The IMU Calibration Mathematical Modeling and Error Analysis*

ZHAO Guiling，JIANG Yuhan，LI Song（School of Geomatics，Liaoning Technical University，Fuxin Liaoning 123000，China）

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The IMU Calibration Mathematical Modeling and Error Analysis*

ZHAO Guiling*，JIANG Yuhan，LI Song
（School of Geomatics，Liaoning Technical University，Fuxin Liaoning 123000，China）

The calibration path design and data processing method for inertial measurement unit（IMU）depend on IMU calibration mathematical model.Installation error is an important factor in determining the IMU calibration model.According to the different installation forms of accelerometers and gyroscopes relative to the carrier，an IMU calibration mathematical modeling method was proposed by coordinate transformation.The affects of IMU calibra?tion model error on angular rate and acceleration were derived.It analyzed the influence of IMU calibration model error on inertial navigation system navigation（SINS），and also designed calibration path and data processing meth?ods based on the position information provided by turntable.The simulation and turntable experiment results show that IMU calibration model error causes attitude error，velocity error and position error.Also，the expression form of installation error decides the navigation errors caused by IMU calibration model.

inertial measurement unit；calibration；mathematical modeling；installation error；inertial navigation system navigation

慣性測量單元IMU（Inertial Measurement Unit）是捷聯慣性導航系統的核心硬件基礎，其標定精度直接影響捷聯慣性導航系統的工作精度［1-4］。IMU標定精度取決于IMU標定數學模型精度及基于標定模型的標定路徑設計和標定數據處理方法［5-8］。而IMU實際輸出軸組成的陀螺坐標系和加速度計坐標系與導航解算所在的角速度坐標系和比力坐標系之間的安裝誤差，決定了IMU標定數學模型的表達形式。國內外對IMU標定技術的研究，主要針對轉臺的性能指標或載體的機動性開展標定路徑設計和參數估計算法的研究［9-11］，鮮有對標定模型本身精確性和適用性的分析與探討，部分討論也只是基于固定模型下分析具體參數的影響［12-13］，缺乏對模型嚴格準確的推導，而標定模型對于標定方法的選擇、IMU性能評估以及系統的誤差分配具有重要意義［14］。

不同的導航系統對IMU標定模型精度要求有多高？不同精度要求的IMU標定應該采用多高精度的數學模型？簡化的IMU標定模型對系統的導航精度有多大的影響？IMU標定亟待解決這些問題。本文針對IMU標定模型的精確性、適用性等實際問題開展研究工作，以三軸一體IMU安裝誤差角為切入點，基于空間笛卡爾坐標系轉換矩陣，建立IMU標定線性數學模型，給出模型中各個參數的物理意義，并對模型進行兩種常用形式的簡化。基于三軸慣性測試轉臺設計的IMU標定仿真和實驗結果，給出了IMU簡化模型誤差對捷聯慣性導航系統精度的影響，為不同精度的捷聯慣性導航系統選擇IMU標定模型奠定基礎。

1　IMU標定建模

IMU主要由敏感載體角速率的陀螺和敏感載體比力的加速度計組成，其中光纖陀螺和加速度計輸出脈沖與角速率和比力之間的轉換模型為：

式中：

Ng和Na為光纖陀螺和加速度計的脈沖輸出；wg和fa為陀螺角速率和加速度計比力；Kg和Ka為光纖陀螺和加速度計標度因數；D0和?0為光纖陀螺和加速度計零偏。

將陀螺元件和加速度計元件安裝到IMU基座上時，由于元件的機械安裝誤差、IMU基座加工的垂直度誤差、以及元件真實輸入基準軸與理想輸入軸之間存在的失準角誤差，使得IMU實際輸入軸組成的陀螺坐標系（og-xgygzg，g系）和加速度計坐標系（oa-xayaza，a系）與系統解算所在的載體坐標系（ob-xbybzb，b系）不重合。在進行系統解算時，必須將陀螺和加速度計的輸出轉換到載體坐標系上，因此，IMU標定數學建模問題轉化為g系和a系與b系之間的空間笛卡爾坐標系轉化問題。假設og和oa與ob重合為一點o，Cg（a）b為b系與g（a）系之間的轉換矩陣。i，j，k表示g（a）系軸向的單位矢量，ib，jb，kb表示b系軸向的單位矢量，坐標系之間的關系如圖1所示。

根據空間笛卡爾坐標系基變換公式，可得b系到g（a）系的基變換公式：

b系到g（a）系的坐標變換矩陣：

θmnb（m=i，j，k；n=i，j，k）為m與nb之間的夾角。一般為非正交矩陣，它的特點是每個行向量都是單位向量，標定路徑設計與參數的求解可以利用此約束條件進行。

圖1　IMU安裝示意圖

wg和fa是角速率矢量和比力矢量在g系和a系下的投影，慣性導航解算需要的是載體坐標系b系下的投影wb和fb，由于安裝誤差的存在，wg和fa與wb和fb之間存在如下關系：

