“錯題集中營”之“軸對稱”

謝潔紅

數學學習的過程其實也是一個不斷改錯糾錯的過程，在“軸對稱與軸對稱圖形”的學習中，很容易出現這樣那樣的錯誤，下面呈現給同學們的是平時作業中常出現的幾個典型錯誤，我們將進行具體的分析，希望同學們找出錯誤原因，在以后解題時避免類似的問題發生.

易錯點一：對“兩個圖形成軸對稱”與“一個圖形是軸對稱圖形”概念理解不透

例1 下列說法中，正確的是（ ）

A.形狀相同的兩個圖形成軸對稱

B.軸對稱圖形和成軸對稱圖形是一回事，都是關于某直線對稱

C.能夠完全重合的兩個圖形成軸對稱

D.沿著一條直線對折能夠完全重合的兩個圖形成軸對稱

【錯解】A或B或C.

【正解】D.

【學生自述】對“兩個圖形成軸對稱”與“一個圖形是軸對稱圖形”概念理解不透.

【點評】選A或C的同學，對“兩個圖形成軸對稱”的概念理解不到位，忽略了“兩個圖形成軸對稱，不僅和圖形的形狀、大小有關，還與圖形的位置有關，三者缺一不可” .選B的同學混淆了“兩個圖形成軸對稱”與“軸對稱圖形”這兩個不同的概念.圖形成軸對稱反映的是兩個圖形之間的形狀、大小和位置的關系，而軸對稱圖形是指一個圖形自身的性質.軸對稱的對稱點分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形的對稱點都在同一個圖形上.當然，如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩部分關于這條對稱軸成軸對稱；如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么這個整體就是一個軸對稱圖形.“圖形成軸對稱”和“軸對稱圖形”是兩個不同的概念.它們之間有著密切的聯系.

易錯點二：對稱軸描述有誤

例2 說出線段、角、等腰三角形、正方形、圓的對稱軸.

【錯解】線段有一條對稱軸，是它的垂直平分線；角有一條對稱軸，是它的角平分線；等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的高；正方形有兩條對稱軸，是兩組對邊中點的連線；圓有無數條對稱軸，是它的直徑.

【正解】線段有兩條對稱軸，是線段的垂直平分線和它所在的直線；角有一條對稱軸，是角平分線所在的直線；等腰三角形有一條對稱軸，是底邊上的高（或中線）所在直線或者是頂角平分線所在直線；正方形的對稱軸有四條，是對角線所在直線和過對邊中點的直線；圓有無數條對稱軸，是過圓心的直線（或直徑所在的直線）.

【學生自述】忽略了對稱軸是直線，有的圖形有若干條對稱軸.

【點評】本題考查如何確定對稱軸及其描述，要注意的是圖形的對稱軸是直線，而不是線段或射線.線段的對稱軸有兩條，正方形的對稱軸有四條，等腰三角形有一條對稱軸.

易錯點三：對于無圖問題，考慮欠周全，造成漏解

例3 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為30°，求這個等腰三角形頂角的度數.

【錯解】60°.

【正解】60°或120°.

【學生自述】只考慮了高在等腰三角形內部的情況，忽略了在三角形外部的情況.

【點評】等腰三角形是一個軸對稱圖形，一腰上的高既可以在等腰三角形內，也可以在等腰三角形外，需分類討論.①當高在等腰三角形內部時，頂角為60°；②當高在等腰三角形外部時，頂角為120°.故此等腰三角形的頂角為60°或120°.

例4 已知等腰三角形的兩條邊長分別為4和7，那么它的周長等于______.

【錯解】15.

【正解】分兩種情況：當腰長是4時，三角形的周長是7+4×2=15；當腰長是7時，三角形的周長是4+7×2=18，故三角形的周長是15或18.

【學生自述】只考慮了腰長為4這一種情況.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.此類題不要漏掉一種情況，同時注意看是否符合三角形的三邊關系.

例5 已知等腰三角形的一個角等于80°，則它的另外兩個角的度數分別是（ ）

【錯解】50°和50°.

【正解】分兩種情況：當頂角是80°時，則另外兩個角的度數分別是50°、50°；當底角是80°時，另外兩個角的度數分別是80°、20°，所以它的另外兩個角的度數分別是50°、50°或80°、20°.

【學生自述】等腰三角形一內角為80°，只考慮了頂角為80°的情況.

【點評】等腰三角形是軸對稱圖形，除了可以根據對稱性得到邊角、有關線段的性質外，在涉及等腰三角形的邊、角的計算方面，若沒有明確底邊、腰、底角、頂角時，要分情況進行討論.

易錯點四：對稱軸找不全

例6 如圖，由4個小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點都是小正方形的頂點.在田字格上畫與△ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含△ABC本身）共有______個.

【錯解】2個.

【正解】有3個.

【學生自述】只考慮了網格線為對稱軸的兩種情況，而把對角線作為對稱軸的情況忽視了.

【點評】此題考查了利用“軸對稱”尋找圖案的知識，關鍵是根據要求頂點在格點上尋找對稱軸，有一定難度，注意不要漏解.因為頂點都在小正方形上，故可分別以大正方形的兩條對角線和兩條橫豎的網格線為對稱軸進行尋找.

（作者單位：江蘇省無錫市泰伯實驗學校）