一類非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔

曹秋鵬　陳向煒

1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘇州 215009; 2. 商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院, 商丘 476000;? 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com

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一類非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔

曹秋鵬1陳向煒2，?

1. 蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘇州 215009; 2. 商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院, 商丘 476000;? 通信作者, E-mail: hnchenxw@163.com

研究一類非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的分岔。將該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為梯度系統(tǒng), 利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究這一類系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。研究表明, 當(dāng)系統(tǒng)含有某個(gè)參數(shù)時(shí), 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的數(shù)目和穩(wěn)定性將會(huì)隨參數(shù)的變化而發(fā)生改變, 從而產(chǎn)生分岔現(xiàn)象。

廣義Birkhoff系統(tǒng); 梯度系統(tǒng); 分岔

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

1927 年, Birkhoff[1]在《Dynamical systems》(動(dòng)力系統(tǒng))一書中給出一類新型的積分變分原理和運(yùn)動(dòng)微分方程, Santilli[2]稱之為Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff方程。Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是Hamilton力學(xué)的自然推廣。近年來, 對(duì)Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究非常活躍, 取得一些重要進(jìn)展, 主要集中在Birkhoff系統(tǒng)的積分理論[3]、逆問題[4]、穩(wěn)定性[5]和對(duì)稱性[6]等方面。1993 年, 梅鳳翔[7]研究了 Birkhoff 方程增加一個(gè)附加項(xiàng)的情形, 稱為廣義 Birkhoff方程。廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)也取得豐富的研究成果, 同樣集中在廣義Birkhoff系統(tǒng)的逆問題[8]、積分理論[9]、對(duì)稱性[10]、穩(wěn)定性[11]等方面,但很少涉及系統(tǒng)分岔的問題。開展廣義Birkhoff系統(tǒng)的分岔研究, 可將非線性動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論推廣應(yīng)用到廣義Birkhoff系統(tǒng), 探討該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,進(jìn)一步完善 Birkhoff 系統(tǒng)的理論體系。因此, 對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng)分岔問題的研究有重要意義。

非線性動(dòng)力學(xué)的分岔是動(dòng)力系統(tǒng)的重要性質(zhì),是流體力學(xué)、電力學(xué)、非線性振動(dòng)理論、控制理論、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域研究的重點(diǎn)內(nèi)容[12-14]。2000年,陳向煒等[15-16]首次研究Birkhoff系統(tǒng)的分岔問題,分析了二階自治Birkhoff系統(tǒng)的極限點(diǎn)分岔、跨臨界分岔以及叉形分岔。梅鳳翔[17]研究了二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡點(diǎn)分岔的相關(guān)問題, 也討論了系統(tǒng)的極限點(diǎn)分岔、跨臨界分岔以及叉形分岔。但是, 這些研究?jī)H針對(duì)自治 Birkhoff 系統(tǒng), 未涉及非自治情形。

梯度系統(tǒng)是一類重要的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[18], 在研究運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題時(shí)具有很好的應(yīng)用價(jià)值。一旦動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)能夠轉(zhuǎn)化成梯度系統(tǒng), 便可以借助梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[19-23]研究了各類力學(xué)系統(tǒng)的梯度表示, 利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)分析了這些系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性。Mei等[24]利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì), 研究了自治廣義 Birkhoff 系統(tǒng)的分岔。

在上述研究的基礎(chǔ)上, 本文利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì), 進(jìn)一步研究含參數(shù)非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔。研究表明, 當(dāng)系統(tǒng)所含的某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí), 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的數(shù)目和穩(wěn)定性將會(huì)隨參數(shù)的變化而發(fā)生改變, 從而產(chǎn)生分岔現(xiàn)象。

1　廣義Birkhoff系統(tǒng)

廣義Birkhoff 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[17]為

可以寫成如下形式:

其中,

為 Birkhoff 協(xié)變張量,μνΩ為 Birkhoff 逆變張量,它們之間有關(guān)系:

2　梯度系統(tǒng)