將式（5）代入式（1），可得IMU輸入輸出標定數學模型為：

2　IMU標定模型簡化及誤差

式（4）是在IMU敏感元件任意安裝下求得的坐標變換矩陣，IMU標定常采用以下兩種簡化形式：①假設g（a）系三個軸與b系對應軸在空間笛卡坐標系內成小角度安裝變形為：

②假設g（a）系三個軸正交安裝，此時，b系到g系的坐標系變換，可以通過繞不同坐標軸的三次連續轉動來實現。首先繞zb軸轉動ψ角形成坐標系ob-x1y1z1，再繞y1軸轉動θ角形成坐標系ob-x2y2z2，最后繞x2軸轉動?角形成坐標系og-xgygzg。將三次轉動表述成三個獨立的方向余弦陣，b系到g系的變換用三個獨立的方向余弦陣乘積表示。

當三次旋轉角為小角度旋轉時，對（9）式進行化簡，并忽略二階以上小量變形為：

式（8）和式（10）是在IMU敏感元件小角度安裝誤差角和正交安裝下的簡化，將其代入IMU標定數學模型并進行角速度和加速度的計算：

其中，x?（x=wb，，Kg，D0，fb，Ka，?0）表示x的計算值。將式（6）代入式（11），可得w?b，f?b與wb，fb之間的關系：

式（12）中，δD0=D0-D?0，δ?0=?0-??0。將w?b和f?

b代入捷聯慣性導航系統誤差方程：

其中：Cbn為捷聯轉換矩陣；δVE，δVN為東向速度誤差和北向速度誤差；δλ、δL、δh、?為經度誤差、緯度誤差、高度誤差和姿態誤差；為地球自轉角速度、導航系相對地球旋轉角速度、導航系相對慣性系的旋轉角速度分別在導航系的投影；RN、RM為地球極半徑和赤道半徑；εn、?n為等效陀螺漂移和加速度計誤差。由捷聯慣性導航系統誤差方程式（13）可以看出，簡化的IMU標定數學模型直接引起系統的速度誤差、位置誤差和姿態誤差。

3　仿真與實驗

為了分析IMU標定模型誤差對捷聯慣性導航系統的影響，利用三軸慣性測試轉臺提供的位置和速率，基于式（8）和式（10）兩種簡化形式，設計IMU標定路徑，對IMU進行標定仿真和實驗，并將標定的仿真和實驗結果代入捷聯慣性導航系統進行導航驗證。

3.1IMU標定路徑設計

三軸慣性測試轉臺可以提供精確的位置和速率信息，IMU標定路徑設計就是利用轉臺提供的精確位置，激勵出IMU待標定參數Kg、D0和Ka、、?。分別設計陀螺和加速度計標定路徑。矩陣0相乘使得待標定參數耦合在一起，IMU標定路徑設計的關鍵是如何分離各個待標定參數。欲求（或）中的標定參數C，設計思想是使得第i個位置的n（n = x， y， z） 軸輸出Ngn（i）（或N>an（i））與第j 個位置的n（n = x， y， z） 軸輸出Ngn（j）（或Nan（j））滿足如下關系：

欲求陀螺零位D0n（n=x，y，z）和加速度計零位?0n（n=x，y，z），設計思想是使得第i個位置的n（n = x， y， z） 軸輸出Ngn（i）（或Nan（i））與第j 個位置的n（n = x， y， z） 軸輸出Ngn（j）（或Nan（j））滿足如下關系：

按照以上設計方案，設計的陀螺標定方案輸出為：（ωie00）T、（-ωie00）T、（0ωie0）T、（0-ωie0）T、（00ωie）T、（00-ωie）T。設計的加速度計標定方案輸出為：（g00）T、（-g00）T、（0g0）T、（0-g0）T、（00g）T、（00-g）T。IMU在每個位置停留5分鐘，將上述位置的陀螺輸入和加速度計輸入分別代入式（6），根據簡化形式的不同，IMU在每個位置的脈沖輸出形式不同，按照式（14）和式（15）對待標定參數進行計算。

3.2計算機仿真

采用3.1設計的標定路徑和計算方法對IMU標定模型誤差的影響進行仿真和實驗驗證，將加速度計標定模型誤差和陀螺標定模型誤差分開討論，并忽略轉臺定位誤差、初始對準誤差等對系統的影響，仿真條件如下：

