基于能量-Casimir方法的剛-液-柔耦合航天器系統穩定性分析

岳寶增　閆玉龍

北京理工大學宇航學院， 北京100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

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基于能量-Casimir方法的剛-液-柔耦合航天器系統穩定性分析

岳寶增?閆玉龍

北京理工大學宇航學院， 北京100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

采用能量-Casimir法對含有柔性附件的充液航天器系統的穩定性進行研究。首先， 將燃料晃動和柔性附件分別簡化為彈簧-質量塊模型和剪切梁模型， 建立航天器系統的剛-液-柔耦合模型， 通過分析主剛體、液體燃料和柔性附件各部分的動能和勢能， 推導得到系統的能量-Casimir函數； 然后， 計算能量-Casimir函數的一階變分和二階變分， 從而推導出航天器系統的非線性穩定條件； 最后， 通過數值計算， 得到參數空間中系統的穩定和不穩定區域。研究結果顯示， 航天器剛體的轉動慣量、剪切梁的長度、航天器自旋角速度及儲液腔的充液比對航天器的姿態穩定性有較大影響。

航天器動力學與控制； 非線性穩定； 能量-Casimir法； 液體晃動

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

隨著航天事業的發展， 現代航天器需要攜帶大量的液體燃料， 并且帶有太陽能帆板、天線、機械臂等柔性附件， 多為剛-液-柔耦合系統。相關研究表明， 由于耦合效應的存在， 航天器系統存在著靜止、周期運動、準周期運動和混沌運動等復雜的非線性現象， 且在不同的外激勵參數下， 面內/外模態的穩態動力學行為會發生變化［1-2］。

很多學者對剛柔耦合系統的穩定性進行了深入研究。Krishnaprasad 等［3］通過 Poisson 流形和簡化方法得到剛柔耦合系統的 Poisson 括號， 并采用Poisson 括號及系統的能量函數得到系統的運動方程， 通過能量-Casimir 法對系統的穩定性進行分析，得到非線性穩定性條件。基于 Krishnaprasad 等［3］的研究， Posbergh 等［4］對帶有柔性附件剛體的非線性穩定性分析進行詳細推導， 得到系統自旋穩定的條件。Kane 等［5］討論帶有柔性附件剛體平動和轉動相互耦合的情況， 對由科氏力造成的離心剛化效應進行研究， 并對結果進行數值仿真。Bloch［6］針對由平面剛體和柔性附件組成的系統， 分別建立存在離心剛化和不存在離心剛化的兩種模型， 并運用能量-動量法對兩種情況的平衡點非線性穩定進行分析。

岳寶增等［7］以及 Ahmad 等［8］分別采用能量-Casimir 法對部分充液航天器姿態運動的穩定性進行研究， 通過將液體晃動分別等效為質量彈簧模型和球擺模型， 建立充液航天器的力學模型， 并通過能量-Casimir 法得到耦合系統的穩定性條件。楊旦旦等［9］基于 Lyapunov 穩定性理論， 研究帶輕質懸臂梁附件充液航天器的姿態機動控制問題， 將晃動液體用黏性力矩球擺模型等效， 利用 Lyapunov 穩定性理論得到姿態機動的穩定性判據， 并通過數值仿真驗證了控制算法的有效性。

本文基于能量-Casimir 法， 研究含有柔性附件充液航天器系統的穩定性。為簡化起見， 將晃動液體燃料簡化為質量-彈簧模型， 僅考慮液體燃料沿本體坐標系某一坐標軸方向的橫向晃動。設定航天器的儲液腔為橢球形， 將柔性附件簡化為線性剪切梁。

1　航天器動力學建模

考慮如圖 1 所示的含有柔性附件和橢球形儲液腔的剛體航天器。

設慣性坐標系原點為儲液腔的幾何中心 O， 航天器剛體部分的質量（除燃料和柔性附件之外的質量）為Hm， 選擇點 O 為本體坐標系原點， 本體坐標系沿剛體航天器慣性主軸方向， 其中坐標軸的單位向量為， 本體坐標系相對于慣性坐標系中的角速度為Ω， 剛體航天器關于本體標架慣性矩陣為

