP-TV模型的圖像高分辨率重建

在處理各種基于過完備稀疏表示模型的圖像反問題時，傳統的做法是先從自然圖像庫中學習出一個固定的冗余字典，然后以該字典作為稀疏變換基［9］.在圖像信息丟失不太嚴重的情況下，固定的字典仍可以較為準確地描述數據中的主要特征，利用稀疏先驗可以從低維觀測信號中較為準確地恢復原始數據.但是，在圖像信息損失嚴重的情況下，固定的字典不能很好地對圖像進行稀疏表示，從而很難恢復原始圖像.基于以上理論，筆者從稀疏編碼和稀疏優化問題求解入手，提出ASP-TV模型.根據欠采樣數據，通過反投影法重建初始圖像，從該圖像出發，采用交替迭代逐步逼近［10］來獲得較精確的結果.該模型較傳統的圖像壓縮感知主要有兩點改進:首先，將圖像的小范圍分塊在自適應冗余字典下具有稀疏性這一先驗知識引入壓縮感知，代替傳統的正交變換稀疏先驗知識.每次迭代都將上一次迭代獲得的圖像進行重疊式分塊，利用K奇異值分解（K-SVD）算法［11］從這些分塊中學習出冗余字典.由于分塊可以很好地突出圖像局部結構特點，因而從分塊學習得到的字典有效地利用了圖像的局部結構信息，對圖像可以更好地稀疏表示，降低了采樣率.此外，字典是從逐步精確的迭代過程中動態獲得的，不是預先設定的固定字典，所以該字典是自適應待重建圖像的，能夠很好地描述圖像.將該字典作為稀疏變換基，利用圖像分塊的真實成分在字典下是稀疏的，而偽影和噪聲則是非稀疏的這一先驗知識，在求解稀疏優化問題的同時去除偽影與噪聲.其次，為進一步縮小求解范圍，提高重建精度，將全變分正則化項引入重建模型.在去除偽影與噪聲的基礎上，利用自然圖像離散梯度具有稀疏性的特點，使用全變分約束，通過求解帶采樣數據一致性項和前后兩次迭代數據一致性項的二范數優化問題更新圖像，進一步提高重建精度.具體求解時，采用分裂Bregman迭代法求解同時含有待恢復圖像x和圖像對應的稀疏編碼系數α的近似零范數約束的非凸優化問題，不同于一般的求解單變量L1范數稀疏凸優化問題.ASP-TV模型的流程如圖1所示.

圖1　ASP-TV模型流程圖

2.1自適應稀疏表示

在K-SVD算法的基礎上，筆者從迭代求解過程的中間圖像學習出冗余字典.由于所獲得的冗余字典是從待重建圖像本身學習得到的，因此該字典是自適應待重建圖像的，能夠很好地描述信號的特征，獲得完備的稀疏表示.對圖像按列處理，N×N圖像的稀疏變換基為冗余字典D，D∈RN×K（K＞N），待重建信號在字典D下的稀疏編碼為x，x=Dα，其中α與x都是未知的待求解量，觀測信號y=Φx=ΦDα.由先驗知識知待重建圖像在字典D下是稀疏的，即α是稀疏的，原始圖像x可以通過求解最優化問題（P2）得到:

當圖像的維度N較大時，D是一個規模非常大的矩陣，對存儲器要求很大，同時式（2）將是一個大尺度問題，求解較困難.為了降低對存儲器的要求和求解難度，筆者在對圖像進行稀疏編碼時采用“分塊”的策略.使用一個大小為n×n（n＜N）的窗從圖像的左上角開始，分別沿橫向和縱向移動，直到窗的右下角到達圖像的右下角.窗每移動一個像素時將獲得一個小的圖像塊.定義Rij（1≤i，j≤N-n+1）為從N×N的圖像中取出的大小為n×n像素塊的算子，則上一次迭代所得圖像x（k）的全體分塊可表示為

利用K-SVD算法［11］對上述圖像分塊xij（k）（1≤i，j≤N-n+1）進行字典學習，得到字典D（k）.本次迭代的待求解圖像分塊xij=Rijx在字典D（k）下的稀疏編碼為xij，xij=D（k）αij，利用稀疏先驗知識，有重建模型（P3）為

其中，α是全體分塊的稀疏編碼系數αij的集合.

