星載稀疏相控陣天線的多目標優化設計

劉 恒，趙宏偉，劉 波

（西安空間無線電技術研究所 陜西 西安　710100）

星載稀疏相控陣天線的多目標優化設計

劉 恒，趙宏偉，劉 波

（西安空間無線電技術研究所 陜西 西安710100）

針對星載相控陣天線高增益、低副瓣的設計要求，提出了對星載六邊形相控陣天線進行稀疏布陣的方法。根據需求建立了星載相控陣天線高增益、低副瓣的兩目標的優化模型，使用NASA-II算法對其進行多目標設計優化。為了快速計算六邊形天線陣的方向圖，通過在孔徑中添加虛擬陣元把六邊形陣列轉化為可以實現二維傅里葉變換的矩形陣列，大大節省了算法優化時間。結果表明，星載稀疏相控陣天線多目標優化思路和方法在工程應用中的有效性和合理性，為設計者提供了多種可行的選擇方案。

稀疏陣列；相控陣天線；FFT；NASA-II算法

星載稀疏相控陣天線是指從一個陣元周期分布的陣列中去除掉一些天線陣元，或者把這些陣元連接到匹配負載上。既可以減少陣列天線成本和重量，還可以獲得與滿陣排布相當的窄波束，當陣元均勻激勵時，稀疏陣列天線可以獲得比滿陣布置更低的副瓣電平［1］。在過去幾十年中，稀疏相控陣天線的研究一直是一項重要和有意義的工作。由于在同等陣元間距下，六邊形相控陣天線在掃描時比矩形柵格陣列出現柵瓣的時間更晚；且在等幅激勵時近似圓形的六邊形平面相控陣能夠獲得相對低的副瓣電平，因此六邊形相控陣天線陣被廣泛應用在衛星通信中［2-3］。在星載稀疏相控陣天線設計中，希望主瓣增益盡可能的高而副瓣電平盡可能的低，同時最大副瓣電平和主瓣增益分別低于和高于某一給定的約束值。因此，星載稀疏相控陣天線的設計是典型的多目標優化問題。

隨著計算機技術的發展，高效的稀疏陣列優化算法已成研究熱點，主要有遺傳算法［4-5］、粒子群算法［6-7］、進化差分算法［8-9］、蟻群算法［10］等各種優化算法的混合算法［11-12］。各種智能進化優化算法。在這些文獻中通常把多個目標函數通過不同的加權權重構造成單個目標函數進行優化。在實際設計中，權重的分配及單目標函數構造方式帶有很強的主觀性，而決策者往往需要多種可供選擇的方案進行比較，就需要不斷的修改權重及單目標函數進行很多次優化。在多目標優化中，各目標之間無法比較，存在沖突，導致不存在對所有目標函數都是最優解。Goldberg將Pareto知識［13］引入進化算法中來解決多目標優化問題的新思路之后，越來越多學者們提出了基于Pareto支配關系的進化算法，使之成為求解多目標優化問題的一種趨勢。其中以非支配遺傳算法（NSGA-II）［14］最具有代表性。

本文應用NSGA-II算法對衛星上廣泛應用的正三角形排列的六邊形平面相控陣天線進行稀疏布陣優化，以達到高增益、低副瓣的輻射特性。首先利用六邊形陣列的幾何對稱陣性確定了六邊形平面相控陣天線中的獨立單元數，實現對大型六邊形相控陣天線優化變量進行降維。并根據六邊形陣列的排列特征，通過在陣列中添加虛擬單元的方式把六邊形轉換為矩形陣列，從而利用FFT快速計算陣列方向圖。然后建立了增益和峰值副瓣電平兩目標優化模型的解析表達式。利用NASA-II算法對1027個單元（L=18）的六邊形相控陣天線進行多目標優化設計，以降低陣列天線的峰值副瓣電平、增高主瓣增益為目的，得到了最優解集的Pareto前端，取得了滿意的結果。說明了星載稀疏相控陣天線多目標優化思路和方法在工程應用中的合理性和有效性，為設計者提供了多種可行的選擇方案。

