受基爾霍夫電流約束的電力變換器動力學模型

謝　煜　付　昊　陳本永　傅景禮，?

1. 浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2. 商丘師范學院物理與電氣信息學院， 商丘 476000；3. 中國京冶工程技術有限公司深圳分公司， 深圳 518054； ? 通信作者， E-mail: sqfujingli@163.com

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受基爾霍夫電流約束的電力變換器動力學模型

謝煜1，2付昊3陳本永1傅景禮1，?

1. 浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2. 商丘師范學院物理與電氣信息學院， 商丘 476000；3. 中國京冶工程技術有限公司深圳分公司， 深圳 518054； ? 通信作者， E-mail: sqfujingli@163.com

基于約束拉格朗日方程， 提出一種通用的適合具有開關的電力變換器的動力學模型。從研究電力變換器的能量出發， 選擇動態元件的廣義電荷和廣義電流坐標， 引入開關函數， 運用電力變換器受基爾霍夫電流約束的歐拉-拉格朗日方程， 可以得到一組帶有約束的微分代數方程。選取電感電流和電容電壓作為狀態變量， 可以得到含有開關函數的狀態方程模型， 并將此建模方法應用于單開關的 ?uk 型變換器和多個開關的三相三線 PWM 整流器的建模分析中。從建模過程可以看出， 此方法步驟清晰統一， 物理意義明確， 通用性強。最后， 利用得到的狀態方程模型， 在 MATLAB 中對 ?uk 型變換器工作過程進行仿真計算， 仿真結果與電力變換器的運行情況吻合， 說明了建模方法的有效性， 對于更復雜的電力變換器的建模分析也具有較高的應用價值。

電力變換器； 歐拉-拉格朗日方程； 建模； 仿真

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

電力變換器是一種不可或缺的技術， 影響著現代社會的各個方面， 不僅在傳統工業領域中， 而且在新能源領域中都有重要的應用。在過去的30多年里， 電力變換器的建模、設計和控制技術受到極大的關注［1］。雖然電力變換器在現代電力系統的很多應用中扮演了重要的角色， 但是對于電力變換器的分析和設計研究并不是很充分， 這是由于對變換器的主要元件——電力電子器件在運行時內在開關行為的分析是非常困難的［2-3］， 因此， 在很多應用中， 控制器的設計往往都是基于線性化的模型。目前， 大多數文獻針對電力變換器的建模方法都是基于基本電路定理——基爾霍夫定律進行的［4-6］。在最近的研究中， 有國外學者為了進行控制器設計，開始從系統儲存能量的角度對電力變換器進行建模， 這種模型需要考慮電力變換器的非線性特點，文獻［7-8］將平均PWM模型用于典型的Buck，Boost， Buck-Boost和更為復雜的?uk變換器的建模中。平均 PWM 模型由經典的歐拉-拉格朗日方程得到， 它為控制器的設計提供了一個非常有用的工具。目前， 國內研究電力電子變換電路較少采用歐拉-拉格朗日方程進行建模分析， 只有在對電力系統非線性控制、無源控制的研究中有部分學者利用了歐拉-拉格朗日模型［9-11］， 但總體來說， 在電力系統的建模中， 運用歐拉-拉格朗日方程作為建模和研究工具還并不是很普遍。

歐拉-拉格朗日方程是分析力學的重要研究內容， 最初在力學系統或機械系統的建模和分析中得到廣泛應用， 并建立了較為成熟的理論框架［12-13］。實際上， 對于電力變換器， 可以看成是一個由電力電子器件、電感器、電容器、電阻、約束元件和電源等元件組成的系統， 選取合適的廣義電荷和廣義電流坐標， 就可以描述系統的動態行為。這樣， 運用機電比擬的方法， 可以將歐拉-拉格朗日方程推廣到電力變換器的建模中。其優點是， 從能量觀點上統一建立起來的系統能量與功之間的標量關系，簡化了動力學中關于約束的問題， 能精簡地描述系統的方程以及未知量的個數， 并且具有統一的方程形式， 分析的步驟規范、統一。在得到電力變換器的歐拉-拉格朗日方程后， 就可以運用分析力學中的各種積分方法［13］， 比如運用對稱性方法來研究系統的對稱性， 并利用得到的守恒量構造系統的精確解， 從而更好地優化電力變換器的設計和控制。在電力變換器的分析中， 通常需要選取電容電壓和電感電流為狀態變量。為了得到狀態方程模型， 需要利用電路的節點電流約束。這時， 采用約束形式的歐拉-拉格朗日方程將會更為方便。

