冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化*

何　彬

(湖北理工學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 黃石 435003)

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冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化*

何彬

(湖北理工學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 黃石 435003)

機(jī)床床身多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化主要存在優(yōu)化目標(biāo)沖突、收斂慢、計(jì)算量大等問(wèn)題。以冷鐓機(jī)床身結(jié)構(gòu)整體剛性與減重效果為優(yōu)化指標(biāo)，提出一種改進(jìn)的應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)多約束優(yōu)化列式，并結(jié)合權(quán)重調(diào)整和單目標(biāo)函數(shù)自約束兩種方法，運(yùn)用Abaqus6.12，對(duì)某型號(hào)冷鐓機(jī)床身進(jìn)行數(shù)值仿真和分析，結(jié)果表明，權(quán)重調(diào)整可以弱化優(yōu)化過(guò)程中體積對(duì)應(yīng)變能的影響，應(yīng)變能自約束能夠加快收斂過(guò)程，兩者對(duì)于改善冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的求解過(guò)程，獲得理想的優(yōu)化結(jié)果是可行的。

冷鐓機(jī)；床身；雙目標(biāo)；拓?fù)鋬?yōu)化；應(yīng)變能；體積

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Hubei Polytechnic University, Huangshi 435003, CHN)

冷墩機(jī)是應(yīng)用冷墩工藝生產(chǎn)各類標(biāo)準(zhǔn)件、緊固件、異形件的工作母機(jī)。冷鐓機(jī)床身是整機(jī)中重量最大的一部分，約占整機(jī)重量的30%～45%，對(duì)冷鐓機(jī)床身進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)是節(jié)材和降低成本的必然途徑[1]。從現(xiàn)有文獻(xiàn)看，對(duì)機(jī)床床身的輕量化設(shè)計(jì)多采用拓?fù)鋬?yōu)化方法[2-3]，如分別以應(yīng)變能、體積或固有頻率為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化[4-6]，但單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化很難保證較優(yōu)的床身綜合性能；在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中，文獻(xiàn)[7]以床身的質(zhì)量作為主要優(yōu)化目標(biāo)、一階固有頻率和最大變形作為次要優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[8]以外圓磨床床身結(jié)構(gòu)剛度和基頻為設(shè)計(jì)目標(biāo)；文獻(xiàn)[1]運(yùn)用折衷規(guī)劃法，以重量和整體剛度為指標(biāo)，對(duì)冷鐓機(jī)床身展開(kāi)多目標(biāo)優(yōu)化。

機(jī)床床身多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化至少有兩個(gè)方面的問(wèn)題還值得探討：第一，如何解決目標(biāo)函數(shù)之間的沖突。一個(gè)目標(biāo)函數(shù)減小導(dǎo)致其他目標(biāo)函數(shù)增加稱之為目標(biāo)函數(shù)之間的沖突，此情形下很難得到最優(yōu)值[9]；第二，如何合理規(guī)劃優(yōu)化模型，加快收斂，減少計(jì)算量。尤其是非線性優(yōu)化模型，盡管拓展了尋優(yōu)空間，但收斂慢，計(jì)算量大。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文以冷鐓機(jī)床身結(jié)構(gòu)應(yīng)變能與體積為目標(biāo)，采用一種改進(jìn)的多約束優(yōu)化列式，并通過(guò)權(quán)重調(diào)整和單目標(biāo)函數(shù)自約束兩種方法，驗(yàn)證冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程的可行性。