1　星載相控陣天線模型

1.1六邊形天線方向圖

星載六邊形相控陣天線的幾何結構如圖1所示，它是由按等邊三角形排列的天線單元組成。可以看出六邊形平面相控陣天線是由若干行橫向等間距的直線陣在縱向交替緊密排布組成，其每行的單元數量隨著遠離中心行依次遞減。對于一個由L個同心六邊形環陣組成六邊形天線，其第一行的單元數為L+1個；隨著行數的增加，每行的單元數依次增一個，到L+1行的單元數增加到最多的2L+1個；再隨著行數繼續增加，每行的單元數則依次減少一個，到2L+1行的單元數減少到L+1個。下面將利用六邊形平面天線陣的這一結構特性推導它的輻射方向圖的解析表達式。

圖1　六邊形平面陣列天線結構圖

圖2　可見空間區域示意圖

由于六邊形相控陣天線的每行在y方向是交替排布的，如果通過在每行單元中間添加一個虛擬“單元”，這樣就把六邊形平面陣列變換為矩形柵格的平面陣列。每行沿x軸方向間距dx=0.5d，每列沿y軸方向間距dy=0.5d·tan60°，d為正三角形排列的單元間距。根據六邊形平面陣列的結構和添加的虛擬單元的位置可知，對于一個由L個同心六邊形環陣通過在每一行單元中間添加虛擬單元變化為一個2L+1行4L+1列的矩形柵格平面陣。由陣列天線理論可知，在不考慮互耦的情況下，輻射單元為理想點源，六邊形陣列方向圖滿足乘積定理可以表示為：

式中：L為同心六邊形環陣的數量，k為波數，θ，φ分別為球坐標系的下俯仰角和方位角，Amn是第（m，n）個陣元激勵幅度。為了方便，把由M×N個陣元激勵組成的矩陣記著A，對于矩陣A與六邊形平面陣列不匹配的點，如添加的虛擬陣元和位于六邊形陣列孔徑外的點，其激勵幅度Amn=0。對于與陣列匹配的點，在稀疏優化過程中，當Amn=1，表示單元在工作；當Amn=0，表示單元被剔除。一個由L個同心六邊形環陣組成六邊形平面天線陣的單元總數可由下式確定：

由于大型六邊形陣列天線單元數成百上千，而智能進化算法在對優化變量超過200個的時候，效果變的不太理想，因此需要對六邊形陣列天線獨立單元進行降維。根據對稱性，總共有6個對稱軸，位于對稱軸上的陣元有6個對稱陣元，而非對稱軸上的陣元有12個對稱陣元。在陣列稀疏優化過程中如果某一個陣元被選定剔除，則與其對稱的所有的陣元都將剔除。如圖1所示位于圖中P標記和y軸的30°扇形區內的單元為該天線陣的獨立單元。一個具有L個同心六邊形環陣的六邊形相控陣天線的獨立單元數可由下式計算，其中int（·）為取整函數。

1.2方向圖與FFT的關系

由于在進化過程中要反復計算方向圖函數的采樣點來評估個體的優劣，如果能將降低計算方向圖的時間就能夠減少評估個體的時間，從而大大提高計算速度。設一個輻射陣元為理想點源，沿x軸方向的陣元間距為dx，y軸方向的陣元間距為dy的M×N元平面陣，在不考慮互耦的情況下，陣列方向圖滿足乘積定理可以表示為：

式中：Amn是第（m，n）個陣元激勵幅度，k=2π/λ，λ為自由空間波長，u=sinθcosφ，v=sinθsinφ是方向余弦，θ，φ分別為球坐標系的下俯仰角和方位角。令p=Mkdxu/2π+1，q=Nkdyv/2π+ 1，則式（4）變換為

由式 （4）可以看出陣因子AF與陣元激勵A之間存在IFFT關系AF=MN×IFFT（A），這樣根據具體的問題，將（θ，φ）域的方向圖特性映射到（p，q）域中，就可以在（p，q）進行優化。

