利用線性相關性證明離散型隨機變量的獨立性

梁瑞時（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

利用線性相關性證明離散型隨機變量的獨立性

梁瑞時
（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

利用行列向量的線性相關性證明二維離散型隨機變量的獨立性.結合兩變量的邊緣分布律所組成的矩陣的秩，并輔以相關的實例，拓展了獨立性的證明方法.

矩陣；線性相關；離散型隨機變量；相互獨立

在概率論的各種版本的隨機變量的獨立性的判斷中，對于離散型隨機變量來說，最為常用的便是根據定義求得二維離散型隨機變量的邊緣分布，再由邊緣分布的乘積等于聯合分布來判斷［1］，（X，Y）的聯合分布律P｛X=xi，Y=yj｝=Pij，i，j=1，2，…時，其兩個邊緣分別是：

定理1 若X與Y相互獨立，則總有矩陣B的兩行（或兩列）元素對應成比例.

由兩行向量線性相關性，則可推出在矩陣B中最少可有一非零行（或列）向量，設αi為非零行向量，則由線性相關的性質［2］可知，其余行向量均可由αi線性表出.也即為αj=kiαi.則矩陣B可變為：

其中，Pij=kiP1j（i，j=1，2，…），并且則兩隨機變量的邊緣分布為［3］：

因此有：

也即二維隨機向量X，Y相互獨立［4］.所以由兩隨機變量聯合分布律所組成的矩陣B中的向量組（α1，α2，…，αi，…）或（β1，β2，…，βj，…），（i，j=1，2，…）必線性相關，由線性相關性質可推出該矩陣的任意兩行向量（或列向量）必對應成比例.

定理2若以P（xi，yj）=Pij組成的矩陣的秩為1，則隨機變量X、Y相互獨立.

證如r（B）=1，則可知矩陣B可表為一m維列向量αm（α1，α2，…，αm，…）T與一n維行向量β1×n=（β1，β2，…，βj，…）的乘積，也即B=αβ.

因此：

例1給定兩變量X，Y的分布律，如表1所示，問X與Y相互獨立否［5］？

表1　變量X，Y的分布律

證 由兩隨機變量的聯合分布律所組成的矩陣的任意兩行（或兩列）都不對應成比例，所以該矩陣線性無關，由定理可得兩變量X與Y不相互獨立.

例2給定兩變量X，Y的分布律，如表2所示，問X與Y相互獨立否？

表2　變量X，Y的分布律

證 由P｛Y=-1｝以及P｛Y=1｝所在的兩列對應成比例，可得該矩陣線性相關，變量X與Y相互獨立.

［1］彭剛，禹輝煌.二維離散型隨機變量獨立性判別定理及應用［J］.湖南理工學院學報，2010，23（2）:23-25.

［2］趙立軍.線性代數［M］.上海:復旦大學出版社，2013.

［3］韓旭里，謝永欽.概率論與數理統計［M］.上海:復旦大學出版社，2009.

［4］馬雙紅.隨機變量獨立性判斷的一個充要條件［J］.蘭州理工大學學報，2012，38（6）:146-148.

［5］李德新，陳聰.隨機變量獨立性判別法［J］.高等數學研究，2008（4）:54-55.

The Linear Correlation for Proving Independence of Two-Dimensional Discrete Random Variable

LIANG Rui-shi
（School of Mathematics and Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

This paper uses linear correlation matrix to prove the independence of the two-dimensional discrete random variables.Combined with the edge of the two variables distribution law of matrix rank，supplemented by relevant examples，the paper expands the proof method of independence.

matrix；Linear correlation；Discrete random variables；independence

O211

A

1007-5348（2016）06-0006-03

（責任編輯：邵曉軍）

2016-05-13

梁瑞時（1980-），女，廣東陽江人，韶關學院數學與統計學院助教，碩士；研究方向：數學統計.