1　雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化列式

對(duì)于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，更多是采用線性加權(quán)法將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題來(lái)求解，這樣可以簡(jiǎn)化優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較容易，但同時(shí)也縮小了優(yōu)化空間，尤其對(duì)非凸優(yōu)化問(wèn)題而言，不能確保得到所有的Pareto最優(yōu)解[9]。因此，有些研究通過(guò)折衷規(guī)劃法來(lái)建立冷鐓機(jī)床身多目標(biāo)優(yōu)化模型，如文獻(xiàn)[1]。但對(duì)于冷鐓機(jī)床身這種復(fù)雜的三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，采用非線性優(yōu)化模型不僅計(jì)算量大，而且優(yōu)化列式中的最小應(yīng)變能和最小體積皆通過(guò)預(yù)估來(lái)確定，在一定程度上降低了優(yōu)化求解精度。同時(shí)，冷鐓機(jī)床身結(jié)構(gòu)體積與應(yīng)變能不是相互獨(dú)立的目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)變能函數(shù)為單元應(yīng)變能之和，通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中單元的刪減來(lái)減少體積，對(duì)應(yīng)變能大小難免會(huì)造成影響。由于總應(yīng)變能反映了冷鐓機(jī)床身的整體剛性，因此可以在優(yōu)化模型中增加最大位移約束，最大位移是衡量冷鐓機(jī)床身整體剛性的重要指標(biāo)，設(shè)置最大位移約束不僅是冷鐓機(jī)加工精度的保證，還可以弱化體積改變對(duì)應(yīng)變能造成的影響；同時(shí)，為了保證冷鐓機(jī)床身的強(qiáng)度，需要考慮最大應(yīng)力約束，這也可以在一定程度上縮小尋優(yōu)范圍，增加收斂性，減少計(jì)算量。

按照上述思路，冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化列式可以表達(dá)為：

(1)

其中：X=[x1,x2,…,xn]為雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量；xi為單元偽密度，在0～1之間取值；n為單元個(gè)數(shù)；F(X)為目標(biāo)函數(shù)；C(X)為冷鐓機(jī)床身結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能；C0為床身初始總應(yīng)變能；W為對(duì)應(yīng)權(quán)重；V(X)為床身結(jié)構(gòu)總體積；V0為床身初始結(jié)構(gòu)總體積；σmax(xi)為單元的最大應(yīng)力值；σ為許用應(yīng)力值；γmax(xi)為單元最大位移；γ為許用最大位移值；δ為消除奇異的單元密度最小極限值，一般取0.000 1[4]；s.t.3為待定約束。初始總應(yīng)變能和初始體積總是比優(yōu)化過(guò)程中的對(duì)應(yīng)值大，而且初始總應(yīng)變能和初始體積在拓?fù)鋬?yōu)化啟動(dòng)階段由有限元軟件自動(dòng)計(jì)算出，容易確定，因此可以通過(guò)結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能與初始總應(yīng)變能的比值以及結(jié)構(gòu)總體積與初始結(jié)構(gòu)總體積的比值實(shí)現(xiàn)歸一化。

由于拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能和結(jié)構(gòu)總體積相對(duì)初始值的改變程度不一樣，因此權(quán)重是影響求解過(guò)程的重要因素，同時(shí)，為了得到更為理想的優(yōu)化結(jié)果，仍然可以考慮增加待定約束。基于上述優(yōu)化模型，以下運(yùn)用實(shí)例，分別通過(guò)權(quán)重調(diào)整和單目標(biāo)函數(shù)自約束兩種方法，來(lái)對(duì)冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程展開(kāi)研究。

2　權(quán)重調(diào)整法

本文中的權(quán)重調(diào)整法是通過(guò)改變優(yōu)化列式中的權(quán)重，并逐一進(jìn)行仿真和逼近，來(lái)獲得較為理想的雙目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的一種數(shù)值模擬方法。以某型號(hào)冷鐓機(jī)床身為例，初始床身結(jié)構(gòu)參照文獻(xiàn)[4]和[10]，初始結(jié)構(gòu)總體積為1.426 4 m3，工作中左邊前壓板和右邊前后軸承孔為主要受力部位，最大公稱力為410 kN，床身材料為HT250，根據(jù)HT250材料的抗拉強(qiáng)度和安全系數(shù)以及該型號(hào)冷鐓機(jī)加工精度要求，可以設(shè)置最大許用應(yīng)力125 MPa和最大許用位移0.07 mm。

