幾何精確梁的Hamel場(chǎng)變分積分子

王　亮　安志朋　史東華

北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 北京 100081； ? 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn

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幾何精確梁的Hamel場(chǎng)變分積分子

王亮安志朋史東華?

北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 北京 100081； ? 通信作者， E-mail: dshi@bit.edu.cn

利用場(chǎng)論下的 Hamel 形式， 對(duì)幾何精確梁提出一種保結(jié)構(gòu)的變分積分子， 并通過(guò)數(shù)值仿真說(shuō)明該算法保持能量、動(dòng)量和幾何結(jié)構(gòu)的特性。

幾何精確梁； Hamel場(chǎng)變分積分子； 保結(jié)構(gòu)

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

幾何精確梁的動(dòng)力學(xué)廣泛存在于大范圍運(yùn)動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)中， 例如， 可應(yīng)用于柔性機(jī)器人［1］， 使之可以做大量復(fù)雜的變形， 從而完成更多具有挑戰(zhàn)性的工作； 也可用于聚合物長(zhǎng)鏈的動(dòng)力學(xué)模擬， 在研究 DNA 的動(dòng)力學(xué)［2］中發(fā)揮重要作用。對(duì)于幾何精確梁的模型， Reissner［3］首先提出大范圍運(yùn)動(dòng)的應(yīng)變梁模型， Antman 等［4-5］在此基礎(chǔ)上進(jìn)行完善， 得到經(jīng)典的Kirchhoff-Love模型。Simo等［6］在上述模型的基礎(chǔ)上考慮剪切變形， 使之廣泛適用于梁的大位移和大轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)情形。

在幾何精確梁的數(shù)值模擬算法研究方面， 傳統(tǒng)方法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行離散， 這類方法大都不能保持系統(tǒng)的力學(xué)和幾何結(jié)構(gòu)， 存在數(shù)值耗散問(wèn)題，不適用于長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)模擬［7］。Marsden 等［8］基于經(jīng)典力學(xué)中Hamilton原理的離散形式， 提出的變分積分子在一定程度上可以克服上述缺陷。Lew 等［9］指出， 變分積分子能夠較好地保持系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)，避免傳統(tǒng)離散方法的數(shù)值耗散問(wèn)題。對(duì)于幾何精確梁， Demoures 等［10］提出李群和李代數(shù)變分積分子，得到保持能量和動(dòng)量的幾何算法， 但該算法對(duì)空間和時(shí)間分別離散， 沒有充分利用勢(shì)能的歐式群不變性進(jìn)行約化， 實(shí)現(xiàn)過(guò)程較復(fù)雜。Ball 等［11］對(duì)有限維系統(tǒng)提出Hamel變分積分子， 其框架可統(tǒng)一描述李群及李代數(shù)變分積分子， 尤其適用于帶對(duì)稱性的非完整約束力學(xué)系統(tǒng)。Shi 等［12］將其在場(chǎng)論框架下推廣， 得到Hamel場(chǎng)變分積分子。本文將其應(yīng)用于幾何精確梁， 得到一種新的保結(jié)構(gòu)算法。

本文在回顧幾何精確梁模型后， 重新推導(dǎo)幾何精確梁的 Hamel 場(chǎng)方程， 進(jìn)而用 Hamel 場(chǎng)變分積分子得到幾何精確梁的離散運(yùn)動(dòng)方程。最后給出實(shí)例， 說(shuō)明該算法能長(zhǎng)時(shí)間保持能量、動(dòng)量和幾何結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。

1　幾何精確梁的動(dòng)力學(xué)

1.1幾何精確梁的Lagrange函數(shù)

首先回顧幾何精確梁的動(dòng)力學(xué)模型［13］。

取定物質(zhì)標(biāo)架的一組固定基｛E1， E2， E3｝， 初始時(shí)梁位于（E2， E3）平面上。設(shè)梁長(zhǎng)為l， 密度為ρ， 截面A為面積為A的正方形。

因幾何精確梁的截面做剛體運(yùn)動(dòng)， 其位形由中線的位置函數(shù)和截面的旋轉(zhuǎn)矩陣

給出。

考慮主叢（E， B， πBE）， 其中

πBE為叢投影。梁的位形空間為上述叢光滑截面的全體C∞（πBE）。下文為方便起見， 記

并不加聲明地利用映射

建立同構(gòu)

引入對(duì)流速度

以及對(duì)流應(yīng)變變量

幾何精確梁適用于大范圍運(yùn)動(dòng)的一個(gè)主要原因在于其Lagrange函數(shù)具有歐式群作用不變性， 故可表示為

J為慣性矩陣

1.2幾何精確梁的Hamel場(chǎng)方程

據(jù)上述Lagrange函數(shù)， 可以定義作用泛函為

此外， 通過(guò)計(jì)算易得下列變分公式:

由上述變分公式和Hamilton原理， 容易計(jì)算得到梁的Hamel場(chǎng)方程為

邊界條件為

從式（1）和（2）求解g需要如下相容性條件:這可以從式（1）和（2）出發(fā)， 直接計(jì)算驗(yàn)證。相容性條件是由tξ和sξ生成的分布決定位形的可積性條件， 在幾何上可解釋為局部平坦性條件， 對(duì)于一般性的相容性條件參見文獻(xiàn)［14］。

