對稱雙線性系統的在線修正參數預測濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學電氣與控制工程學院，黑龍江哈爾濱150022）

對稱雙線性系統的在線修正參數預測濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學電氣與控制工程學院，黑龍江哈爾濱150022）

在雙線性系統中加入控制輸出的符號函數，建立了可描述對稱非線性系統的對稱雙線性系統。采用可克服算法病態的遺忘因子遞推最小二乘算法對被控對象進行參數估計，利用自校正預報顯式算法對系統輸出進行預測，基于具有預測控制性能的增量型預測濾波PID控制算法，根據可克服算法病態的直接極小化指標函數自適應控制算法和Robbins-Monro算法，給出了具有在線修正PID控制參數和加快PID控制參數收斂性能的對稱雙線性系統的自適應預測濾波PID控制算法。仿真結果表明改進的PID控制算法具有預測控制性能和在線修正參數性能，系統具有較好的控制品質。

自適應控制；預測控制；PID控制；參數估計；自校正預報；雙線性系統

1 引言

PID控制是一種傳統而非常有效的控制算法，具有結構簡單、魯棒性好、可靠性高等優點，結合現代先進控制理論，如自適應控制、智能控制、模糊控制等，至今已提出了一些具有預測控制性能的在線修正參數、整定參數的PID控制算法，這些算法結合了PID控制和先進控制的優異性能。文獻［1］研究了線性系統直接極小化指標函數的自適應PID控制，但所提出的算法沒有預測控制性能和濾波性能，并且不具有加快PID控制參數的收斂速度的性能，文獻［2］研究了具有預測控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數收斂速度的單變量CARMAX模型的直接極小化指標函數的自適應PID控制。本文提出了一種具有預測控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數收斂速度的直接極小化指標函數的對稱雙線性系統的自適應預測濾波PID控制。

2 對稱雙線性系統的參數估計和預測算法

2.1 對稱雙線性系統

雙線性系統為：

式中：y（t）為1維輸出；u（t）為1維輸入；e（t）為零均值，方差是σ2的白噪聲序列；t為離散時刻；d為系統的時滯；q為后移算子；A（q-1）、B（q-1）、D（q-1），C（q-1）為多項式。

由式（1）以d0y（t）u（t）項為例，當系統d0＞0時（也可以設d0＜0），若y（t）＞0，則當u（t）＞0時對式（1）的y（t+d）起增強的作用；而u（t）＜0時起減弱的作用，若y（t）＜0，則當u（t）＞0時對y（t+d）起減弱的作用，而當u（t）＜0時對系統起增強的作用，而系統的y（t）時而為正，時而為負，致使系統的u（t）＞0有時對系統起增強作用，有時對系統起減弱的作用，故式（1）不能描述“對稱非線性系統”，而對稱非線性系統要求系統在任何運行狀態下u（t）＞0對系統起增強作用，u（t）＜0時對系統起減弱的作用。這里在式（1）中加入輸出y（t）的符號函數，提出一種可描述“對稱非線性系統”的雙線性系統為：

式中：

由式（2）可知δ［y（t）］y（t）≥0，則u（t）＞0對系統起增強的作用，u（t）＜0對系統起減弱的作用，故式（2）的雙線性系統對稱。

則式（2）的對稱非線性系統的雙線性系統可采用PID控制的約束條件為：

2.2 可克服病態的遞推最小二乘算法

采用文獻［2］的可克服病態的遺忘因子遞推最小二乘算法應用于本文進行參數估計。

2.3 自校正預報顯示算法

式（4）中Gj（q-1）和Fj（q-1）由遞推Diophantine方程確定

其中：

式中：ng j為階數。

3 可克服病態的直接極小化指標函數的自適應控制算法

文獻［2］在指標函數［4］中加入控制器可調參數向量的增量約束項，提出一種可克服病態的直接極小化指標函數的自適應控制算法，算法如下。

設控制器的形式為

式中：η為控制器可調參數向量；φ（t）為系統輸出和輸入構成的集合；φr（t）為系統輸入參考信號｛r（t）｝所形成的序列向量；η（…）為控制函數。

系統的輸入和輸出是隨η的改變而改變，以y （t，η）和u（t，η）表示系統式（2）受式（6）控制時的輸出和輸入，要求選擇向量η使如下指標函數達到極小化。

式中：V（η）為指標函數；E（…）為求均值；g（…）為函數；r（t）為輸入參考信號；η（t）為t時刻的η；η?（t-1）為參數修正值。

式（7）中：式中：g（…）為函數；λ（t）為控制器可調參數向量增量約束項的權重對角矩陣。

式中：n為η的維數。

則上述問題可結合Robbins-Monro算法［5］，給出如下可克服病態的自適應算法。式中：ρ（t）為收斂因子；Q（t）為Hessian矩陣。

4 增量型預測濾波的PID控制

文獻［2］在傳統的增量型濾波PID控制中，采用系統輸出y（t）的預測值y?（t+d-1/t）代替y（t），給出增量型預測濾波PID控制。式中：H（q-1）、Δ、S（q-1）為多項式。