首先將權(quán)重設(shè)置為0.5，在Abaqus6.12建立模型、定義約束和參數(shù)并提交任務(wù)，在設(shè)計(jì)循環(huán)尚未啟動(dòng)時(shí)讀取床身初始總應(yīng)變能為100.087 N·m，再根據(jù)權(quán)重、初始總應(yīng)變能和初始體積值設(shè)置目標(biāo)函數(shù)，最后運(yùn)用ATOM模塊展開(kāi)優(yōu)化進(jìn)程，經(jīng)過(guò)15次設(shè)計(jì)循環(huán)，目標(biāo)函數(shù)F(X)的值已趨于收斂，如圖1所示。而此時(shí)應(yīng)變能為28.575 7 N·m，體積為0.714 27 m3，最大應(yīng)力為48.62 MPa，最大位移為0.115 mm。其中，最大位移大于0.07 mm，在目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)收斂時(shí)，仍然不滿足約束要求，說(shuō)明在給定的約束下權(quán)重為0.5時(shí)的雙目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程無(wú)解，為此需要重新調(diào)整權(quán)重系數(shù)。

將權(quán)重系數(shù)依次設(shè)置為0.6、0.7和0.8，調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)設(shè)置，并重復(fù)上述步驟，分別進(jìn)行仿真，得到的優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

權(quán)重從0.5到0.8改變時(shí)，可以看出，目標(biāo)函數(shù)、應(yīng)變能和最大位移遞減，體積和最大應(yīng)力遞增，當(dāng)權(quán)重為0.5、0.6和0.7時(shí)，最大位移都不滿足設(shè)定的約束要求，直到權(quán)重調(diào)整為0.8，所有約束要求才在優(yōu)化結(jié)果中得到滿足，其中體積減幅為30.06%，對(duì)照文獻(xiàn)[4]中以應(yīng)變能為函數(shù)、體分比、最大應(yīng)力、最大位移為約束的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果，在體積減幅達(dá)到31%～33%時(shí)，應(yīng)變能的值在23.9～24.2 N·m之間，說(shuō)明權(quán)重為0.8時(shí)床身的整體剛性超出了預(yù)期值，但減重效果還不理想，為此可以在權(quán)重0.7～0.8之間重新尋求合理的權(quán)重，通過(guò)有限元逐步仿真逼近可以得到相對(duì)較優(yōu)的權(quán)重，即當(dāng)權(quán)重為0.76時(shí)，目標(biāo)函數(shù)、應(yīng)變能、體積、最大應(yīng)力和最大位移分別為0.341 673、23.952 3 N·m、0.949 4 m3、48.83 MPa、0.678 5 mm，相比而言，優(yōu)化值更為合理，待優(yōu)化的兩個(gè)指標(biāo)床身整體剛性和重量可以達(dá)到一個(gè)較為理想的效果。

表1調(diào)整權(quán)重的優(yōu)化結(jié)果

權(quán)重目標(biāo)函數(shù)應(yīng)變能/(N·m)體積/m3最大應(yīng)力/MPa最大位移/mm0.60.376427.56050.752548.631.0680.70.359525.54070.859348.770.07680.80.327323.42620.997648.840.0675

3　單目標(biāo)函數(shù)自約束法

基于優(yōu)化列式(1)，采用權(quán)重向應(yīng)變能函數(shù)傾斜的調(diào)整方法可以減小體積改變對(duì)應(yīng)變能的影響，從而弱化兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間的沖突，但是權(quán)重調(diào)整是一個(gè)試湊的過(guò)程，耗時(shí)較長(zhǎng)。單目標(biāo)函數(shù)自約束法就是對(duì)某一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束，增加到優(yōu)化列式(1)的待定約束中。優(yōu)化列式(1)中的應(yīng)變能函數(shù)C(X)和體積函數(shù)V(X)是雙目標(biāo)函數(shù)F(X)的自變量，對(duì)應(yīng)變能和體積函數(shù)進(jìn)行約束，縮小了自變量的取值區(qū)間，可以加快優(yōu)化過(guò)程的收斂，但約束過(guò)多也會(huì)出現(xiàn)優(yōu)化無(wú)解的情況。因此，分別以體積和應(yīng)變能為約束，增加到優(yōu)化列式中，取權(quán)重為0.5，驗(yàn)證可行性。體積的約束值可以根據(jù)床身的減重目標(biāo)設(shè)定，如文獻(xiàn)[4]中小于70%，應(yīng)變能的約束值可以按照應(yīng)變能單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的中間值進(jìn)行設(shè)定，本例中設(shè)為24.14 N·m。在Abaqus6.12中重新增加體積或應(yīng)變能的約束設(shè)置，分別對(duì)兩種單目標(biāo)函數(shù)自約束情況進(jìn)行優(yōu)化仿真。體積自約束優(yōu)化結(jié)果為：目標(biāo)函數(shù)值0.391 7，應(yīng)變能28.615 6 N·m，體積0.709 34 m3，最大應(yīng)力48.62 MPa，最大位移0.124 9 mm。同樣是在目標(biāo)函數(shù)趨于收斂時(shí)無(wú)法找到滿足最大位移約束的最優(yōu)解。應(yīng)變能自約束優(yōu)化結(jié)果為：目標(biāo)函數(shù)值0.443 0(不考慮凍結(jié)區(qū)域?yàn)?.318 1)，應(yīng)變能24.06 N·m，體積0.920 8 m3，最大應(yīng)力48.8 MPa，最大位移0.069 1 mm。優(yōu)化進(jìn)程、優(yōu)化后結(jié)構(gòu)以及應(yīng)力、位移云圖分別如圖2～5所示。

