Error Analysis of FBG Sensors Bonded on LowModulus Host Materials*

WU Rujun，SUN Dianliang（1.Shanghai Dianji University，Shanghai 01306，China；.Shandong P&T Engineering Co.，LTD，Jinan 50001，China）

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Error Analysis of FBG Sensors Bonded on LowModulus Host Materials*

WU Rujun1*，SUN Dianliang2
（1.Shanghai Dianji University，Shanghai 201306，China；2.Shandong P&T Engineering Co.，LTD，Jinan 250001，China）

FBG sensor has been widely used in measuring the strain of host material.The existing of FBG sensor af?fects strain distribution of the host material，and the host material does not contact the optical fiber.However，may result in a decrease of strain measurement accuracy.So，the strain relationship between the optical fiber and host material was needed to study to improve the measurement accuracy.A theoretical model of strain transfer was devel?oped to include the influence of FBG sensor.Subsequently，the theoretical predictions were validated by finite ele?ment analysis.The effect of parameters on strain transfer rate was discussed according to the current theoretical analysis.the error between theoretical solution and FEA was controlled within 3%.The theoretical model satisfied accuracy requirement of the FBG sensors，which is considered as a guidance for its practical application。

Fiber Bragg Grating（FBG）；strain transfer rate；theoretical analysis；shear stress

與傳統電阻傳感器相比，光纖布拉格光柵（FBG）傳感器具有體積小、質量輕、抗電磁干擾等眾多優點。根據安裝方式的不同，可以分為表面粘貼式和埋入式兩種，但是無論哪一種安裝方式，測量應變和真實應變存在一定的誤差，為進一步提高測量精度，建立測量應變與真實應變之間的關系至關重要［1］。

國內外眾多學者針對該問題作了研究，Ansari等［2］假定光纖中心處的應變和基體應變相同，從而得到FBG傳感器的應變分布規律。Duck G等［3］利用傅里葉變換得到光纖應變與基體應變之間的關系。李東升等［4-6］首次提出FBG傳感器各層應變率相等的假設，得到更高精度的應變傳遞理論。周智等［7］假定各層中點處應變相等，進而得到光纖應變與基體應變之間的關系。Zhao等［8］對四層表面粘貼式FBG傳感器應變傳遞理論進行了研究，得出各層應變分布規律。Wang等［9］對表面式FBG傳感器應變傳遞問題進行了研究，得到與李東升等人相似的結論。Her和Huang［10］針對表面粘貼式FBG傳感器應變傳遞問題進行了相關研究。Moradi M［11］建立了粘貼于薄板上的傳感器測量應變與薄板應變之間的傳遞理論。Wu等［12］人研究了埋入式FBG傳感器與基體之間的耦合作用；吳入軍等［13］首次提出多項式形式的剪應力表達式，基于此建立應變傳遞方程，經驗證具有較高精度。王花平等［14］針對純瀝青包裹的FBG傳感器結構進行應變傳遞理論分析和實驗驗證工作。金秀梅等［15］推出了裸光纖、涂覆層和基體的剪應力在徑向的分布，并通過有限元進行了驗證。

雖然國內外學者進行了諸多相關研究，但是大多研究都是基于基體承受均勻應變狀態，忽略傳感器的存在對基體應變的影響，這在基體剛度較小時會產生一定誤差，因此本文充分考慮了FBG傳感器與基體之間的耦合作用，利用平面應力理論建立了FBG傳感器與基體之間的應變傳遞理論，研究光纖應變與基體應變之間的關系，將被測對象進一步擴展到剛度較小的基體。

1　理論推導

圖1為安裝結構示意圖，該結構由光纖、保護層、粘結層、襯底、外粘結層和基體組成，基體在軸向（x方向）預應變為ε∞。在本節中將基于以下假設推導基體預應變與光纖應變之間的關系［2-13］。①所有的材料，包括光纖、保護層、粘結層、襯底和外粘結層都是線彈性材料。②所有的界面都是理想界面，即無相對滑移。③FBG傳感器厚度很薄，忽略r方向的作用力。

圖1　傳感器示意圖

下標f，p，a，t，b和m分別代表光纖、保護層、粘結層、襯底、外粘結層和基體；E，G和λ分別代表彈性模量、剪切模量和泊松比；L，Ra，Da分別代表半粘結長度、粘結層上厚度和傳感器寬度；2L為粘結長度；σ，τ，ε和γ分別代表軸向應力、剪切應力、應變和剪應變；rf代表光纖半徑、r代表徑向坐標量。