由u=sinθcosφ，v=sinθsinφ可得u2+v2=sin2θ≤1，在u，v坐標系下，可見區域與一圓區域相對應。對于不同間距的平面陣列，利用二維FFT計算出方向圖的可見區域如圖2所示。當dx≤λ/2，dy≤λ/2時，可見區域為半徑為1的圓A；當dx＞λ/2，dy＜λ/2時，可見區域為半徑為1的圓與矩形D的交集；當dx＜λ/2，dy＞λ/2時，可見區域為半徑為1的圓與矩形C的交集；當dx＞λ/2，dy＞λ/2時，可見區域為矩形C與矩形D的交集。

1.3目標函數及約束

星載相控陣天線為了得到高增益低副瓣的輻射特性，稀疏布陣綜合優化的兩個目標函數為最大副瓣電平MSLL與主瓣點的增益G。

其中，x為待優化的相控陣天線獨立單元的狀態，η為天線的效率，MSLL和D分別為陣列結構x計算得到的最大副瓣電平和最大方向系數。u0=sinθ0cosφ0，v0=sinθ0sinφ0是主瓣點（θ0，φ0）的方向余弦。二重積分的可視空間為u2+v2≤1。考慮到實際需求，通常最大副瓣電平低于SLLmax=-20 dB，所以約束條件g（x）=MSLL-SLLmax＜0。

2　多目標優化設計

對于帶約束的多目標優化問題，其數學上可以表示為：

其中F（x）為目標函數，g（x）為約束函數，n和k分別為目標函數和約束函數的個數。多目標優化問題是一個解的集合，這些解在全部目標函數而言是無法比較優劣的，其特點是無法在改進任何目標函數的同時不削弱至少一個其他目標函數，這些解的集合稱為Pareto非支配解集合。

2.1Pareto最優解排序

在單目標優化算法中，兩個解的優劣程度可以通過他們的唯一適應度值大小確定。在多目標優化算法中，所有的目標函數是同樣的重要的，即在優化過程中不能為了改善某些目標函數而惡化其他任何一個目標函數。設x1，x2是所描述的多目標問題的解，當下列條件成立時稱x1限制性支配x2，也稱與x2相比，x1是Pareto占優。

1）x1屬于可行解而不屬于x2。

2）x1和x2都不屬于可行解且在約束函數 gi（x1）≤gi（x2）（i=1，2，…，k）。

3）x1和 x2都屬于可行解且在目標函數Fi（x1）≤Fi（x2）（i=1，2，…，m）。

對于多目標優化的非支配解，經過非支配排序和擁擠度計算［14］，種群中的每個個體i都有兩個屬性；非支配序 irank和擁擠度idistance。判斷種群中任意兩個個體優劣的標準為，如果兩個個體非支配序不同，非支配序小的更優；如果兩個個體的非支配序相同，則擁擠度較大的個體更優。

2.2NSGA-II算法

將進化算法與Pareto概論結合，發展出很多基于Pareto最優概論的多目標進化算法，其中具有代表性的是NSGAII。由于NSGA-II在對稀疏相控陣天線進行優化的時可以直接進行二進制編碼，不需要進行編碼處理，是稀疏相控陣天線多目標優化的最佳工具。本文直接采用的文獻［14］的二進制編碼NSGA-II算法。由于多目標優化中非支配解的優劣無法判斷，因此進化后的種群規模會增加，經過交叉、變異后的NP個子代與NP個父代混合進行非支配排序，種群規模在進化后增加為2NP，然后通過非支配排和擁擠度排序后選擇前NP個個體進入下一代。根據以上策略，NSGA-II算法步驟如下：

