模擬退火法Kriging時域模型在沉降監測中的應用

范占永，甄宗坤，蔡東健

(1. 蘇州工業園區測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000； 2. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092)

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模擬退火法Kriging時域模型在沉降監測中的應用

范占永1，2，甄宗坤1，蔡東健1

(1. 蘇州工業園區測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州 215000； 2. 同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092)

目前常用的時間維監控模型主要有時間序列模型、回歸分析模型、灰色理論模型、卡爾曼濾波模型、泊松生命回旋模型等，模型雖然在某些簡單或特定的工程中均可取得了較好的監控效果，但在一些沉降變化復雜的地區，由于模型僅考慮了離散數據的隨機性或結構性特征，沒有考慮到數據的變化特征和時間相關性，致使模型預測監控的效果總是差強人意。本文研究了基于模擬退火法的Kriging時域模型，其在傳統Kriging模型的基礎上，引入目前比較成熟的模擬退火法(SAA)對變異函數擬合模型中的參數進行尋優，以提高變異函數模型的精度，使模型能更準確地描述時域變量的變異特征。

時域模型；Kriging；模擬退火法；變異函數

在沉降監測中，為了尋求變形體的變形規律，實際中往往采用以點代面的方法，對監測點進行多期觀測，通過采集的離散數據來分析變形體在時間維的變形特征，確定變形體的變形規律，并以此預測變形體下一時段的形變情況。傳統Kriging模型在空間插值中已得到廣泛應用，而從近些年一些學者的研究發現，得益于其獨特的建模機制，模型應用于時間序列插值也可獲得較高的精度。不過，模型建立的基礎是變形信息具有良好的時間相關性，然而隨著時間的推移，這種相關性會逐漸減小，即最早時刻的觀測數據與當前數據失去了相關性，此時，Kriging模型的變異函數趨近與一個相對穩定的常數，插值失去了意義。因此，在使用Kriging模型進行時域插值時，為保證數據的時間相關性，常采用滾筒預測的方式，對變形體的變形情況進行預測。

傳統Kriging地面沉降時域監控模型，在考慮離散數據的隨機性和結構特性的同時，采用滾筒預測的方式，保證了數據的時間相關性，使得其在實際應用中取得了不錯的效果。不過，模型也存在一些明顯的問題，如時間序列的離散數據往往呈現出明顯的非正態性；沉降變形信息的時間相關性會隨著時間的推移逐漸減弱，擾動信息卻逐漸累積，使得變異函數無法真實地反映沉降數據的時間分布特征；變異函數值同樣是對區域化變量間差值取平方，使得插值結果也容易受區域化變量異常值的影響；變異函數擬合模型是基于最小二乘準則的，其在處理小數據窗口時，也會對測量誤差有明顯的放大作用。因此，本文研究基于模擬退火法的Kriging時域模型，在傳統Kriging模型的基礎上，引入目前比較成熟的模擬退火法(simulate anneal arithmetic，SAA)對變異函數擬合模型中的參數進行尋優，以提高變異函數模型的精度，使模型能更準確地描述時域變量的變異特征，進而提高模型的預測精度。

一、Kriging時域模型

Kriging時域模型以區域化變量的時間相關性為依據，結合變異函數理論，研究分析具有隨機性、結構性、相關性和依賴性的沉降監測數據，并對這些數據進行最優無偏估計。

相比于Kriging空間插值模型，時間插值的平穩性假設為：二階平穩是假設具有相同的時間間隔的任意兩時刻的協方差是相同的，協方差只與這兩時刻的值相關而與它們的時間無關；內蘊平穩假設是指具有相同時間間隔的任意兩時刻的方差(即變異函數)是相同的。

變異函數表示為

(1)式中，Z(t)為t時刻的觀測值；Z(t+h)是與t時刻偏離時間間隔為h的觀測值；N(h)是時間間隔為T的時間點對總數；γ(T)為時間間隔為T時的變異函數值。

二、基于模擬退火法的Kriging時域模型

模擬退火算法是一種應用非常廣泛的智能化算法。該算法源自固體退火原理， 即首先將固體加熱至溫度充分高再讓其徐徐冷卻, 加熱時，固體粒子的熱運動不斷增強， 隨著溫度的升高， 內能的增大，粒子排列逐漸從有序的結晶態轉變為無序的液態，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，最后在常溫時達到基態，內能減為最小。根據Metropolis準則，粒子在溫度T時趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中，E為溫度T時的內能，ΔE為其改變量，k為Boltzmann常數。

