基于卡通-紋理模型的相位恢復算法

練秋生　趙曉蕊　石保順　陳書貞（燕山大學信息科學與工程學院　秦皇島　066004）

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基于卡通-紋理模型的相位恢復算法

練秋生*趙曉蕊石保順陳書貞
（燕山大學信息科學與工程學院秦皇島066004）

相位恢復是指僅利用圖像的傅里葉幅值對原始圖像進行恢復。由于傅里葉幅值中包含的信息量較少，當圖像的過采樣率相對較低時，傳統的相位恢復算法無法實現圖像的有效重構。因此如何利用合適的先驗知識來提高圖像重構質量是相位恢復的一個關鍵問題。該文將卡通-紋理模型用于相位恢復，利用全變差（TV）和雙樹復數小波（DTCWT）兩種稀疏表示方法將圖像分解為卡通成分和紋理成分，并提出了基于交替方向乘子法（ADMM）的有效求解算法。實驗結果表明，該算法能有效提高圖像重構質量。

圖像處理；相位恢復；卡通-紋理模型；全變差；雙樹復數小波

1　　引言

相位恢復試圖僅從傅里葉幅值中恢復圖像，它是一個極具挑戰性的反問題，在光學、X射線衍射成像、天文學、數字全息等科學領域具有廣泛應用［14］-。由于相位信息的丟失，相位恢復問題通常是不適定的，但當圖像的過采樣率大于某一個特定值時，理論上能夠獲得準確解，從而實現圖像重構［5］。

針對相位恢復中相位信息的丟失問題，文獻［6］提出了GS相位恢復算法，但該算法具有迭代次數多，收斂性差等缺點。在此基礎上，人們提出了一系列基于交替投影相位恢復算法，如楊-顧算法［7］、誤差減少（Error Reduction， ER）算法、混合輸入輸出（Hybrid Input-Output， HIO）算法［8］、差值映射（D ifference M ap， DM）算法［9］等。文獻［10］在強度傳輸方程的基礎上提出了基于整體變分的相位恢復算法，并通過有限差分牛頓法求解對應的優化問題。文獻［11］在HIO算法的基礎上將壓縮傳感技術用于相位恢復，將TV約束引入HIO算法中，提出了HIO+TV算法。該算法首先經過HIO算法迭代過程，然后求解支撐域內純相位圖像的相位全變差最小的優化問題［12］，這兩步交替迭代，結果將逐漸收斂至滿足所有約束和全變差最小的解。文獻［13］提出了適合稀疏信號的GESPAR （GrEedy Sparse PhAse Retrieval）算法，該算法是一種快速局部搜索方法，屬于貪婪類算法，能夠對稀疏信號進行有效重建。文獻［14］提出了基于GAMP（Generalized Approximate Message Passing）的PR_GAMP算法，該算法不僅適合大規模信號相位恢復問題，而且對噪聲魯棒。

由于傅里葉幅值中包含的信息量相對較少，如何將合適的先驗知識用于相位恢復，提高圖像的重構質量是關鍵問題。在圖像處理中，通常將稀疏性先驗用于圖像重建中。自然圖像具有梯度稀疏性，因此理論上利用TV［12］稀疏性進行相位恢復能夠獲得滿意的結果。TV具有良好的保持邊緣特性，可以很好地表示圖像的邊緣部分，但當圖像的過采樣率相對較低時，用它進行相位恢復，只能重構出圖像的輪廓部分，而無法很好地重構出圖像的細節信息。DTCW T［15］較好的方向選擇性使其在圖像紋理表示中占有優勢，因此如何對TV和DTCWT進行有效結合，以此來增加TV缺失的細節信息，對于提高圖像的重構質量很重要。

圖像分層定義為將圖像分解為多個不同成分的總和，根據Meyer［16］圖像模型，自然圖像可以分解為卡通成分和紋理成分。本文針對TV和DTCWT的互補性，將卡通-紋理模型用于相位恢復算法，利用TV和DTCW T分別表示卡通成分和紋理成分，從而達到提高圖像重構質量的目的。實驗結果表明，本文算法的重構圖像在峰值信噪比和視覺效果兩個方面都有顯著提高。