1）初始化種群，生成種群規模為NP個父代。

2）計算種群中每個個體的目標函數值和約束函數值。

3）通過遺傳算法的交叉、變異生成群規模為NP個子代。

4）計算子代的目標函數及約束函數。

5）對父代和子代混合的2NP個個體進行非支配排序，選出前NP個性能最佳的個體。

6）從步驟3）重復直至滿足迭代結束條件。

3　實例分析

在實際應用中，經過計算和分析，我們取種群規模NP等于二進制序列長度的二倍。陣元間距d=λ/2，二維IFFT運算采樣點數K×K=512×512。NSGA-II算法參數的選擇使用文獻［15］推薦的。單點交叉，交叉概率取0.9，變異概率取0.01，進化代數取5000次。假設天線的效率η=1，則增益G等于方向性系數D，以由1027個單元（L=18）的六邊形相控陣天線為例進行優化實例。

圖3　Pareto最優解集前端分布

圖3給出了在5 000次兩目標函數評價后，1 027個單元的組成六邊形平面相控陣天線稀疏布陣的Pareto最優解集前端分布。可以看出峰值副瓣電平下限為 （-27.8 dB，33.2 dB），約束的上限為（-20 dB，34.1 dB）。圖4和圖5分別給出了峰值副瓣電平上限和下線的孔徑陣元分布和歸一化遠場方向圖，其可視空間為u2+v2≤1。可以看出，優化得到的六邊形稀疏陣列符合陣列優化規律，即在優化陣列中，陣元的稀疏總是發生在陣列邊緣，而陣列中心的陣元一般不會被稀疏掉。

表給出了從求解得到的Pareto最優解中選擇4個最優解對應的變量值以及對應的目標函數值。其中包括兩個邊界點和兩個中間點。表格中的數據表明，峰值副瓣電平PSLL最低為-27.8 dB，方向性系數達到最小值33.2 dB，而當PSLL最高為-20 dB，方向性系數達到最大值34.1 dB，這兩個目標函數不能同時取得最優值。說明在星載相控陣天線優化設計中，最大副瓣電平和增益確實是一組存在矛盾的目標，適合用多目標優化方法求解這類問題。相對于單目標優化算法，采用多目標方法能從多個不同的角度提供不同的最優解，為決策者提供更多的指導信息和幫助。

圖4　方向性系數最好的解

圖5　峰值副瓣電平最好的解

表1　最優集合中4個最優解對應的優化結果

4　結　論

文中以星載稀疏相控陣天線優化布陣為研究對象，采用多目標優化算法，將陣列的優化布陣轉化為多目標優化的數學問題。為了降低大型六邊形陣列的優化變量維數，通過對陣列中對稱的單元進行等效處理，獨立單元數降低為陣列單元的十分之一。同時把六邊形陣列轉化為可以實現二維傅里葉變換的矩形陣列模型，使計算量成倍減少，也可用于解決其他種類的矩形陣和三角陣平面陣列天線的稀疏布陣優化，具有很好工程實用價值，為大型陣列天線的稀疏優化提供了有效途徑。星載天線的高增益、低副瓣為優化目標，充分體現了星載稀疏相控陣天線多目標優化思路和方法的合理性和有效性，為決策者提供了多種可行的選擇方案，未來可考慮更多的目標及約束進行進一步的應用研究。

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Multi-objective design optimization of satellite thinned array antenna

LIU Heng，ZHAO Hong-wei，LIU Bo
（China Academy of Space Technology（Xi'an），Xi'an 710100，China）

Considering the design purpose of high gain，low side lobes satellite phased array antennas，a thinning process is proposed for hexagonal array.The two objective optimization modes of high gain and low side lobes of satellite antenna are set up according to the requirements.And the NASA-II is applied at this two objective design optimization.Virtual elements are added in the array for translating the hexagon to rectangle which could be convenient to calculate the array factor of hexagon by using the FFT.The simulated results show that the availability and rationality of the multi objective optimization in the satellite thinned phased array antenna，and it could offer several feasible scheme for the designer.

thinned array；phased array antenna；fast fourier transform algorithm；NASA-algorithm

TN959

A

1674－6236（2016）09-0122-04

2015-11-23稿件編號：201511212

國家自然科學基金（61201089）；國家重點實驗室基金（9140C530101130C53013）

劉 恒（1986—），男，湖南耒陽人，博士。研究方向：陣列天線優化與設計。