在本文的研究中， 考慮到電力變換器的拓撲結構， 將受基爾霍夫電流約束的歐拉-拉格朗日方程應用到電力變換器的動力學建模中， 其中的歐拉-拉格朗日方程實際上代表基爾霍夫電壓定律（KVL），約束方程則代表基爾霍夫電流定律（KCL）。同時，給出一種由歐拉-拉格朗日方程得到電力變換器狀態方程模型的方法。這種方法以系統中所有的儲能元件為研究對象， 通過約束歐拉-拉格朗日方程消除多余的中間變量而得到系統的狀態方程， 不僅對于電力變換器， 而且對于一般電氣網絡的建模都是適用的。文中給出兩個電力變換器的應用實例， 并利用本文方法得到的狀態方程模型， 仿真分析?uk型電力變換器的工作過程， 從而驗證了該方法的有效性。

1　受基爾霍夫電流約束的歐拉-拉格朗日方程

假定一個電力變換器N如圖1所示， 其中的元件可能為電力電子開關器件、電感器、電容器、電阻器、電壓源、電流源、受控源、理想二極管、晶體管、回轉器和變壓器等。元件可能為線性元件或非線性元件， 其中電感器（電容器）可能會彼此間發生耦合。為了對元件進行合理的劃分， 圖 1 中將所有的電感器和電容器從外部連接到電阻性子網 M上， 由于電感器（電容器）之間可能發生相互的耦合，多端口的電感器和電容器也包括到電阻性子網中。

電阻和電源由靜態電流和電壓決定， 所以本質上可以看成同一類元件。同樣地， 其他的一端口或多端口元件（如理想二極管、電力電子開關、晶體管、回轉器和變壓器等）， 由于它們本構方程都是關于電流和電壓代數方程， 所以都可以看成是電阻， 因此都包括在子網M中。

根據機電比擬的方法， 可以將經典力學系統的歐拉-拉格朗日方程推廣到電氣領域， 表示為下面的非線性微分方程組［14］:

表示與每個廣義電量坐標對應的外加電壓源， 類似于力學系統中的廣義力函數。在力學系統中， 歐拉-拉格朗日方程表示廣義力的平衡。同樣地， 這里方程（1）反映了電壓平衡， 相應于基爾霍夫電壓定律（KVL）， 而支路連接關系已經代入方程中。

方程（1）要求選取的廣義電荷和廣義電流是獨立的。對于一些復雜的系統， 系統中存在約束條件，這時選取的廣義電荷不一定是獨立的。并且， 對于一些非線性系統， 要得到依賴變量和獨立變量之間的關系是非常麻煩的工作。因此， 在電學問題中，為了在方程中包括基爾霍夫電流定律等約束條件，可以考慮具有約束形式的歐拉-拉格朗日方程:

這里， λ是拉格朗日乘子。方程（3）表示一般形式的約束歐拉-拉格朗日方程， 對于由基爾霍夫電流定律給出的約束方程， A（q）不再是電量的函數， 而是n×c維常數矩陣， 其中c為約束方程的個數。利用約束方程可以消去多余的廣義坐標。

對于所有拓撲結構完備的電子電路， 不論是否含有理想開關， 是否存在耦合和非線性， 約束形式的歐拉-拉格朗日方程完全適用。對于具有電力電子開關的電力變換器， 可以通過約束方程， 利用基爾霍夫電流定律（KCL）進行處理。假如電力變換器中包括多個電力電子開關， 用

2　由約束歐拉-拉格朗日方程得到系統狀態方程模型的建立過程

對于一個電力變換器， 利用系統的狀態方程模型， 可以對系統進行分析求解或者控制的設計。通過分析系統的能量， 可以采用如下步驟建立歐拉-拉格朗日方程， 方便地得到系統狀態方程模型。