2.2全變分正則化

根據以上分析，重建模型（P3）只利用了待重建圖像在字典域下是稀疏的這一先驗信息.正則化方法由于可以附加更多的約束條件，所以在求解反問題時可以獲得更高的精度.全變分（Total Variation，TV）是根據自然圖像的離散梯度具有稀疏性的先驗知識提出來的一種有效的正則化約束模型，已成功應用于諸多圖像處理的反問題中.根據全變分的定義，N×N的圖像x有

將圖像的全變分VTV（x）作為正則化項加入到重建模型（P3）中，得到結合自適應稀疏表示和全變分約束的圖像高分辨率重構模型（P4）:

其中，λ和μij（1≤i，j≤N-n+1）是正則化參數，α是全體分塊在字典域下的稀疏編碼系數αij的集合.

3 ASP-TV模型求解

最優化問題（P4）是一個帶約束的多變量優化問題，無法直接求解.筆者結合Bregman迭代［12-13］的思想，將最優化問題（P4）分解為幾個簡單的子問題，然后通過分別求解各個子問題來求解問題（P4）.一般化最優化問題（P5）為其中，J（u）為凸函數，H（v）為可微的凸函數，Φ是線性算子.（P5）可以按照算法1所述的Bregman迭代算法來求解［13］.

算法1 Bregman迭代算法.

步驟1 引入輔助變量b，初始化k=0，u（0）=0，v（0）=0，b（0）=0.

步驟2 判斷是否收斂，若收斂，則執行步驟3；否則，執行如下迭代:

考慮到算法1中式（8）多變量優化問題的復雜性，采用分裂Bregman迭代（Split Bregman Iteration，SBI）方法［13］，得算法1步驟2中多變量優化問題的求解算法，如算法2所述.

算法2 分裂Bregman迭代算法.

步驟1 初始化，i=0，u（k+1，0）=u（k），v（k+1，0）=v（k）（u（k），v（k）是算法1中上一次的迭代結果），給出收斂判斷條件.

步驟2 如果不收斂，則按下述步驟交替迭代:

步驟3 將步驟2最終的交替迭代結果輸出:（u（k+1），v（k+1））=（u（k，i），v（k，i））.根據前面分塊的定義，待重建圖像信號x與全體分塊的稀疏編碼系數的關系為

令

α是全體分塊的稀疏編碼系數的集合.顯然，最優化問題（P4）是（P5）的一種情況.結合算法1和算法2得到求解結合自適應稀疏表示與全變分約束圖像壓縮感知的恢復模型（P4）的求解算法，如算法3所述.

算法3 恢復模型（P4）的求解算法.

步驟1 引入輔助變量b（b與圖像x大小一致），初始化k=0，b（0）=0，根據部分采樣數據反投影重建初始迭代圖像x（0），確定收斂判定條件:前后兩次迭代圖像的差值圖像的像素和占后一次迭代所獲圖像像素和的比小于10-5.

步驟2 計算圖像x（k）與殘差圖像b（k）的差值圖像x′（k）=x（k）-b（k），將x′（k）分塊，采用K-SVD算法學習出字典D（k），并用正交匹配（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法求解每個差值圖像分塊的稀疏編碼:

步驟3 利用非線性共軛梯度法求解

步驟4 用步驟2所求稀疏編碼系數重建出一幅圖像，記為

步驟5 b（k+1）=b（k）+x′-x（k+1），k=k+1.

4 仿真實驗與分析

為了說明筆者所提方法的有效性，從標準圖像庫中選取若干幅大小為256×256的典型測試圖像，分別選擇20%，30%，40%的采樣率來進行重建實驗.實驗在處理器為Intel（R）Xeon E5-5503 CPU，2.30 GHz，內存為16 GB，操作系統為Windows XP（64 bit），環境為Matlab2012b的條件下進行.實驗中，模型（P4）中參數λ選取0.005；參數μ在算法3步驟2中可以被吸收到參數ρ，參數ρ=0.15；圖像稀疏編碼時分塊大小為8×8.根據部分采樣數據，反投影重建一幅圖像，以該圖像為初始迭代圖像，交替迭代，直至前后兩次迭代圖像的差值圖像的像素和占后一次迭代圖像像素和的比小于10-5.最后，將筆者提出的算法與當前幾種不同類型的壓縮感知重建圖像算法分別從主觀視覺和客觀的峰值信噪比及特征相似度方面來比較.對比算法分別為分塊壓縮感知［15］、概率類算法貝葉斯壓縮感知［16］、L1范數類算法GPSR［14］，稀疏變換均采用小波變換，參數均設置為默認參數.表1是各種算法在不同采樣率下的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和特征相似度（Feature SIMilarity，FSIM）的比較.其中，FSIM表示重建圖像與原圖的特征相似度，其值介于0到1之間，越大表示重建質量越好.限于篇幅，這里只列舉了4幅典型圖像的數據.