液體燃料晃動的簡化力學模型通過質量-彈簧模型描述， 如圖 2 所示。晃動質量為在本體坐標系中為， 晃動質量靜止位置記為

不參與晃動燃料的質量為Fm， 在本體坐標系為。對任意向量 a=， 定義a的反對稱矩陣S（a）為

未晃動質量Fm和航天器的剛體部分Hm的動能分別表示為

根據式（2）～（4）可得到剛液耦合航天器系統的動能為

下面將柔性附件簡化為線性可伸展的剪切梁模型， 設定梁在靜止狀態下沿著本體坐標系的 e3軸方向， 柔性附件與剛體的連接點在本體坐標下為b=（0， 0， b）T。令ρ0為單位長度的剪切梁的質量， L為剪切梁的長度， 剪切梁在靜止狀態下點 s∈［0， L］在梁發生小變形時對應的位置為 rb（s）， 動量密度為σ（s）， 令K 為剪切梁彈性系數的對角陣， 則剪切梁的能量函數為

剪切梁的邊界方程為

因此， 由式（7）和（8）可以得到耦合航天器系統的Hamilton函數為

可推出剛-液耦合系統總的角動量及晃動質量線動量的表達式為

因此， 考慮邊界條件， 可得到系統的動力學方程為

2　穩定性分析

考慮耦合系統不受到外力和外力矩， 則系統的能量和角動量為守恒量。可通過能量函數以及定義

Casimir函數， 運用能量-Casimir法判斷剛-液-柔系統的穩定性。令

因此能量函數和Casimir函數的和為

下面求函數H+Ψ 的一階變分。定義

分別表示剛-液系統的能量函數及剪切梁的動能和勢能函數。對以上各式進行變分， 則有

表示耦合航天器系統的總角動量， 則 Casimir 函數Ψ 的一階變分為

根據式（15）～（17）和（19）可以得到函數 H+Ψ的一階變分:

在平衡點 D（D+Ψ）=0， 下面求二階變分 D2（H +Ψ）。首先考慮能量函數H的二階變分， 對式（15）進行一階變分， 可得到f1的二階變分:

其中，

類似地， 根據式（15）和（17）， 并考慮邊界條件， 可得到f2和 f3的二階變分:

設定K為對角陣， 可采用Pioncare類不等式，對式（23）的下界進行估計:

下面考慮表達式 Casimir 函數二階變分， 對應的表達式為， 因此

展開式（26）右端的后兩項， 可得

因此， 式（25）可重新表示為

由式（25）和（28）可得

其中，

展開式（30）中的第一項， 可得

其中， 矩陣的R2的表達式為

令

其中，

對于式（30）中的第3項， 有

下面對式（33）中第一項進行處理， 合并該項及式（30）中δΩ 的平方項， 得

令

則式（34）可表示為

其中，

類似地， 可對式（33）中第二項和第三項進行處理， 令

類似于式（36）， 有

因此，

式（40）右端前三項顯然為正， 下面考慮右端第四項，可表示為

其中，

設定λ2

因此，

因此， 式（29）可表示為

根據表達式（47）， 可得如下定理。

定理若矩陣 R4和 T2在平衡點是正定的， 則剛-液-柔耦合航天器系統（式（10））是非線性穩定的， 其中，

3　耦合系統平凡解和數值仿真

3.1耦合系統平凡解

下面考慮剛-液-柔耦合航天器系統的平凡解（即系統繞著線性剪切梁的軸向進行旋轉）， 設定該情況下平衡點的形式為， 系統的角速度為表示角速度沿著第三慣性主軸方向。由于梁是未拉伸的， 則有晃動質量m的平衡解為對應于晃動質量塊靜止在平衡位置， 不發生運動。平衡點位置的角動量為根據上式可得到′和在平衡點的值為