對光纖建立平衡微分方程：

其中τ（x，rf）代表光纖和保護層界面上的剪應力。同理，保護層、粘結層、襯底和外粘結層的微分平衡方程為：

其中：τp（x，r）、τa（x，r）、τt（x，r）和τb（x，r）分別代表保護層剪應力、粘結層剪應力、襯底剪應力和外粘結層剪應力。

整理式（1）～式（5）并簡化，得到保護層、粘結層、襯底和外粘結層剪應力：

李東升［4-6］等提出：因為光纖、保護層、粘結層、襯底和外粘結層是同步變形的，可以假設其x方向的應變梯度近似相同，即：存在式（7）：

將式（7）代入式（6）并簡化，得到各層結構剪應力與光纖軸向應變的關系為：

因為軸向變形是主要的變形，r方向變形是非常小的，忽略r方向變形［4-6，10-13］，所以存在式（9）：

其中，u和v分別代表x方向和r方向位移。將式（8）代入式（9）并且積分得到：

求解式（10）得到：

式（11）是基體軸向位移與光纖軸向位移之間的微分方程，參數k為：

由于基體上表面所受剪應力為奇函數，所以存在σx和σy為偶函數，τxy為奇函數，設雙調和函數通解［16］為：

將式（11）對x求微分得到光纖應變的二階微分方程（13）：

根據雙調和函數（14），可以求得基體應力場表達式為［16］：

應力場式（15）滿足基體下邊界為自由表面，上邊界受來自傳感器的剪切力，如式（16）所示：

根據邊界條件式（16）第1式和第2式帶入式（15），求得各個系數為：

將（17）所示的參數帶入到式（15）的第三式得到基體上邊界的剪應力表達式（18）：

根據傅里葉變換與逆變換之間的關系將式（18）變形為：

對式（19）進行整理、變形為：

利用傅里葉逆變換可以得到基體在式（16）所示邊界條件下，基體上邊界軸向應變表達式：

假定基體承受預應變ε∞，則基體上邊界軸向應變如式（22）所示：

將式（22）帶入式（13）得到：

由式（8）可知基體上邊界所受剪應力是具有對稱性的面分布力，如式（24）所示：

其中，Eeq定義為FBG傳感器剪切剛度，利用式（23）和式（24）得到表達光纖應變與基體預應變之間的關系的二階微分方程：

FBG傳感器兩端為自由面，存在以下邊界條件［4-13］：

式（25）求解非常困難，對其進行適當簡化得到：

基體上邊界承受的剪應力簡化為：

對式（28）進行傅里葉變換得到：

其中：

將式（27）和式（29）帶入式（23）中得到式（31）：

式（31）是關于εx（0，0）的線性函數，整理后得到基體原點處的軸向應變為：

將式（32）帶入式（27）中得到光纖應變與基體預應變之間的關系表達式，該表達式是關于軸向坐標x指數變化、與基體預應變ε∞成線性關系，同時與基體彈性模量、厚度等參數相關的函數。

由式（33）可以得到光纖應變傳遞率為：

實際測量應變是光纖應變在軸向各點應變的平均值，因此對式（34）求其平均值得到FBG傳感器平均應變傳遞率為：

雖然本節利用傅里葉變換進行了直接求解，但是得到解析解仍非常困難，一般需要借助數值方法，將無限問題轉化為有限域求其數值解。對方程（34）和方程（35）寫成離散形式分別為式（36）和式（37）。

其中，L0為基體長度的一半，λn=nπ/L0，n=（1，2，3…）。方程（36）即為長度為光纖長度為2L，基體長度為2L0，厚度為h，在光纖軸向方向上的應變傳遞率，它是軸向坐標x的函數；（37）代表平均應變傳遞率，它反映FBG傳感器的平均應變傳遞效果。

2　理論驗證和參數分析

2.1有限元驗證

利用有限元軟件Ansys對本文理論進行驗證。由于結構的對稱性，在分析時候取一半進行分析，圖2為有限元模型圖，所使用材料物理參數如表1所示，其他參數為：rf=0.062 5 mm，rc=0.102 5 mm，ra=0.14 mm，rt=0.17 mm，rb=0.19 mm，L=20 mm，L0=60 mm，h=8 mm，基體彈性模量取4 000 MPa和6 000 MPa，對稱面使用對稱約束、端面使用位移邊界條件來模擬預應變。