其中h1，s0，s1，s2為可調參數。

則η為：

5 y（t）、u（t）、?（t+d/t）關于η的梯度和二階導數矩陣

5.1 梯度表達式

式（2）兩邊對ηi（i=1，2，3，4）求偏導：

式（5）兩邊對ηi（i=1，2，3，4）求偏導：

式（12）兩邊對h1求偏導：

式（12）兩邊對si（i=0，1，2）求偏導：

5.2 二階導數矩陣表達式

式（13）兩邊對ηp（p=1，2，3，4）求偏導：

式（14）兩邊對ηp（p=1，2，3，4）求偏導：

式（15）兩邊對h1求偏導：

式（15）兩邊對si（i=0，1，2）求偏導：

式（16）兩邊對h1求偏導：

式（16）兩邊對sp（p=0，1，2）求偏導：

6 在線修正參數的預測濾波PID控制

為加快PID參數收斂的速度，選?。?/p>

式中：λ為加權因子；g1（…）為函數。

由式（5）參考文獻［6］的機理，式（23）的指標函數等價于如下指標函數：

式中：g2（…）為函數。

將式（24）代入式（10）、式（11）可得如下自適應預測濾波PID控制：

7 仿真研究

被控對象為：

式中參數a1、b1、d1、c1的形式為：

隨機干擾e（t）～N（0.1/10），

輸入的飽和限幅為Umax=0.4，

PID控制的初始參數為：

直接極小化算法中的Q（0）=100I，λ=5收斂因子：

參數估計的遺忘因子：

待估參數的初始參數為：

采用Matlab7.0語言編程仿真，圖1所示為系統響應曲線，圖2所示為PID控制參數的修正曲線。由圖1（a）可知，采用無修正的初始參數控制的響應曲線超調大，調節時間長，并且產生振蕩。由圖1（b）可知，在0≤t＜200時，因PID控制參數還沒有收斂到有效值，故響應的超調大，調節時間長，在200≤t≤400時，因PID控制參數已修正到有效值，故響應的超調小，調節時間短。由圖2可知，參數在動態時進行修正，在穩態時停止修正，符合算法的物理性。

圖1 系統響應曲線

圖2 PID控制參數的修正曲線

8 結論

（1）分析了雙線性系統不能描述“對稱非線性系統”的問題，在其中加入控制輸出的符號函數，提出一種可描述“對稱非線性系統”的對稱雙線性系統；

（2）給出對稱雙線性系統可采用PID控制的約束條件；

（3）基于可克服病態的直接極小化指標函數的自適應控制算法和Robbins-Monro算法及增量型預測濾波PID控制，給出了對稱雙線性系統的自適應預測濾波PID控制算法，算法的指標函數中含有系統的輸出預測值，使算法具有加快PID控制參數收斂到有效值速度的性能；

（4）仿真研究表明：所提出的算法具有預測控制性能和在線修正參數性能，故具有較好的控制品質，且具有柔化控制量變化減少對系統執行機構沖擊的性能；

（5）缺點是較比文獻［1］的算法對隨機干擾的統計性質要求高，要求隨機干擾為零均平穩具有有理譜密度的隨機干擾，適用范圍較文獻［1］的算法窄；

（6）需進一步研究算法的穩定性和算法的收斂性，推廣到多變量及其他非線性系統（Hammerstein模型，NARMAX模型等）上。

［1］侯曉秋.直接極小化指標函數的自適應PID控制［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（1）：47-50.

［2］侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數預測濾波PID控制［J］.黑龍江科技大學學報，2015，25（6）：686-691.

［3］席裕庚.預測控制［M］.北京：國防工業出版社，2013.

［4］Ljung，L.andE.Trulsson.Adaptive control based on explicit crirerion minimization［J］.IFAC 81 World Congress，Preprints，1981，VII：1-6.

［5］蕭德云.系統辨識理論及應用［M］.北京：清華大學出版社，2014.

［6］韓正之，陳彭年，陳樹中.自適應控制［M］.北京：清華大學出版社，2014.

Prognosis filtering PID control with on-line modifying parameter for symmetric bilinear system

HOU Xiao-qiu
（College of Electric and Control Engineering，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

A symmetric bilinear system is developed，which can be used to describe the symmetric nonlinear system by adding a sign function into the bilinear system.The parameters of the controlled model are estimated by employing the multi-variable ill-solvable forgetting factor recursive least squares algorithm.The system output is predicted by using the self-tuning prediction explicit algorithm.Based on the gain prognosis-control prognosis-filtering PID algorithm，the self-adaptive ill-solvable control algorithm and the Robbins-Monro algorithm，the self-adaptive prognosis-filtering fast-convergence PID control algorithm with on-line modifying parameter for symmetric bilinear system is presented.The simulative results show that the modified PID control algorithm has the properties of predicting-controlling and on-line modifying parameters and the system has superior control characteristics.

self-adaptive control；predictive control；PID control；parameter estimation；self-tuning prediction；bilinear system

TP273

A

1005—7277（2016）03—0027—05

侯小秋（1965-），男，黑龍江省雙城人，副教授，碩士，主要研究方向為非線性控制，預測控制，自適應控制。

2016-03-28