Lagrange方程應用于連續(xù)介質力學

馮曉九　梁立孚

1. 常州大學環(huán)境與安全工程學院， 常州213164； 2. 哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院， 哈爾濱 150001；? 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

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Lagrange方程應用于連續(xù)介質力學

馮曉九1梁立孚2，?

1. 常州大學環(huán)境與安全工程學院， 常州213164； 2. 哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院， 哈爾濱 150001；? 通信作者， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

如何將Lagrange方程應用于連續(xù)介質力學， 一直是學術界關注的理論課題。應用變導的概念和運算法則， 研究Lagrange方程中的求導的性質， 進而將Lagrange方程應用于線性彈性動力學和非線性彈性動力學， 并且給出相應的算例。結果表明， 借鑒變積分學來解決將Lagrange方程應用于連續(xù)介質力學的問題是可行的。

連續(xù)介質力學； Lagrange方程； 變導； 線性彈性動力學； 非線性彈性動力學

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

1755年Lagrange的著作《Mecanique Analytique》（分析力學）問世［1］（1788 年首次正式出版）， 力學發(fā)展史上出現了與牛頓的矢量力學并駕齊驅的一個力學體系。Lagrange 力學體系的特點是用對能量和功的分析代替對力和力矩的分析。1834 年 Hamilton［2-3］建立了Hamilton原理和正則方程， 進一步發(fā)展了分析力學， 從而形成Lagrange體系和Hamilton體系。

如何將經典分析動力學應用于連續(xù)介質力學，一直是各國學者關注的研究課題。

我國 1958 年出版的第一部分析力學專著《分析動力學》［4］， 注意到將分析力學從質點剛體力學擴展到連續(xù)介質力學、從離散系統(tǒng)擴展到連續(xù)系統(tǒng)的問題。2015年影印的《Classical Mechanics》［5］仍然研究連續(xù)體分析動力學。一些學者成功地將Lagrange方程應用于機構動力學分析［6-9］、振動系統(tǒng)［10］、防護工程［11］、電器系統(tǒng)和機電系統(tǒng)［12］等領域， 也有學者研究如何將Lagrange方程應用于非慣性系統(tǒng)［13-15］， 以及彈性力學的 Lagrange 形式、彈性介質的 Lagrange 動力學和精確 Cosserat 彈性桿動力學的分析力學方法［16-18］。另有一些學者研究完整系統(tǒng)三階 Lagrange 方程、狀態(tài)空間 Lagrange函數和運動方程［19-20］以及關于 Birkhoff 方程和Lagrange方程分析力學問題［21］。

在一定的意義上， Lagrange 方程和 Hamilton原理都涉及變分學， 而Lagrange 作為變分學的奠基人之一， 研究的就是基于變分學的基本理論，所以借鑒變分學或許是一條可行的途徑。Liang等［22］提出變分的逆運算變積概念， 建立變積方法，然后應用變積方法， 建立一般力學三類變量的廣義變分原理［23］。劉高聯先生充分肯定了變積方法的首創(chuàng)性［24］。以上研究使微積分學中的積分、微分和導數在變分學中有了對應的概念——變積、變分和變導， 初步地將變分學擴充為變積分學。

本文基于陳濱［25］關于 Lagrange 力學完整的敘述， 應用變導的概念和運算法則， 研究 Lagrange 方程中求導的性質， 逐步將Lagrange方程應用于線性彈性動力學， 進而應用于非線性彈性動力學， 并且給出相關的算例， 對理論研究進行驗證。

1　Lagrange方程中的導數的性質

首先， 明確變導的概念。設有定積分形式的泛函為

邊界條件為

其中， （）yx為自變函數， x為自變量。對式（1）進行變分運算可得

應用分部積分:

將式（4）代入式（3）， 考慮到邊界條件（式（2））， 整理得

由于δy的任意性， 式（5）可以變換為

在微分學中， 函數的微分表示為dy， 自變量的微分表示為dx， 微商表示為又稱導數。在變分學中， 泛函的變分表示為δV， 自變函數的變分表示為δy， 變商表示為， 又稱變導。

經典分析動力學中的Lagrange方程表示為

其中， （）tq=q為廣義坐標， 一般分析動力學中均將其處理為廣義坐標列陣:

在變分學中， 基本上存在三級變量——自變量、可變函數和泛函。簡單函數和泛函的區(qū)別在于， 簡單函數是自變量的函數， 而泛函是可變函數的函數， 獨立自主地變化的可變函數稱為自變函數。從不獨立的可變函數也是自變函數的函數的角度看問題， 不獨立的可變函數也是泛函， 可稱其為子泛函。明確變分學中的三級變量， 對區(qū)分微積分中的導數和變積分學中的變導很有幫助。對自變量求導為微積分中的導數， 對可變函數的求導則為變積分中的變導。

Lagrange 已經注意到微分符號用d而變分符號用δ， 而且應用了符號， 所以變導的概念已經隱含在其著作中。例如， 在文獻［1］中， Lagrange 方程表示為

變積分學中變導與微積分學中導數的運算法則， 有時相同， 有時不同， 在后面研究具體問題時可以明顯地表現出來。

2　Lagrange方程應用于線性彈性動力學

2.1一類變量Lagrange方程應用于線性彈性動力學

線性彈性動力學的動能表示為

線性彈性動力學的勢能表示為

其中， a為剛度系數張量， u為位移矢量， f為體力矢量， T為面力矢量， n為外法向矢量， ▽為Hamilton算子， ρ為質量密度， Sσ為力學邊界面， Su為位移邊界面， V為空間體積域。為彈性體的應變能； U2=為外力勢能。

