薄透鏡焦距的測量研究

彭金松, 彭金慶, 廖潔, 李根生, 黃程, 董一萍

(1.河池學院　物理與機電工程學院； 2.宜州市高級中學， 廣西　宜州　546300)

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薄透鏡焦距的測量研究

彭金松1, 彭金慶2, 廖潔1, 李根生1, 黃程1, 董一萍1

(1.河池學院物理與機電工程學院； 2.宜州市高級中學， 廣西宜州546300)

在簡單介紹物距像距法、兩次成像法、自準直法和成等大像法等四種測量薄透鏡焦距的實驗原理的基礎上，以一個已知焦距的薄透鏡為研究對象，分別利用這四種方法的原理對其焦距進行實驗測量。對所得的結果進行比較，分析各種方法產生誤差的原因及其適用范圍，并得出成等大像法是這四種測量方法中相對較好的方法的結論。

薄透鏡；焦距；測量；研究

0　引言

隨著科學技術的不斷發展，薄透鏡成像的應用十分廣泛，如天文、醫學、汽車、數碼相機等方面。針對薄透鏡應用的場合和目的等方面，應當選取不同的透鏡或者透鏡組，因此對薄透鏡焦距的測量是十分必要的。關于薄透鏡焦距的測量研究方法已有很多，有幾何法、傅里葉法、儀器法等。幾何法中，使用自準直法[1]、物距像距法[1]、兩次成像法[1]和成等大像法[2]去測量；在儀器法中，有分光計法[3]、電阻絲法[4]等，其中幾何法被廣泛應用在大學物理實驗中。隨著時代的發展，也涌現出許多新的測量方法，如CCD輔助測量法[5]、消視差技術測量法[6]和組合透鏡法[7]等。關于透鏡焦距的測量，許多科研工作者對其中一種或幾種進行了研究或改進，也有許多研究者是對一些方法進行綜合分析。總體上，前人研究出測量透鏡焦距的方法有幾何法、儀器法、傅里葉法、CCD輔助測量法，消視差技術測量法等，這些方法都能很好地進行透鏡焦距的測量，也取得了較好的測量效果， 但沒有同時利用幾種方法進行實驗測量，總結出各種方法的優劣。基于此，我們分別選取了物距像距法、兩次成像法、自準直法、成等大像法對一個已知焦距的薄透鏡進行實驗測量，通過對結果的比較和分析，給出了誰優誰劣的結論。

1　薄透鏡焦距的測量方法

焦距是表征薄透鏡成像性質的重要參數，測定透鏡焦距不但是檢驗產品的參考量，還是光學系統在設計時的重要參考量，因此，薄透鏡的焦距測量是光學研究的重要環節。

1.1物距像距法

把實物當作光源(發光物體)，放在物方一倍焦距到二倍焦距之間，物體發出的光經過凸透鏡后，在像方二倍焦距以外成實像[1]，如圖1所示。

在圖1中，透鏡L置于空氣中，在近軸光線的條件下，設薄透鏡的像方焦距為f′，物體為P，物距為S，所成的實像為P′，對應的像距為S′，根據透鏡成像的高斯公式

只要測出物距(S)和像距(S′)，根據公式(1)就可以求出透鏡焦距(f′)。

1.2兩次成像法

如圖2所示，使物體與白屏之間的距離D>4f′，并保持不變。會聚透鏡置于物體與白屏之間，移動透鏡到位置1時(這時相當于物在物方一倍焦距與二倍焦距之間，像成于像方二倍焦距以外)，白屏上接收到清晰的放大的實像；移動透鏡到位置2時(這時相當于物在物方二倍焦距以外，實像成于像方一倍焦距與二倍焦距之間，像為縮小倒立的實像)，白屏上接收到清晰的縮小的實像。d為透鏡兩個位置1、2之間的距離[1]。

圖2　兩次成像法測量會聚透鏡的焦距

圖3　自準直法測量透鏡的焦距

利用物像共軛對稱的性質，可以得到

通過測量d和D，即可由公式(2)求出透鏡焦距(f′)。

1.3自準直法

當物體處在會聚透鏡的焦平面上的時候，其所發出的光線經過透鏡后成為一束平行光。用一面與主光軸相垂直的平面鏡將這束光反射回去，經反射后所得到的光將再次通過透鏡后仍會聚于透鏡的焦平面上，其會聚點將會在物體相對于光軸的對稱位置上[1]。

如圖3所示，在待測透鏡一側放置一用光源照亮的物屏，使物屏與主光軸垂直，在透鏡另一側放置一平面鏡(M)，移動透鏡使物屏上呈現一個與原物(P)大小相同的倒立的實像(P′)，此時物屏與透鏡之間的距離就等于透鏡的焦距。即

f ′=|S|(3)

1.4成等大像法

成等大像法[2]就是物在凸透鏡物方二倍焦距的時候，將在像方二倍焦距處成清晰、倒立、等大的實像。利用這個規律，可以在實驗中通過慢慢調節物體和白屏到透鏡的距離，直到白屏上成一個倒立等大的像，此時測量出白屏(或者物體)到凸透鏡之間的距離，此距離就是凸透鏡焦距的兩倍，也就是所求。即