2　　基本相位恢復算法

在相位恢復問題中，除了已知的傅里葉幅值構成的約束集M外，通常用到的先驗知識包括非負性和支撐集，非負性與支撐集D相結合可以構成非負支撐約束集S。用（）r x表示未知信號，幅值約束集M表示為

M集合對應的投影運算符MP定義為

人們通常采用尋找約束集合交點的方式求解相位恢復問題：

對于式（5）描述的問題通常采用交替投影算法進行求解，例如ER算法，但M集合是非凸的，ER算法容易陷入停滯，無法實現圖像的有效重構。針對ER算法存在的不足，Fienup提出了適合解決非凸問題的HIO算法，該算法的迭代過程可概括為（對于第k次迭代）

式中，1β<為抑制系數。傳統的HIO算法并未引入非負約束，文獻［17］提出的HPR（Hybrid Projection-Refection）算法將非負約束引入到算法中，本文借鑒這種形式。HIO算法收斂性好，在實際問題中具有廣泛應用，但當圖像有噪聲干擾時，H IO算法容易陷入振蕩而無法收斂。

3　　卡通-紋理模型

近年來，圖像分層技術已經成為了圖像處理領域的研究熱點之一，并在很多領域得到了廣泛應用［18，19］。根據M eyer［16］圖像模型，自然圖像可以分解為卡通成分和紋理成分，其中卡通成分包括圖像中較平滑的成分和邊緣結構，紋理成分包含大量的細節信息。根據卡通成分和紋理成分的不同特點，選取具有平滑特性和良好邊緣保持特性的TV表示卡通成分，具有較好方向選擇性的DTCWT表示紋理成分，將TV和DTCW T用于圖像分層，對圖像x進行卡通-紋理模型分解，如式（7）所示。

采用交替優化方式求解式（7）中描述的優化問題，具體步驟包括（對于第k次迭代）：

（1）當紋理成分v固定時，更新卡通成分u的優化問題為

式（8）可以看作是一個關于卡通成分u的去噪問題，可以采用文獻［20］提出的方法進行求解。

（2）當卡通成分u固定時，更新紋理成分v的優化問題為

采用軟閾值函數（soft thresholding）［21］對式（9）進行求解，求得的結果為

本文將Lena標準灰度圖像作為測試圖像進行圖像分層實驗，對其進行卡通-紋理模型分解，實驗結果如圖1所示。實驗結果表明，將TV和DTCWT用于卡通-紋理模型能夠將卡通成分和紋理成分有效分開。

4　　基于卡通-紋理模型的相位恢復算法

由于相位信息的丟失，相位恢復是一個欠定問題，利用先驗知識是解決欠定問題的常用方法。將稀疏性先驗用于相位恢復，得到相位恢復問題的框架：

為了使算法對噪聲魯棒，在式（11）的基礎上添加誤差項，得

圖1　卡通-紋理模型下圖像分解結果

在圖像處理中，通常利用梯度稀疏性作為先驗。令式（12）中的（）R z為TV正則項，將求解此優化問題的方法稱為PR_TV算法。TV對應圖像邊緣的稀疏性，具有良好的保持邊緣特性，但當圖像的過采樣率相對較低時，用它進行相位恢復，只能重構出圖像的輪廓，從而導致細節信息大量丟失。DTCWT是紋理圖像稀疏表示的常用方法，令式（12）中的R（z）為雙樹復數小波系數矩陣的l1范數，將求解此優化問題的方法稱為PR_DTCWT算法。DTCW T具有較好的方向選擇性，可以更好地保留各個方向的細節信息。根據TV和DTCWT的不同特點，本文受卡通-紋理模型的啟發，利用TV表示圖像的卡通成分，利用DTCWT表示圖像的紋理成分，提出了基于卡通-紋理模型的相位恢復算法（為后文描述方便，本文將該算法稱為PR_TV_DTCW T）：

將式中的TV（）u替換為全變差的離散形式，式（13）可改寫為

本文采用交替方向乘子法［22］對式（14）描述的優化問題進行求解，通過變量替換，令并將式（14）改寫為可利用ADMM求解的拉格朗日形式：

式中，u為圖像的卡通成分，v為圖像的紋理成分，h1，h2， h均為尺度對偶變量（scaled dual variable），λ1，λ2為數值保真項與各正則項之間的權衡因子。求解的具體步驟包括（對于第k次迭代）：