表1　各層物理參數

理論解是利用式（36）得到的，FEM解是利用軟件Ansys得到的結果。圖3為理論解和FEM解的對比，通過對比可知：根據理論解和FEM解誤差非常小，基本控制在3%以內，且基體彈性模量對應變傳遞率是有影響的，基體彈性模量越大越應變傳遞率越高；在應變傳遞率光纖中間點最大，越接近兩端越小，直到在兩端減小為0。因此在設計FBG傳感器時，可以在FBG傳感器兩端留一定的粘結余量，以提高測量的精度。

圖2　有限元模型圖

圖3　理論解和FEM解得對比

表2為應變對比表，測量應變反映的是整個光纖各處應變的平均值，因此，FEM應變取整條光纖各處應變的平均值。由表2可知：FEM應變遠遠小于真實應變，必須進行修正，利用本文理論修正后的修正應變與真實應變誤差在2%左右。因此，在實際測量時得到的測量應變也必須進行修正，以提高測量精度。

表2　應變比較

2.2參數分析

光纖光柵傳感器材料參數見表1，圖4和圖5分別表示基體彈性模量分別為4 000 MPa、6 000 MPa和10 000 MPa時，厚度分別為8 mm、12 mm和20 mm時的應變傳遞率隨FBG傳感器軸向坐標變化曲線圖。從圖中可知：隨著基體厚度和彈性模量的增加，應變傳遞率逐漸增加；厚度和彈性模量對應變傳遞具有較大的影響，隨著基體彈性模量和厚度的增加，其對應變傳遞率的影響逐漸減小；最大應變傳遞率出現在中間，逐漸減小至兩端為0。這是因為，隨著基體厚度和彈性模量的增加，基體剛度也逐漸增加，傳感器的存在對基體應變的影響逐漸減小。這一結論與一些文獻中應變傳遞率隨著基體厚度的增加而逐漸減小的結論相反，這是因為：本文理論是建立光纖應變與基體原有應變之間的關系，而現有大多數理論是建立光纖應變與粘貼傳感器之后的基體應變之間的關系，兩者有著根本的區別。

圖4　h=8 mm、12 mm、20 mm時，基體彈性模量對應變傳遞率的影響

圖5　Em=4 000 MPa、6 000 MPa、10 000 MPa時，基體厚度對應變傳遞率的影響

3　結論

本文針對低模量基體材料，建立了基體應變與測量應變之間的理論關系，充分考慮了基體和傳感器之間的耦合作用，且FEM解和理論解的誤差在3%以內，具有非常高的精度，經研究得出以下結論：①隨著基體彈性模量和厚度的增加應變傳遞率均逐漸增大。②由于FBG傳感器的存在，改變了基體應變分布，減小了基體應變，而且FBG傳感器多層結構在應變傳遞過程中造成損失，因此在實際實際應變測量時，需要對測量應變進行修正。

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吳入軍（1979-），博士，上海電機學院講師，主要從事工程力學、數值模擬和光纖傳感方面研究，wurujunwurujun@ 163.com。

EEACC：0220；7230E10.3969/j.issn.1004-1699.2016.06.013

安裝于低模量基體的FBG傳感器誤差分析*

吳入軍1*，孫佃亮2
（1.上海電機學院，上海201306；2.山東省郵電工程有限公司，濟南250001）

FBG傳感器廣泛應用于基體結構的應變測量，由于FBG傳感器的存在改變了基體的應變分布，光纖與基體并非直接接觸，導致測量應變產生一定的損失，因此需要研究光纖應變與基體應變的關系用以提高測量精度。建立了一個FBG傳感器應變傳遞模型，并利用有限元驗證其正確性，利用文中理論對各個參數對應變傳遞率的影響進行詳細的分析；理論解和有限元解誤差在3%以內。本文理論滿足FBG傳感器精度要求，對其實際應用具有一定的指導意義。

光纖布拉格光柵（FBG）；變傳遞率；理論分析；剪應力

TN253；O39

A

1004-1699（2016）06-0865-07

2015-12-22修改日期：2016-02-25

項目來源：國家863計劃項目（2012AA040106）