1） 選擇廣義電荷和廣義電流: 對于電氣網絡中的每個動態元件， 選擇相應的電量和電流坐標， 即

2） 拉格朗日函數: 確定所有相應理想元件的能量， 即電感性元件的磁共能和電容性元件的電場能給出電氣網絡的拉格朗日函數。

3） 耗散函數: 對于電阻性元件， 確定其相應的瑞利耗散函數（，）Fu˙q， 函數中有可能包括開關的位置u。

5） 約束方程: 根據電氣網絡的網絡拓撲結構，利用節點的基爾霍夫電流定律， 確定約束方程。如果沒有約束方程， 則， 這與無約束的拉格朗日模型一致。

6） 運動微分方程: 將上面步驟中的有關項代入約束歐拉-拉格朗日方程（3）， 選擇電感電流和電容電壓作為系統的狀態變量， 進而得到系統的狀態空間模型。

需要指出的是， 在上面的步驟中， 由于選取所有的動態元件作為研究對象， 對于常態電路， 電感電流和電容電壓都是獨立的， 都可以作為電路的狀態變量， 這時， 狀態變量數即等于電路中的電容元件和電感元件的總數。但是， 對于非常態電路， 具有純電容回路或者純電感割集（或者二者兼而有之）的電路， 電路的狀態變量數小于電路中的電容元件和電感元件的總數， 利用約束方程可以得到系統的最低階狀態描述［15］。

3　應用舉例

3.1?uk型變換器

?uk 型變換器也稱為直流升壓-降壓變換器，既能實現 DC/DC 升壓變換， 又可實現降壓變換，廣泛地應用于分布式電源、功率因數校正和電機拖動中［16］， 其主電路如圖2（a）所示， 由電感器L1和L2、電容器C1和C2、半導體開關器件 T （IGBT）以及二極管D組成。為了簡化分析， 這里假設電流連續模式（CCM）， 這時將開關器件T和二極管D用單開關u來表示， 取值為1或0， 各元件的電流參考方向如圖 2（b）中所示。通過這個例子， 擬說明約束歐拉-拉格朗日方程在含有單開關的電力變換器網絡中的應用。

第2步， 求拉格朗日函數:

第 3 步， 計算瑞利耗散函數， 即負載電阻所損失的能量為

第4步， 外加電源分別為

第5步， 由基爾霍夫電流定律， 可得約束方程

可知，， 分別應用約束歐拉-拉格朗日方程（3）， 可得

如果取狀態變量

由方程（4）可以得到電路的狀態方程:

3.2三相三線PWM整流器

隨著 PWM 變流技術的發展， 在應用領域已經出現多種類型的 PWM 變換器。三相三線 PWM整流器是電壓型 PWM 變換器， 其主電路的拓撲結構如圖 3（a）所示。為了建立數學模型， 做如下假設: 1） 電壓為三相平衡正弦電壓； 2） 濾波電感是線性的，不考慮飽和； 3） 開關管為理想開關， 無導通關斷延時， 無損耗。這樣， 可以得到如圖 3（b）所示的等效電路， 圖中 u1， u2和 u3表示整流器的開關函數，

這樣， 3 個橋臂導通和關斷組合起來有8種開關狀態， 可采用矢量形式表示:

圖 3 中， ua， ub和uc為三相對稱的電源相電壓，考慮到三相電壓的平衡。即有

和

瑞利耗散函數為

外加電源分別為

約束方程有兩個: 第一個為電壓源約束， 由于三相電壓平衡， 有

第二個為基爾霍夫電流約束， 對于中性線在三相對稱時， 沒有電流流過， 有

因此有

由方程（9）， 可以得到

如果取狀態變量

由方程（9）可以得到電路的狀態方程:

為了證明本文給出的由約束歐拉-拉格朗日方程得到系統狀態方程模型方法的有效性， 在MATLAB中利用式（5）對?uk型電力變換器進行仿真，仿真參數見表1。

運用狀態方程模型（式（5））， 數值計算采用四階Runge-Kutta 方法， 設定好初始條件和開關器件的占空比 D， 就可以得到變換器的動態響應數據。控制變換器運行時， 需要改變開關器件占空比 D， 變換器會經歷一段暫態過程， 最終達到穩定狀態。