從表1的數值對比結果可知，對同一幅圖像，在相同采樣率下，筆者提出的算法框架與當前幾種典型的圖像壓縮感知重建算法相比，不論是峰值信噪比還是特征相似度，都有一定程度的提高.重建質量的提高有兩方面原因:一是稀疏編碼階段采用自適應冗余字典，而不是固定的字典或者完備正交變換，這對描述圖像的細節具有重要意義.從對比中可以看到，像Barbara這種紋理細節豐富的圖像，提高更明顯.二是在稀疏優化問題求解時采用求解稀疏編碼系數的近似L0范數的非凸優化問題，而對比算法分塊壓縮感知和梯度投影法都是求解稀疏編碼系數的L1范數凸優化問題.由壓縮感知基本理論可知，L0范數優化問題更接近真實解.為從視覺直觀上進行比較，將對比算法與筆者提出的算法重建結果進行比較，由于篇幅所限，這里只列舉了Barbara圖像在視覺上的重建結果比較，如圖2所示.

表1　不同算法的重建圖像PSNR和FSlM比較

圖2　實驗比較結果

從圖2中矩形標記的紋理部分可以看出，筆者提出的算法對圖像紋理細節的重構明顯好于對比算法.分塊壓縮感知和貝葉斯壓縮感知在該部分都有明顯的模糊塊狀.GPSR算法雖然在紋理部分的效果較分塊壓縮感知和貝葉斯壓縮感知方法的都有一定的提高，但在圖像平滑部分卻引入了較多的類似椒鹽噪聲的斑點，所以整體效果差于上述兩種算法.由于筆者提出的算法中引入了全變分約束，所以對圖像的平滑部分的重建比其他幾種算法效果要好，從圖中Barbara手臂的重建效果對比可以看出這種優勢.

5 結束語

相對于傳統圖像壓縮感知中以完備正交基作為稀疏變換基，筆者提出了采用自適應冗余字典作為信號的稀疏變換基，并通過加入總變分正則化項，得到了ASP-TV的高分辨率圖像重建模型.仿真實驗表明，這種算法能夠在低采樣率下重建出高質量的圖像.由于在求解稀疏優化問題時，筆者采用了共軛梯度法，涉及到矩陣求逆及矩陣乘法問題，當圖像的維度較大時，對處理器和存儲器的要求較高.另外，在圖像恢復模型中只利用了稀疏先驗知識，忽略了稀疏系數的結構信息.挖掘更多的先驗約束能夠提高重建的精度，在稀疏先驗的基礎上，利用貝葉斯方法對稀疏系數分布進行建模，可以進一步提高重建圖像的精度.

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（編輯:郭 華）

Adaptive sparse representation and total variation constraint based image reconstruction

WANG Yong1，FENG Tangzhi1，CHEN Chuchu1，QIAO Qianqian1，YANG Xiaoyu1，WANG Guodong1，GAO Quanxue2
（1.School of Electronic Engineering，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China；2.School of Telecommunication Engineering，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

In view of the limitation of fixed complete orthogonal transformation，represented by twodimensional wavelet transform and discrete cosine transform in compressed sensing high-resolution image reconstruction，this paper proposes a new method for high-resolution image reconstruction based on adaptive redundant dictionary sparse representation with the total variation constraint.The algorithm takes the intermediate image in the process of iteration as the training sample to get a redundant dictionary suitable for sample characteristics by adaptive learning.It makes full use of the correlation between dictionary atoms and the image to get an ideal complete sparse representation，thus reducing the sampling rate and improving the quality of image reconstruction.Finally，the algorithm takes the total variation as a constraint and uses the split Bregman iterative method to solve the sparse optimization problem.Simulation shows that the proposed method can reconstruct high quality images under a low sampling rate.

compressed sensing；adaptive redundant dictionary；sparse representation；image reconstruction；total variation

TN911.73

A

1001-2400（2016）01-0012-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.003

2014-07-29 網絡出版時間：2015-04-14

國家自然科學基金資助項目（61271296）；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（JB150218）；西安電子科技大學教育教學改革研究資助項目（B1311）；西安電子科技大學新實驗開發與新實驗設備研制及實驗教學改革資助項目（SY1354）

王 勇（1976-），男，副教授，E-mail:yongwang@126.com.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150414.2046.003.html