三視圖還原出幾何體的絕招

安徽省太和中學　岳　峻　韓長峰

三視圖還原出幾何體的絕招

安徽省太和中學岳峻韓長峰

一、熱點透析

空間幾何體的三視圖是高中新課程中新增內容之一，考綱要求同學們能畫出簡單空間圖形的三視圖，會根據幾何體的三視圖識別或想象出原幾何體的立體模型。此類題型屢見不鮮，其目的是考查我們的識圖能力、判斷能力與空間想象能力，往往還要求我們由三視圖還原出實物圖，進而畫出直觀圖，并準確判斷其相應的位置關系和正確計算出幾何體的表面積、體積等相關量。此類問題多以選擇題、填空題為主，通常屬于中等偏易題。殊不知，多半考生盡管知道“長對正，寬相等，高平齊”的特征，可還是為如何還原得到實物圖而苦思冥想，甚至無奈！

如何快捷地由幾何體的三視圖還原出幾何體呢？

二、絕招闡述

引例一個四面體的三視圖如圖1所示，則該四面體的表面積是（）。

圖1

分析根據“棱角分明”的三視圖，初步判斷四面體是以長方體為“母體”的幾何體，如圖2所示，不難得到長方體的長、寬、高分別為2、1、1。

圖2

第一步：根據正視圖，在長方體中畫出正視圖的四個頂點所在的線段，如圖3所示，正視圖的四個頂點必定是由圖3中的粗實線上的點投影而成的。

圖3

第二步：根據側視圖，在長方體中畫出側視圖的三個頂點所在的線段，如圖4所示，側視圖的三個頂點必定是由圖4中的粗虛線上的點投影而成的。

圖4

第三步：根據俯視圖，在長方體中畫出俯視圖的四個頂點所在的線段，如圖5所示，俯視圖的四個頂點必定是由圖5中的雙線上的點投影而成的。

圖5

第四步：三種類型線的公共點即為原幾何體的頂點，連接各頂點，如圖6所示，即得原幾何體V-DEC，其中O是DC的中點。

圖6

該幾何體是一個底面為等腰直角三角形的三棱錐，可知VO⊥平面DEC，VO=OE=1，VD=VE=VC=DE=EC=，所以該四面體的表面積是2+。

三、絕招驗證

例1如圖7，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）。

圖7

解析該幾何體為四面體E-D1C1C，其直觀圖求法如圖8所示，故該多面體中，最長的棱的長度為6，選B。

圖8

例2某三棱錐的三視圖如圖9所示，則該三棱錐的表面積是（）。

圖9

解析三棱錐的直觀圖P-ABC，如圖10所示，過P點做AB的垂線交AB于D，

圖10

例3某三棱錐的三視圖如圖11所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為_______。

圖11

圖12

解析依據三視圖得到三棱錐P-ABC，如圖12所示，PA⊥平面ABC，D為AC中點，PA=AC=2，BD=1，AB=BC，易知最長棱為PC=2。故答案為2。

例4某幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的表面積為（）。

圖13

A.54 B.60 C.66 D.72

解析由三視圖可知，該幾何體為FED-ABC，如圖14所示，是由下方的直三棱柱與上方的四棱錐組成的組合體，其中直三棱柱底面為一個邊長為3、4、5的直角三角形，高為2，上方的四棱錐是底面邊長是3的正方形，一個側面與直三棱柱的底面重合。該幾何體共有5個面，底面，豎直的三個面面積分別為剩下的一個面是一個直角邊長為3、5的直角三角形，

例5某三棱錐的側視圖、俯視圖如圖15所示，則該三棱錐的體積是（）。

A.3 B.2

圖15

解析由三視圖可知，該幾何體為A-BCD，如圖16所示，△ABD與△BCD均為邊長為2的正三角形，平面ABD⊥平面BCD，

圖16

設O為BD的中點，連接AO、OC，則AO⊥BD，

例6設某幾何體的三視圖如圖17所示（尺寸的長度單位為m），則該幾何體的體積為_________m3。

圖17

圖18

解析由三視圖可知，該幾何體為P-QCD，如圖18所示，該幾何體的體積為