（1）當圖像u， v，x，y以及尺度對偶變量h1，h2，h固定時，更新u1，u2的優化問題為

利用廣義收縮模型［23］對式（16）中的最小化問題進行求解，求得的結果為

（2）當圖像x， v， y，尺度對偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時，更新卡通成分u的優化問題為

對u求偏導數并令其為0，從而求得u的最優解為

（3）當圖像u， x， y，尺度對偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時，更新紋理成分v的優化問題為

采用軟閾值函數對式（21）進行求解，求得的結果為

（4）當圖像u， v， y，尺度對偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時，更新圖像x的優化問題為

求解式（23）得到圖像x的最優解為

（5）當圖像u， v， x，尺度對偶變量1h，2h， h以及1u，2u固定時，更新圖像y的優化問題為

求解式（25）得到圖像y的最優解為

（6）更新變量1h，2h， h為

表1　 本文算法的基本步驟

5　　實驗結果

為了驗證本文算法的有效性，分別利用HIO算法、HIO+TV算法以及本文提出的PR_TV算法、PR_DTCW T算法、PR_TV_DTCW T算法進行仿真實驗。實驗采用Lena標準灰度圖像作為測試圖像，圖像大小為512 512×，測試圖像和支撐如圖2所示。實驗平臺為Intel Core i3-3220四核CPU，主頻3.30 GHz，內存4 GB，軟件平臺為M atlab 2012 a。本文通過峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和結構相似度（Structural SIM ilarity，SSIM）［25］兩個指標來評價圖像的重構質量，PSNR值和SSIM值越高，說明圖像的重構質量越好。

圖2　 測試圖像和支撐

本文對每個過采樣率進行16次獨立實驗，從16次實驗結果中選取FR［26］最小的結果，FR計算公式為

式中，F x?為估計圖像x?的傅里葉變換，α為比例因子。

表2　 不同過采樣率下圖像重構結果PSNR（dB）和SSIM比較

圖3　 過采樣率為2.29時Lena圖像的重構結果

表2中列出了過采樣率［5］為2.35和2.29兩種情況下，不同算法對Lena圖像重構結果比較，其中過采樣率定義為全部像素值與未知像素值數量的比值。從表2可以看出，PR_TV算法和PR_DTCWT算法的性能較HIO算法和HIO+TV算法有明顯提高，PR_TV_DTCW T算法在PSNR值和SSIM值上均優于其他對比算法。圖3給出無噪情況下，過采樣率為2.29時，不同算法對Lena圖像的重構結果。從圖3可以看出，HIO算法與HIO+TV算法均無法對圖像進行有效重構，PR_TV算法重構效果明顯優于前兩種算法，具有了清晰的輪廓，但紋理信息大量丟失，PR_DTCWT算法與PR_TV算法相比，增加了大量紋理信息，但臉部有斜紋，PR_TV_DTCWT算法保留了更多的細節信息，邊緣與紋理更清晰，較其他幾種對比算法具有明顯優勢。實驗結果表明了卡通-紋理模型應用于相位恢復算法的有效性。

表3　 不同算法運行時間比較（s）

圖4　 過采樣率為2.29，噪聲強度為10%時Lena圖像的重構結果

為了體現各個算法的計算復雜度，表3給出了迭代次數為4000次時運行時間比較。從表3可以看出，HIO算法用時最少，PR_TV_DTCWT算法用時最多。HIO算法僅利用了集合投影，計算復雜度最低。由于需要求解TV最小化問題，HIO+TV算法計算復雜度高于HIO算法。PR_TV算法和PR_DTCWT算法利用ADMM算法分別求解引入TV正則項和雙樹復數小波稀疏正則項的相位恢復問題，計算復雜度高于HIO+TV算法。PR_TV_ DTCWT算法通過卡通-紋理模型將TV和DTCWT進行結合，同樣利用ADMM算法求解對應的優化問題，因此計算復雜度最高。雖然PR_ TV_DTCWT算法的計算復雜度相對較高，但在低采樣率下，圖像的重構質量明顯優于其他幾種算法。