矩陣T2在平衡點的表達式為

其中，

考慮矩陣4R在平衡點的形式， 可得到矩陣的各階順序主子式均為零， 因此， 矩陣

為半正定。因此， 若滿足式（51）， 則耦合航天器系統為非線性穩定的。式（51）的前兩個條件是系統穩定自旋的條件，與僅考慮剛體自旋穩定性的條件相比， 由于液體晃動和柔性附件的影響， 對應的轉動慣量需要進行修正。當不考慮液體和柔性附件的影響時， 式（51）退化為剛體自旋穩定的條件。式（51）的后兩個條件是對系統轉速的限制， 表明剛體的角頻率不能超過橫截梁的修正特征頻率。在不考慮液體晃動的情況下， 穩定性條件（式（51））與文獻［6］中含有柔性附件的剛體穩定性條件一致。

3.2數值仿真

下面考慮儲液腔內液體燃料的變化， 即充液比的改變對耦合系統穩定性的影響。航天器剛體的慣系統的角速度為梁的密度為剪切梁的彈性系數為 kx=ky=kz=84 N/m， 梁的長為L=6.4 m， 半徑為 r=0.02 m， b=1.428 m， 梁的單位長度的質量為ρ0=0.3768 kg/m。設定儲液腔的幾何形狀為球形， 半徑R=0.4135 m， 儲液腔內液體燃料最大質量 mliquid=300 kg， 儲液腔內實際燃料質量為mtotal=mslosh+mrest， 其中mslosh， mrest分別表示晃動液體質量和靜止液體質量。令η=mtotal/mliquid表示儲液腔的充液比（0≤η ≤1）。通過文獻［10-11］可以得到mslosh/mtotal， mrest/mtotal， a1， a2隨充液比的變化， 結合等效晃動質量可得到等效模型彈簧的剛度。圖 5 給出了柔性附件和剛體航天器在參數不變的情況下，0.1≤η ≤0.9 時穩定區域的分布。從圖 5 可以看出，隨著充液比的增加， 穩定性區域呈現先減小后增加的趨勢。

4　結論

耦合航天器穩定性分析在航天器動力學與控制研究中起著重要作用。本文針對含有柔性附件的充液航天器系統進行穩定性分析。首先， 給出剛-液-柔耦合航天器的力學模型， 通過分析各個部分的能量函數， 得到系統的總能量函數和 Casimir 函數；接著， 計算能量-Casimir 函數的一階變分， 得到耦合系統平衡點所滿足的條件， 然后計算能量-Casimir 函數的二階變分， 得到耦合系統的非線性穩定性條件； 最后， 給出繞三軸穩定自旋的情況，得到非線性穩定性條件， 并通過數值仿真驗證了相關結論。研究結果顯示， 剛體的轉動慣量、剪切梁的長度以及儲液腔的充液比對系統穩定性有較大的影響。

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Stability Analysis of Rigid-Liquid-Flexible Coupling Dynamics of Spacecraft Systems by Using the Energy-Casimir Method

YUE Baozeng?， YAN Yulong

School of Aerospace Engineering， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081； ? E-mail: bzyue@bit.edu.cn

The stability of liquid filled spacecraft with flexible appendage was researched by using energy-Casimir method. Liquid sloshing dynamics was simplified by spring-mass model， and flexible appendage was modeled as a linear shearing beam. Rigid-liquid-flexible coupling dynamics of spacecraft was built. The energy function and the Casimir function were derived by analyzing the energy function of a rigid body， liquid sloshing and a flexible appendage. The nonlinear stability condition of coupled spacecraft system was derived by computing the first and second variation of energy-Casimir function. The stable and unstable regions of the parameter space were given in the final section with numerical computation. Related results show that the inertia matrix， the length of shearing beam， the spacecraft spinning rate， and the filled ratio of liquid fuel tank have strong influence on the stability of coupled spacecraft system.

spacecraft dynamic and control； nonlinear stability； energy-Casimir method； liquid sloshing

O31

10.13209/j.0479-8023.2016.095

高等學校博士學科點專項科研基金（20131101110002）和國家自然科學基金（11472041， 11532002）資助

2016-05-07；

2016-06-12； 網絡出版日期: 2016-07-14