梯度系統(tǒng)的微分方程有以下形式[17]:

其中, V=V(x)稱為勢(shì)函數(shù)。

梯度系統(tǒng)有以下兩個(gè)重要性質(zhì)。

性質(zhì) 1對(duì)于系統(tǒng)(4)所有的x, 都有0V≤˙, 當(dāng)且僅當(dāng)x為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)時(shí), 0V=˙。

性質(zhì) 2對(duì)于系統(tǒng)(4)的線性化系統(tǒng), 在任意平衡點(diǎn)處其特征方程只有實(shí)根。

由Lyapunov 一次近似理論可得如下命題。

命題 1如果梯度系統(tǒng)(4)的一次近似特征方程的根皆為負(fù)數(shù), 則平衡位置是漸近穩(wěn)定的; 如果有正根, 則平衡位置是不穩(wěn)定的; 如果存在單根 0 且無正根, 則平衡位置是穩(wěn)定的, 但不是漸近穩(wěn)定的;如果存在重根0, 則平衡位置是不穩(wěn)定的。

3　系統(tǒng)的梯度表示

一般情況下, 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(1)并不是梯度系統(tǒng)。如果系統(tǒng)(1)滿足

同時(shí)有

此時(shí), 方程(1)可以找到勢(shì)函數(shù)V=V(a), 使得

這樣, 非自治廣義 Birkhoff 系統(tǒng)(1)便成為一個(gè)梯度系統(tǒng)。于是, 我們利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究該系統(tǒng)的分岔。

4　系統(tǒng)平衡點(diǎn)的靜態(tài)分岔

假設(shè)非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(1)的Birkhoff函數(shù) B, Birkhoff函數(shù)組Rv或附加項(xiàng)νΛ含有某一個(gè)常參數(shù)μ, 則可以將非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(1)寫成如下形式:

其中,

且等式右端滿足式(6)。

對(duì)于研究?jī)?nèi)容 1, 若非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(8)能夠成為一個(gè)梯度系統(tǒng), 那么平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由命題1判定, 隨著參數(shù)μ的變化, 梯度系統(tǒng)的一次近似特征方程的根的正負(fù)性可能發(fā)生變化。

對(duì)于研究?jī)?nèi)容 2, 當(dāng) F(a, μ)=0 的解是一些曲線時(shí), 分岔點(diǎn)是某兩條解曲線的交點(diǎn)。下面給出系統(tǒng)(8)發(fā)生研究?jī)?nèi)容 2 情況的一個(gè)必要條件。

定理1對(duì)于系統(tǒng)(8), 設(shè)點(diǎn)(a0, μ0)處有 F(a0, μ0)=0, 在(a0, μ0)的鄰域內(nèi) F(a, μ)對(duì) a 可微, 且F(a, μ)和DF(a, μ)對(duì)a, μ 連續(xù)。假如(a0, μ0)是F(a, μ)=0的一個(gè)分岔點(diǎn), 則|DF(a0, μ0)|=0。其中DF(a, μ)表示F(a, μ)關(guān)于a的Jacobian矩陣。

證明: 假設(shè)|DF(a0, μ0)|≠0, 那么由隱函數(shù)定理,可以得到當(dāng)|μ-μ0|<<1時(shí), F(a, μ)=0唯一地確定了一條解曲線 a =a(μ), 使得a0=a(μ0)。此時(shí), (a, μ0) 不能成為分岔點(diǎn)與(a0, μ0) 是分岔點(diǎn)矛盾。定理 1 得證。

下面利用兩個(gè)算例, 分別從系統(tǒng)(8)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的變化和平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化, 說明系統(tǒng)(8)的靜態(tài)分岔。

5　算例

例1非自治廣義Birkhoff系統(tǒng):

其中μ是參數(shù)。

下面, 試寫出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程, 并分析μ對(duì)系統(tǒng)平衡位置穩(wěn)定性的影響。

由方程(8), 得到系統(tǒng)的微分方程:

顯然這是一個(gè)梯度系統(tǒng)。此時(shí)系統(tǒng)的一次近似特征方程為

當(dāng)1μ＞時(shí), 方程(11)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根, 此時(shí)平衡位置是漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)1μ=時(shí), 方程(11)有一個(gè)根是 0,一個(gè)根是-2, 此時(shí)平衡位置是穩(wěn)定的; 當(dāng)1μ＜時(shí),方程(11)兩個(gè)根一正一負(fù), 此時(shí)平衡位置是不穩(wěn)定的。因此, 當(dāng)1μ=時(shí), 系統(tǒng)發(fā)生分岔, 1μ=是系統(tǒng)的分岔值。

例2非自治廣義Birkhoff系統(tǒng):

其中μ是參數(shù)。

下面, 試寫出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程, 并分析μ 對(duì)系統(tǒng)平衡位置穩(wěn)定性的影響。

由方程(8)得到系統(tǒng)的微分方程:

顯然, 方程(12)滿足式(5)和(6), 是一個(gè)梯度系統(tǒng)。系統(tǒng)(12)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)與參數(shù)μ的取值有關(guān)。

對(duì)于任意的μ, (0, μ)總是方程(12)的解, 且

由定理 1 可知, 點(diǎn)(,0)0可能成為系統(tǒng)(12)的分岔點(diǎn)。下面具體分析分岔情況。

當(dāng)0μ=時(shí), 方程(12)有一個(gè)平衡點(diǎn)(0, 0), 方程(12)在(0, 0)點(diǎn)處的一次近似特征方程為

此方程有根0λ=和1λ=-, 由命題1可知此時(shí)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的, 但不是漸近穩(wěn)定的。

1) 平衡點(diǎn)（）0,0處的一次近似特征方程為

此方程有根λ=-μ2和λ=-1, 由命題1可知此平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

2) 我們對(duì)平衡點(diǎn)(μ, 0)做如下處理: 令

則方程(12)變成

同樣, 此平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

那么方程(12)變成

處的一次近似特征方程為

由命題1可知此平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

我們發(fā)現(xiàn), 含有參數(shù)μ的系統(tǒng)(12), 當(dāng)0μ=時(shí),平衡點(diǎn)只有1個(gè), 當(dāng)0μ≠時(shí), 平衡點(diǎn)有3個(gè), 平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了改變, 并且對(duì)于同一平衡點(diǎn)(0, 0),兩種情況下其穩(wěn)定性并不相同。因此, (0, 0)成為系統(tǒng)(12)的分岔點(diǎn), 0μ=是該系統(tǒng)的分岔值。

6　結(jié)論

本文把利用梯度系統(tǒng)研究穩(wěn)定性的方法推廣應(yīng)用到一類非自治廣義 Birkhoff 系統(tǒng), 該系統(tǒng)在滿足條件(5)和(6)情況下就可轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯度系統(tǒng), 于是可以利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究這類非自治廣義Birkhoff 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔。本文的例子說明,隨著參數(shù)的變化, 系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性以及平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)會(huì)隨之變化, 系統(tǒng)發(fā)生分岔。當(dāng)然, 這里的分岔指系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的靜態(tài)分岔。

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Stability and Bifurcation for a Type of Non-autonomous Generalized Birkhoffian Systems

CAO Qiupeng1， CHEN Xiangwei2，?

1. School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009; 2. Department of Physics and Information Engineering, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000; ? Corresponding author, E-mail: hnchenxw@163.com

Bifurcation for a type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems is studied. Gradient representations for this type of non-autonomous generalized Birkhoffian systems are given. The stability of equilibrium point of these systems is discussed by the characteristic of the gradient system. Further the systems which contain some parameter are studied. The stability and the number of equilibrium point will change along with the change of the parameter to produce the bifurcation phenomenon.

generalized Birkhoffian system; gradient system; bifurcation

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.067

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372169)和蘇州科技大學(xué)研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃(SKCX14_056)資助

2015-10-08;

2016-02-05; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14