從上圖可知，在經(jīng)過(guò)20次設(shè)計(jì)循環(huán)后，目標(biāo)函數(shù)在滿足所有約束的前提下收斂，且床身整體剛性和減重效果較為理想。從優(yōu)化列式中目標(biāo)函數(shù)的敏度分析可推斷，體積對(duì)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)總是為0的，而應(yīng)變能對(duì)密度設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)不為0，因此應(yīng)變能的改變是影響目標(biāo)函數(shù)靈敏度的關(guān)鍵因素，對(duì)整個(gè)優(yōu)化求解過(guò)程和結(jié)果起著決定性作用。在本例中，權(quán)重為0.5無(wú)待定約束時(shí)，優(yōu)化過(guò)程是無(wú)解的，增加了體積約束仍然無(wú)解，但是將體積約束換成應(yīng)變能約束，則可獲得較為理想的優(yōu)化結(jié)果，充分說(shuō)明了應(yīng)變能對(duì)求解過(guò)程的主導(dǎo)作用。

4　結(jié)語(yǔ)

冷鐓機(jī)床身應(yīng)變能與體積雙目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化列式是一種改進(jìn)型的線性優(yōu)化模型，權(quán)重調(diào)整和單目標(biāo)函數(shù)自約束是保證優(yōu)化過(guò)程的實(shí)現(xiàn)獲取理想優(yōu)化結(jié)果的兩種方法，權(quán)重調(diào)整可以弱化優(yōu)化過(guò)程中體積對(duì)應(yīng)變能的影響，應(yīng)變能自約束能夠顯著加快收斂過(guò)程，提高求解質(zhì)量。兩種方法可根據(jù)冷鐓機(jī)床身的結(jié)構(gòu)和實(shí)際工況進(jìn)行選取，有一定的工程應(yīng)用和參考價(jià)值。

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Topology optimization with double objective of strain energy and volume for cold heading machine bed

HE Bin

The main problems in multi-objective topology optimization of machine tool bed are the confliction of objective functions, slow convergence and large calculation. Aiming at the optimal indexes of overall rigidness and weight-reducing of cold heading machine bed, multi-constraint optimized model with double objective of strain energy and volume is put forward. Combined with numerical simulation and analysis based on Abaqus6.12, weight adjustment and self constraint of single objective function are used respectively. The results show that weight adjustment can weaken the effect of volume on strain energy and self constraint of strain energy can accelerate the process of convergence. It is feasible for the two methods to improve the solving process and obtain the optimal results of topology optimization for cold heading machine bed.

cold heading machine; bed;double objective;topology optimization; strain energy;volume

TH122

A

何彬，男，1970年生，工學(xué)博士，副教授、碩導(dǎo)，主要研究方向?yàn)閮?yōu)化設(shè)計(jì)、機(jī)床技術(shù)。

(編輯譚弘穎)(2015-10-27)

160319

*湖北省自然科學(xué)基金(2012FFC016)