基于廣義坐標形式的高斯最小拘束原理的多剛體系統動力學建模

姚文莉

青島理工大學理學院， 青島 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

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基于廣義坐標形式的高斯最小拘束原理的多剛體系統動力學建模

姚文莉

青島理工大學理學院， 青島 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

通過采用動能及廣義坐標顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標形式的高斯拘束中各項的含義， 以此建立以笛卡爾廣義坐標表達的一般多剛體系統動力學問題的優化模型， 并研究利用上述模型列寫其他坐標體系下的高斯拘束的方法。采用該方法可將多剛體系統的動力學問題變為求拘束極值的問題， 并且只要給出廣義笛卡爾坐標與其他廣義坐標之間的雅可比關系式， 便可方便地得到該坐標系統下的高斯拘束， 建模過程簡單且具有更強的通用性。采用廣義笛卡爾坐標及拉格朗日坐標， 對簡單剛體的平面運動及定軸轉動問題建立動力學優化模型， 并驗證了該方法的有效性。

高斯最小拘束原理； 笛卡爾廣義坐標； 拉格朗日坐標體系； 多剛體系統； 動力學

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

高斯最小拘束原理是多體系統動力學問題優化的重要原理之一， 它不需要建立系統的動力學方程，而是以加速度為變量， 直接利用系統在每個時刻的坐標和速度得出運動規律。因其對約束形式沒有要求， 所以可考察樹系統、非樹系統或單邊約束的動力學問題， 還可將動力學分析與系統優化相結合，解決帶控制的多體系統動力學問題。將高斯最小拘束原理用于多剛體系統， 起源于機器人動力學研究［1］。目前， 利用高斯原理的多體系統建模方法均基于質點形式的高斯最小拘束原理， 需直接對多體系統內的每個物體單獨列寫拘束［2-5］。在用廣義坐標表達的高斯最小拘束原理中， 對所選擇的廣義坐標沒有要求， 所以建模過程簡單且有更強的通用性，但目前研究中， 廣義坐標形式的高斯拘束原理中的符號含義不夠清晰， 不適于程式化的建模［6-7］。

本文采用動能及廣義坐標顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標形式的高斯拘束中各項的含義， 并利用廣義坐標形式的高斯最小拘束原理，建立多剛體系統動力學的優化模型。在多剛體系統動力學問題的研究中， 針對不同的問題會采用不同的坐標系統， 與其他坐標系統相比， 廣義笛卡爾坐標體系可以更方便地表達系統動力學量。因此， 本文研究利用上述模型列寫其他坐標體系高斯拘束的方法， 根據上述方法， 只要能夠得到其他坐標系統與廣義笛卡爾坐標系統之間的關系表達式， 便可以方便地得到多剛體系統的拘束（該函數表達式中的變量均以矩陣形式給出）。

1　不同坐標形式的高斯最小拘束原理

1.1以質點形式表達的高斯最小拘束原理

討論由 M 個質點Pi（i=1， 2， …， M）組成的系統，其拘束定義為， 將其展開為

則高斯最小拘束原理［8-9］表達為: 在理想約束條件下， 系統在某瞬時， 在位置、速度和約束條件均相同但加速度不同的所有可能運動中， 真實運動使得拘束取極小值。

1.2廣義坐標形式的高斯最小拘束原理研究受約束的系統， 其廣義坐標可以表達為

q1， q2， …， qn， 此組廣義坐標可以是不獨立的。將變分形式的高斯原理表達成 Euler-Lagrange 式的Gauss原理［10］為

其中系統動能T為

則可將式（2）寫為廣義加速度的顯式:

定義下列矩陣:

令

其中，

將式（3）寫為矩陣形式:

假設在時刻t， q 和˙q固定， 只有˙˙q變化， 故矩陣A， g及Q均可看成不變量， 則由式（4）可以得到

因此， 高斯最小拘束可以取為

即在時刻 t， q 和˙q固定的情況下， 在所有滿足約束的可能運動中， 實際運動所對應的高斯最小拘束最小。

在上述定理的推導中， 廣義加速度并未要求是獨立的， 適用性很廣， 對完整系統、非完整系統以及單、雙邊約束都成立。

2　采用笛卡爾廣義坐標形式的多剛體系統高斯最小拘束原理

設多剛體系統由 N 個剛體 Bi組成， 地球為零剛體 B0。取定一個慣性參考基 e（0）和每個剛體的連體基 e（i）， e（i）的原點與質心 Ci重合。為了確定系統內每個剛體相對于慣性基的位形， 可以用質心Ci的位置矢徑的3個分量（xc， yc， zc）i確定位置， 用連體基的3個歐拉角（Ψ， θ， φ）i確定方位。

將3個平動坐標和3個轉動坐標寫成6×1矢量列陣:

根據歐拉運動學方程:

其中，

系統動能可寫為

N個剛體組成的多剛體位形由6N個廣義坐標確定， 可以寫成61N×的位置矢量列陣:

其中相對于剛體 i 的廣義笛卡爾坐標的廣義力列陣［11］為

列陣內各元素分別為外力主矢在定坐標系中的投影及外力對3根轉動軸的主矩。

采用TU-1901雙光束紫外可見分光光度計光譜法測定黑米液態發酵酒中總黃酮的含量，以蘆丁為對照品，黃酮類化合物中的酚羥基與三氯化鋁在中性介質中生成具有特征吸收峰的有色絡合物，在一定的濃度范圍內，該絡合物的吸光度值與總黃酮的濃度成正比[4]。總多糖含量的測定采用苯酚-硫酸法[5]，檢測波長490 nm，以葡萄糖來計算，并測定其相對含量。

針對廣義笛卡爾坐標形式的高斯最小拘束為

故可取高斯最小拘束函數為

因此， 高斯最小拘束原理可表達為: 在時刻t， q 和˙q固定的情況下， 在所有滿足約束（對約束類型沒有限制， 可以為完整或非完整及單雙邊約束）的可能運動中， 實際運動高斯拘束取得最小值。

以廣義笛卡爾坐標表達的優點在于其慣性矩陣規范簡單， 但在實際應用中， 也常常需要建立其他坐標系統的動力學模型。例如， 對于自動機械、機器人等帶控制的系統， 反饋控制變量是系統內剛體間連接鉸鏈的相對運動變量， 但在用廣義笛卡爾坐標建立的動力學模型中不出現該變量， 因此這類模型難以應用于帶控制的系統。下面， 討論如何根據現有廣義笛卡爾坐標下的高斯拘束得到其他廣義坐標系統下高斯拘束的方法。

3 其他廣義坐標系統下的高斯最小拘束

N個剛體組成的多剛體系統受到連接鉸鏈產生的約束， 這 6N 個廣義笛卡爾坐標一般不是獨立的，可以選另一套廣義坐標作為廣義坐標列陣（如選擇系統內剛體之間連接鉸鏈的相對運動變量， 即鉸鏈坐標）。如果多剛體系統是開鏈系統， 則鉸鏈坐標是獨立的， 若是閉鏈系統， 則坐標不獨立， 坐標數目等于它的開鏈縮減系統的自由度數目， 約束條件由回路閉合條件決定。

若在廣義笛卡爾坐標和該廣義坐標之間存在下列關系:

則下式成立:

根據式（4）， 可得到下列變分表達式:

將式（8）和（9）代入上式得

其中，

式（10）可化為

因此， 只要給出廣義笛卡爾坐標與其他坐標之間的雅可比關系式， 便可利用式（11）， 方便地得到用其他廣義坐標表達的高斯最小拘束。

4　例子

4.1計算平面運動剛體的高斯拘束

其高斯最小拘束為

上式與剛體平面微分方程［12］一致。

4.2計算定軸轉動剛體的高斯拘束

平面運動剛體在運動過程中存在定點 A， 則系統取廣義坐標qφ′=， 該廣義坐標與廣義笛卡爾坐標之間的關系為

計算高斯拘束（11）中的各項:

則在此廣義坐標下的高斯拘束為

5　結語

高斯最小拘束原理是研究多體系統動力學問題優化方法的重要原理之一。本文采用動能及廣義加速度顯式的變分形式的高斯原理， 明確了廣義坐標形式的高斯最小拘束原理高斯拘束中各項的含義，并推導了廣義笛卡爾坐標表達的一般多剛體系統動力學問題的優化模型， 建立了各種廣義坐標與廣義笛卡爾坐標表達的高斯拘束之間的關系。當根據需要選取不同的廣義坐標時， 可以通過優化方法解決多剛體系統動力學問題建模， 過程簡單且規范。在剛體平面運動及剛體做定軸轉動的例子中， 計算了兩種坐標系下的高斯拘束， 并通過高斯最小拘束原理的必要條件驗證了本文的優化模型， 它與典型的動力學微分方程一致， 間接證明了該方法的有效性。

［1］ 袁士杰， 呂哲勤. 多剛體系統動力學. 北京: 北京理工大學出版社， 1991

［2］ 劉延柱. 基于高斯原理的多體系統動力學建模. 力學學報， 2014， 46（6）: 940-945

［3］ 董龍雷， 閆桂榮， 杜彥亭， 等. 高斯最小拘束原理在一類剛柔耦合系統分析中的應用. 兵工學報，2001， 22（3）: 347-351

［4］ 史躍東， 王德石. 艦炮振動的高斯最小拘束分析方法. 海軍工程大學學報， 2009， 21（5）: 1-5

［5］ 郝名望， 葉正寅. 單柔體與多柔體動力學的高斯最小拘束原理. 廣西大學學報， 2011， 36（2）: 195-204

［6］ 姚文莉， 戴葆青. 廣義坐標形式的高斯最小拘束原理及其推廣. 力學與實踐， 2014， 36（6）: 779-785

［7］ Kalaba R E， Udwadia F E. Equations of motion for nonholonomic， constrained dynamical systems via Gauss's Principle. J Appl Mech， 1993， 60（3）: 662-668

［8］ 陳濱. 分析動力學. 2版. 北京: 北京大學出版社，2012

［9］ 劉延柱. 高等動力學. 北京: 高等教育出版社， 2000［10］ 梅鳳翔， 劉端， 羅勇. 高等分析力學. 北京: 北京理工大學出版社， 1991

［11］ 黃昭度， 鐘奉俄. 工程系統分析力學. 北京: 高等教育出版社， 1992

［12］ 哈爾濱工業大學理論力學教研室. 理論力學. 7版.北京: 高等教育出版社， 2009

Dynamical Modeling of Multi-Rigid-Body System Based on Gauss Principle of Least Constraint in Generalized Coordinates

YAO Wenli
School of Sciences， Qingdao Technological University， Qingdao 266520； E-mail: ywenli1969@sina.com

By variational Gauss principle in the form of kinetic energy and explicit express， the meaning of items in Gauss constraints is confirmed. The optimization model of dynamics of multi-rigid-body system in the form of Descartes generalized coordinates is established based on Gauss principle of least constraint in generalized coordinates. The method to write the Gauss constraints in other coordinate system according to the above model is studied. The dynamical problem of multi-rigid-body system can be turned into a problem for a minimum， and provided by the relation between the Descartes generalized coordinates and other coordinates system， the Gauss constraint in this kind of coordinates system is easy to be obtained. The modeling method is more convenient and is of universality. The dynamical models are established for planar motion and fixed axis rotation by Descartes generalized coordinate and Lagrange coordinate， and the validity of this method is proved.

Gauss principle of least constraint； Descartes generalized coordinates； Lagrange coordinate system；multi-rigid-body system； dynamics

O313

10.13209/j.0479-8023.2016.087

國家自然科學基金（11272167， 11472145）資助

2015-11-23；

2016-02-13； 網絡出版日期: 2016-07-12