為了探求不同噪聲強度對本文算法重建結果的影響，本文在真實測量值上施加噪聲強度為5%～20%的高斯白噪聲，其中噪聲強度［26］定義為

式中，Fx為無噪圖像x的傅里葉變換。

在過采樣率為2.29時，表4給出了不同算法在不同噪聲強度下重構圖像的PSNR和SSIM。從表4可以看出，PR_TV_DTCW T算法在不同噪聲強度下，重構結果均優于其他算法。在4種噪聲強度下，重構圖像的平均PSNR值比HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法、PR_DTCWT算法分別提高了18.17 dB， 15.98 dB， 2.62 dB， 11.07 dB，平均SSIM值分別提高了0.6176， 0.5633， 0.0975， 0.2680。圖4給出了噪聲強度為10%時，不同算法對Lena圖像的重構結果。從圖4可以看出，PR_TV_ DTCWT算法的視覺效果明顯優于其他對比算法，HIO算法與HIO+TV算法均無法有效重構圖像，PR_TV_DTCWT算法與PR_TV算法相比，紋理信息更豐富，與PR_DTCW T算法相比，重構結果更清晰，臉部無額外斜紋存在。

表4　 不同噪聲強度下圖像重構結果PSNR（dB）和SSIM比較

6結束語

本文針對全變差和雙樹復數小波的互補性，將卡通-紋理模型引入到相位恢復問題中，并利用ADMM算法對所對應的優化問題進行了求解。仿真實驗表明，PR_TV_DTCW T算法與HIO算法、HIO+TV算法、PR_TV算法以及PR_DTCWT算法相比，重構圖像具有更清晰的邊緣與紋理信息，重構質量具有明顯優勢。在真實測量值上施加不同噪聲強度高斯白噪聲的實驗表明，PR_TV_ DTCWT算法對噪聲魯棒。如何將本文中模型應用到其他圖像反問題是將來的研究方向。

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練秋生：男，1969年生，教授，博士生導師，研究方向為圖像處理、稀疏表示、壓縮感知及相位恢復.

趙曉蕊：女，1989年生，碩士生，研究方向為相位恢復.

石保順：男，1989年生，博士生，研究方向為盲壓縮感知、字典學習、相位恢復.

陳書貞：女，1968年生，副教授，研究方向為圖像處理、壓縮感知、生物識別、相位恢復.

Phase Retrieval Algorithm Based on Cartoon-texture Model

LIAN QiushengZHAO XiaoruiSHI BaoshunCHEN Shuzhen
（Institute of Information Science and Technology， Yanshan University， Qinhuangdao 066004， China）

Phase retrieval is an issue that tries to recover an image from its Fourier magnitude measurements. Since the Fourier magnitude measurements contain less inform ation， the traditional phase retrieval algorithm s can not reconstruct the image efficiently under the scenario that the oversam pling ratio is relatively low. Therefore， how to use the suitab le image p riors to im prove the reconstruction quality of the image is the key issue. In this paper， the cartoon-texture model is utilized for phase retrieval algorithm. Two sparse representation methods including both Total Variation （TV） and Dual-Tree Com p lex W avelet Transform （DTCW T） are exp loited to decom pose the image into two parts， namely the cartoon com ponent and the texture component. Moreover， A lternating Direction Method of Mu ltipliers （ADMM） is exp loited to solve the corresponding p roblem. The experimental results show that the proposed algorithm can effectively imp rove the quality of image reconstruction.

Image processing； Phase retrieval； Cartoon-texture model； Total Variation （TV）； Dual-Tree Com plex Wavelet Transform （DTCWT）

s: The National Natural Science Foundation of China （61471313）， The Natural Science Foundation of Hebei Province （F2014203076）

TN911.73

A

1009-5896（2016）08-1991-08

10.11999/JEIT151156

2015-10-16；改回日期：2016-02-25；網絡出版：2016-04-24

練秋生lianqs@ysu.edu.cn

國家自然科學基金（61471313），河北省自然科學基金（F2014203076）