模擬退火法數學模型由解空間、目標函數和初始解3部分組成。

1) 解空間：對所有可能解均為可行解的問題定義為可能解的集合，對存在不可行解的問題，或限定解空間為所有可行解的集合，或允許包含不可行解但在目標函數中用罰函數(penalty function)懲罰以致最終完全排除不可行解。

2) 目標函數：對優化目標的量化描述，是解空間到某個數集的一個映射，通常表為若干優化目標的一個和式，應正確體現問題的整體優化要求且較易計算，當解空間包含不可行解時，還應包含罰函數項。

3) 初始解：是算法迭代的起點。試驗表明，模擬退火法是健壯的(robust)，即最終解的獲得不太依賴初始解的選取，從而可以任意選取一個初始解。

對于Kriging時域監控模型的變異函數模型，本文選擇球狀模型，具體形式為

(2)

式中，C0為塊金值；C為偏基臺值；a為變程。

使用模擬退火法尋找球狀變異函數模型最優解的具體步驟為：

1) 初始化變異函數模型參數C0、C、a，確定參數變化范圍。

2) 計算目標函數值E(C0、C、a)。

模型擾動采用Ingber于1989年提出的依賴于溫度的似Cauchy分布產生新模型，具體形式如下

(3)

yi=Tsgn(μ-0.5)[(1+1/T)|2μ-1|-1]

(4)

P=[1-(1-m)ΔE/T]1/(1-m)

(5)

進行接收，T為溫度。

8) 在溫度T下，重復一定次數的擾動和接收過程。

9) 緩慢降低溫度T

T(k)=T0αk1/N

(6)

式中，T0為初始溫度；k為迭代次數；N為給定常數，一般為1或2；α通常選擇0.7≤α≤1。

10) 重復步驟3)—9)，直至收斂條件滿足。

綜上，基于模擬退火法的Kriging時域監控模型具體建模步驟如圖1所示。

圖1　基于模擬退火法的Kriging時域監控模型程序

三、工程實例

圖2　監測點A和監測點B的實測沉降曲線

圖3　模擬退火法(SAA)和最小二乘法(LS)擬合變異函數曲線對比圖

mm

圖3為監測點A滾動步長為8期的模擬退火法(SAA)和最小二乘法(LS)擬合變異函數曲線的對比圖，圖中顯示SAA算法擬合的變異函數曲線表現得較為穩定，準確地描述了變異函數曲線的變化趨勢。表1和表2為監測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging插值結果，圖4和圖6為監測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging對比圖，圖5和圖7為監測點A、B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖 。由表1、表2和圖4—圖7可知，改進的SAA-Kriging監控模型在一定程度上解決了傳統Kriging模型面臨的難題，進一步提高了模型的監測精度和穩定性。測試中，滾動步長為8期的監測點A、B的Kriging和SAA-Kriging對比結果表明，SAA-Kriging監控模型在選定了合適的滾動步長的基礎上，可以獲得接近于1 mm的監測精度。

圖4　監測點A不同滾動步長下的Kriging和SAA-Kriging對比圖

圖5　監測點A不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖

mm

圖6　監測點B不同滾動步長下的Kriging和SAA-Kriging對比圖

圖7　監測點B不同滾動步長Kriging和SAA-Kriging殘差圖

四、結束語

本文主要研究了在局部地區應用改進Kriging時域監控模型進行區域地面沉降監測時的問題。結合工程實例，檢驗了改進SAA-Kriging時域模型的監控效果。測試中選擇的變異函數模型為非線性的，求解模型參數常規的方法是將模型線性化后，按照最小二乘準則獲取最優解，然而最小二乘準則在處理小數據窗口時會對測量誤差有明顯的放大作用。文中通過引入了模擬退火法對Kriging時域監控模型進行了尋優求解，試驗結果顯示，模擬退火法(SAA)擬合的變異函數曲線表現得較為穩定，能較為準確地描述變異函數曲線的變化趨勢，有效地解決了最小二乘準則在處理小數據窗口時的問題。

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Simulated Anneal Arithmetic Kriging Time-domain Model in Subsidence Monitoring

FAN Zhanyong，ZHEN Zongkun，CAI Dongjian

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0156.

2015-11-24

范占永(1976—)，男，博士生，高級工程師，主要從事數字城市和城市災害預警方面的研究。E-mail：fanzy@dpark.com.cn

P258

B

0494-0911(2016)05-0061-05

引文格式： 范占永，甄宗坤，蔡東健. 模擬退火法Kriging時域模型在沉降監測中的應用[J].測繪通報，2016(5)：61-65.