求解tξ和sξ需聯(lián)立方程組（3）和（4）及上述相容性條件。

2　幾何精確梁的 Hamel 場(chǎng)變分積分子

設(shè)梁的空間節(jié)點(diǎn)數(shù)為 K， 空間步長(zhǎng)為hΔ， 時(shí)間步長(zhǎng)為tΔ， 時(shí)間步數(shù)為N。

為方便起見， 以下對(duì)于序列｛qi，j｝， 令

相應(yīng)的作用和為

利用離散變分原理易得如下結(jié)論: 序列滿足離散變分原理①對(duì)適用于一般Lagrange 場(chǎng)論的離散Hаmеl 場(chǎng)方程，參見文獻(xiàn)［12］。

及以下離散的相容性條件

邊界條件為

用（3）se的Lie括號(hào)及其對(duì)偶定義， 可直接驗(yàn)證式（5）及（6）中的帶括號(hào)項(xiàng)為

① 對(duì)適用于一般Lagrange場(chǎng)論的離散Hamel場(chǎng)方程， 參見文獻(xiàn)［12］。

該離散格式的實(shí)現(xiàn)步驟如下: 1） 給定i， 輸入序列

和

并代入離散格式（5）中， 通過(guò)修正的牛頓迭代法求解非線性方程組， 更新序列

2） 將所得的序列

和

代入離散格式（6）中， 求解線性方程組， 更新序列

3） 重復(fù)步驟 1 和 2， 可得到所有節(jié)點(diǎn)處的值。

4） 根據(jù)序列

并利用指數(shù)映射

及公式

迭代可得到

由幾何精確梁的離散格式及離散的Noether定理［8］可以驗(yàn)證， 上述算法保持如下定義的離散動(dòng)量:

其中，

3　數(shù)值仿真

考慮初始位置如圖1所示的不受外力的幾何精確梁。其參數(shù)［15］如下: 梁l=2π/3， 橫截面是邊長(zhǎng)為a = 0.1的正方形， 密度ρ=1000， 楊氏模量E=107，泊松比ν=0.35。

取時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=10-4s， 空間節(jié)點(diǎn)數(shù)K= 101。根據(jù)上述的初始位形， 計(jì)算得到初始的對(duì)流應(yīng)變變量為

且給定梁的初速度為

為了提高計(jì)算速度， 本文使用指數(shù)映射的近似映射—— Cayley變換［16］， 即用下式取代式（7）

這里 I4表示4階單位矩陣。

從圖 2 可見， Hamel 場(chǎng)變分積分子雖不能精確地保持能量， 但可使能量長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定在一個(gè)很小區(qū)間內(nèi)。本例能量取值為 99， 振幅區(qū)間長(zhǎng)度僅為 0.7，說(shuō)明該數(shù)值格式有好的長(zhǎng)時(shí)間能量表現(xiàn)。

幾何精確梁的角動(dòng)量和線動(dòng)量如圖3所示， 說(shuō)明該算法保持角動(dòng)量和線動(dòng)量。

圖 4 是旋轉(zhuǎn)矩陣正交性驗(yàn)證結(jié)果， 誤差數(shù)量級(jí)達(dá)到10-14， 說(shuō)明該算法精確地保持李群結(jié)構(gòu)。

對(duì)于中線的節(jié)點(diǎn)， 每隔 10 個(gè)節(jié)點(diǎn)取一個(gè)截面，給出梁分別在不同時(shí)間點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（圖5）。

4　結(jié)論

本文通過(guò)Hamel場(chǎng)變分積分子， 得到幾何精確梁的離散運(yùn)動(dòng)方程， 該算法具有保持能量、動(dòng)量和幾何結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。與以往幾何精確梁的李群變分積分子［10］不同， 在協(xié)變場(chǎng)論的觀點(diǎn)下， 將時(shí)空等同離散和變分， 可有效地利用勢(shì)能的對(duì)稱性進(jìn)行約化。本文最后以 R3中的幾何精確梁為例進(jìn)行仿真， 結(jié)果表明該算法能夠長(zhǎng)時(shí)間保持能量、動(dòng)量以及李群結(jié)構(gòu)。下一步我們將進(jìn)行算法分析， 與已有算法對(duì)比， 并將 Hamel 場(chǎng)變分積分子應(yīng)用于Chaplygin-Timoshenko 雪橇等無(wú)窮維非完整力學(xué)系統(tǒng)。

致謝感謝Dmitry Zenkov在論文寫作過(guò)程中的幫助。

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Hamel's Field Variational Integrator of Geometrically Exact Beam

WANG Liang， AN Zhipeng， SHI Donghua?
School of Mathematic and Statistics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081；? Corresponding author， E-mail: dshi@bit.edu.cn

This paper develops a structure-preserving variational integrator for geometrically exact beam in Hamel's field formalism. A simulation illustrates that the derived algorithm preserves energy， momentum and geometry structure.

geometrically exact beam； Hamel's field variational integrator； structure-preserving

O302； O33； O242

10.13209/j.0479-8023.2016.079

國(guó)家留學(xué)基金資助

2015-10-19；

2016-03-14； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-12