2　結果與討論

我們采用焦距理論值(f0)為100.00mm的薄透鏡作為待測薄透鏡，分別用前面介紹的物距像距法、兩次成像法、自準直法和成等大像法，對透鏡的焦距進行測量。

2.1物距像距法實驗結果

按照物距像距法的實驗原理，在物距為S=500.00mm處測出薄透鏡成像的像距，然后利用公式(1)計算出薄透鏡的焦距，所得結果列于表1中，其中最后一列為相對誤差。

表1　物距像距法測量結果

從表1可看出，計算所得到的透鏡焦距的值比理論值(實際值)偏小，這是由于我們用到的公式是在近軸條件下的高斯公式，以及實驗產生的系統誤差，但其結果與實際值的相對誤差還是比較小的。

2.2兩次成像法實驗結果

表2　兩次成像法測量數據

由表2得到的實驗結果與理論值相比，實驗值也比較小，但相對誤差只有0.57%，是比較好的實驗方法。

2.3自準直法實驗數據

表3　自準直法實驗結果

從表3得到，實驗結果與理論值相比，實驗值偏大，其相對誤差達到0.80%，但還是比較好的實驗方法。

2.4成等大像法實驗數據

根據會聚透鏡的成像規律進行實驗，當白屏上成清晰、等大、倒立的實像時，量出白屏到凸透鏡的距離S，此距離即為凸透鏡焦距的兩倍。根據公式(4)，則可求出焦距f′，并算出相對誤差δ4，如表4所示。

表4　成等大像法的實驗結果

由表4可知，實驗結果與理論相比，其相對誤差只有0.39%，這是一種相對比較好的實驗方法。

2.5四種實驗結果的比較與分析

將上述四種實驗方法得到的結果，列于表5中，其中第3列為各種方法測量得到的平均值，第4列為測量值與實驗值的相對誤差。

表5　四種實驗方法的實驗結果比較

從表5中可知道，在誤差允許的范圍內，上述四種實驗方法測得結果的誤差都較小，其相對誤差都在0.80%以內，都能夠實現對透鏡焦距的測量。但成等大像法的誤差最小，其相對誤差為0.39%，自準直法的誤差最大，其相對誤差為0.80%，產生較大誤差的主要原因是由于實驗中觀測的并非凸透鏡嚴格的焦平面上所得到的像，因而常會出現假象，實驗中往往不好確定所得的像是不是本實驗所需要的準確的像。兩次成像法與物距像距法的誤差介于兩者之間，其相對誤差分別為0.57%、0.73%。對于兩次成像法，當透鏡的位置發生變化時，它是同步影響物距和像距，而且是一個變小，另一個變大，像的清晰度就會發生明顯的變化，這會使測量時產生誤差；而在物距像距法中，由于光心位置不好確定，實驗時不易測定物距、像距，從而產生一定的誤差，這是此方法產生較大誤差的主要原因。但總體來說，這四種實驗方法的系統誤差都較小，實驗誤差主要是由于偶然誤差，也就是視誤差以及人眼觀測不能夠準確確定最佳成像位置時產生的實驗誤差。由此可得，測量透鏡焦距的四種方法中，成等大像法相對較好，自準直法較差。

3　結論

在實際測量薄透鏡焦距中，可以根據實際的測量要求和實驗儀器，選擇適當的測量方法。這些對薄透鏡焦距測量的方法中兩次成像法的實驗原理相對簡單、現象直觀，自準直法和物距像距法操作較簡單，兩次成像法相對較復雜些。但是，如果不改進方法則自準直法常會因為不容易辨別假象而造成實驗失敗; 物距像距法也會因為多一項系統誤差(透鏡光心與滑塊刻線不重合)而造成相對誤差；成等大像法的像不好確定最佳位置以及多一項系統誤差，但可以在實驗過程中用測量儀器來確定，而且實驗結果中其相對誤差是最小的，因此成等大像法是這幾種測量方法中相對較好的，可以在實驗室進行推廣使用。

[2]丁長嶺.凸透鏡焦距測量方法大拼盤[J].考試(中考版),2011(2):52.

[3]王喜雪.用分光計測量薄透鏡焦距[J].大眾科技，2010(10)：139，97.

[4]趙濤，李林，董麗娜.在電阻絲上測量薄透鏡的焦距[J].大學物理實驗,2006,19(3):40-41.

[5]張宇，呂曉旭.CCD輔助測量凸透鏡焦距的一種新方法[J].大學物理實驗，2006,19(2)：1-3.

[6]李偉，張麗巍，曹文,等.薄透鏡焦距測量方法的研究[J].大學物理實驗，2014,27(1):34-36.

[7]劉竹琴.利用組合透鏡測量薄透鏡的焦距[J]. 延安大學學報(自然科學版),2015,34(3):26-27.

[Abstract]The object image distance method, two time imaging method, autocollimation method and big image method are briefly introduced. A thin lens with a known focal length serving as research object, the focal length is experimentally measured by the theory of the four methods. The results are compared and the reasons and scope of application of different methods are analyzed. It is found that the big image method is better than others.

[Key words]thin lens; focal length; measure; study

[責任編輯劉景平]

On the Measurement of Focal Length of Thin Lens

PENG Jin-song1, PENG Jin-qing2, LIAO Jie1, LI Gen-sheng1,HUANG Cheng1, DONG Yi-ping1

(1.School of Physics and Mechanical & Electronic Engineering, Hechi University；2.High Middle School of Yizhou, Yizhou, Guangxi 546300,China)

G642；O435

A

1672-9021(2016)02-0106-05

彭金松(1963-)，男，廣西藤縣人，河池學院物理與機電工程學院教授，主要研究方向：原子核物理和粒子物理。

2015年國家級和廣西區級大學生創新創業訓練計劃資助項目(201510605012、201510605043);河池學院教育教學改革基金資助項目(2009E011)。

2015-12-20