表1　?uk型電力變換器仿真參數Table 1　The simulation parameters of ?uk type power converter

設置占空比 D=5/12=0.417， 這時的仿真工作波形如圖4所示。從圖 4 中的電感電流波形可以看出變換器工作于電流連續模式（CCM）下， 在一個周期中， 隨著電力電子開關的通斷， 儲能元件要經歷充電和放電階段。輸出電壓 Uo實際上就是電容UC2兩端的電壓， 是有一定脈動的直流電壓， 由仿真結果計算 Uo平均值為 71.26 V， 而由理論公式［17］計算的結果為

此時， 由于占空比 D＜0.5， 輸出電壓低于輸入電壓，為電壓降低的情況。輸出電壓仿真結果與理論計算的結果的相對誤差為0.22%。

設置占空比 D=2/3=0.667， 這時的工作波形如圖 5 所示。同樣， 變換器也是工作于電流連續模式（CCM）下， 由仿真結果計算 Uo平均值為 201.16 V，而由常用的理論公式計算的結果為

這時， 由于占空比 D＞0.5， 輸出電壓高于輸入電壓，為電壓升高的情況。輸出電壓仿真結果與理論計算的結果的相對誤差為0.58%。

從圖 4 和 5 給出的兩種占空比下的仿真計算結果可以看出， 由約束歐拉-拉格朗日方程給出的狀態方程模型與理論計算的結果基本上吻合， 證明了這種建模方法的有效性。需要指出的是， 我們在討論時， 為了便于說明建模過程， 分析的是比較典型的電力變換器的運行的情況， 在實際應用中， 運用這種方法還可以根據需要建立更為復雜的模型， 從而滿足電力變換器的控制要求。

5　結論

本文提出一種通用的適用于具有開關電路的電力變換器的動力學模型， 利用受基爾霍夫電流約束的歐拉-拉格朗日方程， 研究系統動態元件的儲存能量， 最終可以得到狀態方程模型。通過將此方法運用于兩個實際的電力變換器的建模分析中， 可以看出， 不論是具有單開關還是多個開關的電力變換器建模過程都是統一的， 步驟清晰， 同時得到狀態方程模型結果， 可以進一步應用于電力變換器的控制中。最后， 由建模方法得到的狀態方程模型， 對型電力變換器進行仿真， 給出有關的工作波形，仿真結果與理論計算的結果基本上吻合， 驗證了該方法的有效性。因此， 本文給出的方法可以為研究復雜電力變換器的動力學問題提供一種有效的建模工具。

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Dynamic Model of Power Converters with the Kirchhoff's Current Constraints

XIE Yu1，2， FU Hao3， CHEN Benyong1， FU Jingli1，?
1. Faculty of Mechanical Engineering and Automation， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018；2. Institute of Physical and Electrical Information， Shangqiu Normal University， Shangqiu 476000； 3. China Jingye Engineering Corporation Limited， Shenzhen Brach， Shenzhen 518054； ? Corresponding author， E-mail: sqfujingli@163.com

Based on constraint Euler-Lagrange equations， a general dynamic model is presented for power converters with multiple or single switches. From the research on the energy of power converters， the generalized charges and generalized currents coordinates of dynamic elements are chosen， switching function is introduced，and a set of differential algebraic equations with constraint can be obtained based on Euler-Lagrange equations with the Kirchhoff's current constraints. The inductor currents and the capacitor voltages are chosen as the state variables， and then the state equations of the converters can be got ultimately. The proposed method is applied to model an ?uk converter circuit with an ideal switch and a three phase PWM rectifier with multiple switches. From the modeling process， it can be seen that this method is unified， clear in physical meaning and strong commonality. Finally， with the obtained state equations， the working process of ?uk converter is simulated in MATLAB， the simulation results coincide with the operation of the power converter， and it verify the effectiveness of the proposed method， which has higher application value to model the more complex power converters.

power converter； Euler-Lagrange equation； modeling； simulation

TM46

10.13209/j.0479-8023.2016.075

國家自然科學基金（11272287， 11472247）和長江學者和創新團隊發展計劃（IRT13097）資助

2015-10-15；

2016-02-22； 網絡出版日期: 2016-07-12