位移邊界條件為Lagrange方程表示為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導項的推導比較復雜:

由于

應用Green定理:

將式（19）和（20）代入式（18）， 則得

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學方程:

先決條件為式（13）。

2.2兩類變量Lagrange方程應用于線性彈性動力學

兩類變量 Lagrange方程表示為

彈性動力學的動能表示為

彈性動力學的勢能表示為

其中， ε 為應變張量， v 為速度適量，1U=為彈性體的應變能，2U=為外力勢能。先決條件為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導項的推導比較復雜:

考慮到

利用剛度系數張量的對稱性， 則有

應用Green定理， 并考慮到式（36）， 可得

將式（38）代入式（37）， 則得

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學方程:

先決條件為式（28）， （29）和（30）。

2.3算例

彈性平板是工程結構中的重要構件， 亦可以單獨組成一個工程結構。將 Lagrange 方程應用于彈性平板的動力學比較有代表性。這里討論線性彈性平板的動力學問題。

彈性平板的動能表示為

彈性平板的勢能包括兩部分。第一部分為板的應變能:

第二部分為橫向分布載荷的勢能:

總勢能為

設為四邊簡支矩形板， 位移邊界條件為

力學邊界條件為

其中， w 為板的撓度， D 為板的抗彎剛度， h 為板的厚度， μ

為泊松比， ρ為質量密度， q 為分布載荷。

Lagrange方程表示為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能的變導項的推導比較復雜:

由于

應用Green定理:

將式（54）～（59）代入式（53）， 考慮到式（47）和（48）， 則

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學方程：

位移邊界條件為式（47）， 力學邊界條件為式（48）， 都是強制邊界條件。當然， 也可以將力學邊界條件處理為自然邊界條件， 這需要通過變導運算獲得。

3　Lagrange方程應用于非線性彈性動力學

3.1一類變量Lagrange方程應用于非線性彈性動力學非線性彈性動力學的動能表示為

非線性彈性動力學的勢能表示為

位移邊界條件為

Lagrange方程表示為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導項的推導比較復雜:

由于

應用Green定理， 并考慮到式（65）， 可得

將式（71）和（72）代入式（70）， 則得

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學方程:

先決條件為式（65）。

3.2兩類變量Lagrange方程應用于非線性彈性動力學

非線性彈性動力學的動能表示為

非線性彈性動力學的勢能表示為

其中， E為Green應變張量， u為位移矢量， f為體力矢量， T為面力矢量， v為速度矢量， ρ為質量密度， （）AE為應變能函數， n為法向矢量， ▽為Hamilton算子， Sσ為力的邊界， Su為位移邊界， V為空間體積域。

Lagrange方程表示為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能變導項的推導較為復雜:

考慮到

則有

應用Green定理， 并且考慮到

可得

將式（88）和（90）代入式（86）， 則得

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性動力學方程:

3.3算例

非線性彈性直梁也是工程結構中的重要構件，亦可以單獨組成一個工程結構。將 Lagrange 方程應用于非線性彈性直梁的動力學問題， 也具有一定的代表性。這里討論非線性彈性Bernoulli直梁的動力學問題。

非線性彈性直梁的動能表示為非線性彈性直梁的勢能包括三部分。第一部分為梁的應變能:

第二部分是軸向拉力的勢能， 包括拉伸應變能和拉彎耦合勢能:

第三部分為橫向分布載荷的勢能:

總勢能為

其中， w為梁的撓度， u為梁的軸向變形， E為梁的彈性模量， A為梁的橫截面積， I為梁的抗彎截面系數，ρ 為質量密度， q 為分布載荷。

設為懸臂梁， 位移邊界條件為

Lagrange方程表示為

推導計算Lagrange方程中的各項:

勢能的變導項的推導比較復雜:

式（108）和（109）可以進一步表示為

應用Green定理:

將式（112）～（116）代入式（110）和（111）， 根據邊界條件（式（101））， 并且考慮到在lx=處取定值， 可得

將相關各式代入Lagrange方程， 可得

去掉積分號， 可得彈性直梁的動力學方程和自然邊界條件:

式（121）和（122）是域中的控制方程， 式（123）～（125）是力的邊界條件。

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Lagrange Equation Applied to Continuum Mechanics

FENG Xiaojiu1， LIANG Lifu2，?
1. School of Environmental and Safety Engineering， Changzhou University， Changzhou 213164； 2. College of Aerospace and Civil Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001； ? Corresponding author， E-mail: lianglifu@hrbeu.edu.cn

How to apply the Lagrange equation to the continuous medium mechanics has been a theoretical issue of academic circles. Using variational derivative concepts and operational rules， the properties of variational derivative in Lagrange equation are studied. The Lagrange equation is applied to linear elastic dynamics and nonlinear elastic dynamics， and some corresponding numerical examples are given. The result shows that it is a feasible way to solve the problem of the application of Lagrange equation to the mechanics of continuous media by using the variational integral calculus.

continuum mechanics； Lagrange equation； variational derivative； linear elastic dynamics； nonlinear elastic dynamics

O313

10.13209/j.0479-8023.2016.076

國家自然科學基金（10272034）資助

2015-10-23；

2016-04-02； 網絡出版日期: 2016-07-14