共進行50個樣本的標定模型誤差影響的仿真，簡化的IMU標定數學模型對導航結果的影響如圖2～圖9所示。

圖2　陀螺簡化模型一對姿態的影響

圖3　陀螺簡化模型一對速度和位置的影響

圖4　陀螺簡化模型二對姿態的影響

圖5　陀螺簡化模型二對速度和位置的影響

圖6　加速度計簡化模型一對姿態的影響

圖7　加速度計簡化模型一對速度和位置的影響

圖8　加速度計簡化模型二對姿態的影響

圖9　加速度計簡化模型二對速度和位置的影響

從仿真圖2～圖9和表1結果可以看出：在0.1o隨機安裝誤差條件下，采用相同的陀螺簡化標定數學模型和加速度計簡化標定數學模型，陀螺標定模型引起的捷聯慣性導航系統導航誤差大于加速度計標定模型引起的系統導航誤差。三個安裝誤差角形式的陀螺和加速度計標定數學模型引起的系統導航誤差大于六個安裝誤差角形式的標定數學模型引起的系統導航誤差。

表1　 IMU簡化模型對導航的影響

3.3轉臺實驗

將光纖陀螺捷聯慣性導航系統置于三軸慣性測試轉臺，轉臺角位置精度3″。控制轉臺按照3.1設計的IMU標定路徑進行旋轉，采集陀螺和加速度計輸出，分別按照式（8）和式（10）兩種簡化的IMU標定數學模型進行標定參數計算，并將計算結果代入捷聯慣性導航系統進行導航，導航結果如圖10所示。

圖10　導航定位誤差

基于簡化模型一標定出的陀螺和加速度計參數分別代入捷基于聯慣性導航系統，引起的靜態導航定位誤差為6.10 nmile/40 h和4.16 nmile/40 h；基于簡化模型二標定出的陀螺和加速度計參數分別代入捷基于聯慣性導航系統，引起的靜態導航定位誤差為29.37 nmile/40 h和21.55 nmile/40 h。模型二引起的定位誤差遠大于模型一引起的定位誤差，這與仿真得到的結論一樣。導航實驗中，陀螺簡化模型引起的定位誤差和加速度計簡化模型二引起的定位誤差與仿真得到的結論一致，但速度計簡化模型一引起的定位誤差遠大于仿真得到的結果，主要原因是在導航實驗中，不可避免的會存在轉臺定位誤差、初始對準誤差、算法誤差和隨機干擾等，這些都會對定位產生一定的影響。

4　結論

本文從IMU安裝方式出發，建立IMU標定數學模型并對模型進行了兩種簡化處理，給出模型中各個參數的物理意義。針對陀螺和加速度計簡化模型分別進行標定路徑設計，并進行計算機仿真和統計特性分析。仿真及實驗結果表明：簡化的IMU標定數學模型引起捷聯慣性導航系統速度誤差、位置誤差和姿態誤差；在研究IMU標定原理和標定方式的同時，必須考慮IMU模型的精度和IMU模型對導航的影響。不同載體、不同精度、不同用途的IMU，其標定方式和數據處理方式也不盡相同，論文在進行仿真和導航實驗時，只采用一種標定路徑和數據處理方法進行探討，對于采用其它標定方法時IMU簡化模型對導航結果的影響，論文探討不足。下一步的工作重點是探討不同標定方法下IMU對導航系統的影響以及IMU非線性標定數學模型誤差及其對導航系統的影響。

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趙桂玲（1983-），女，博士，碩士生導師，河北吳橋人，主持國家自然科學基金一項，長期從事慣性導航和組合導航技術的研究，zhaoguiling0616@163.com；

姜雨含（1995-），女，遼寧沈陽人，遼寧工程技術大學測繪與地理科學學院學生，主持國家級大學生創新項目一項，長期從事慣性導航系統標定技術的研究，763005534@qq.com；

李松（1983-），男，河北吳橋人，博士研究生。長期從事數據通訊與信號處理研究，lgd_lisong@sina.cn。

EEACC：7230；7320E10.3969/j.issn.1004-1699.2016.06.016

IMU標定數學建模及誤差分析*

趙桂玲*，姜雨含，李松
（遼寧工程技術大學測繪與地理科學學院，遼寧阜新123000）

慣性測量單元（IMU）標定路徑設計和數據處理方法取決于IMU標定數學模型，安裝誤差是決定IMU標定模型的重要因素。針對工程中加速度計和陀螺相對載體安裝方式的不同，提出一種通過坐標系轉換矩陣建立IMU標定數學模型的方法，推導IMU標定模型誤差與載體角速度和加速度之間的關系，分析IMU標定模型誤差對捷聯慣性導航系統導航參數的影響，并利用轉臺提供的位置信息設計IMU標定路徑和數據處理方法。仿真和轉臺實驗結果表明：IMU標定數學模型誤差引起捷聯慣性導航系統速度誤差、位置誤差和姿態誤差；安裝誤差的表現形式決定了IMU標定模型誤差對系統導航精度的影響。

慣性測量單元；標定；數學建模；安裝誤差；捷聯慣性導航系統

TP212

A

1004-1699（2016）06-0886-06

2015-12-22修改日期：2016-03-01

項目來源：國家自然科學基金項目（41404035）；國家大學生創新訓練項目（201510147000046）