泰勒有限差分方法數值求解常微分方程

張雨濃　李樂　丁亞瓊　張銀炎　李東

摘要：本文提出一種新的更高精度的泰勒有限差分公式并且應用于求解常微分方程。這種應用泰勒有限差分公式來求解常微分方程的方法稱為泰勒有限差分方法。此外，出于比較的目的，使用歐拉方法求解常微分方程的算法流程也被提及，并且在MATLAB軟件平臺進行了兩組對比性的數值實驗。兩組對比性的數值實驗結果均表明，使用泰勒有限差分方法求解常微分方程的精度要比使用歐拉方法求解常微分方程的精度更高。后續可以應用該方法去開發常微分方程數值求解器的軟件。

關鍵詞：常微分方程；泰勒有限差分方法；歐拉方法；精度；數值實驗

中圖分類號：0241.81 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.05.001

本文著錄格式：張雨濃，李樂，丁亞瓊，等.泰勒有限差分方法數值求解常微分方程[J].軟件，2016，37（5）：01-06

0.引言

在現實生活中人們能夠在已有的理論或經驗的基礎上得到一個問題中變量之間的函數關系，這對于解決這個問題來說是十分重要的，但是在一些相對較為復雜（或者說十分復雜）的問題中，我們是沒有辦法直接得到這些問題中變量之間的函數關系，然而卻能得到這些問題中一些變量以及其導數之間的關系，也即找到一個含有未知函數以及未知函數導數的方程，我們稱這個方程為常微分方程。然后我們通過對這個常微分方程進行數值計算來達到了解這個問題的變化規律的目的。

眾所周知，研究和揭示客觀世界中物質運動變化規律的量與量之間的關系，在人類戰勝自然并通過利用自然來促進社會與經濟快速發展的過程中起到了十分重要的作用。科學家們總是通過運用常微分方程來研究和揭示客觀世界中物質運動變化規律的量與量之間在某種特定的條件下存在的某種內在關系。常微分方程在揭示和研究物質運動變化規律中發揮著十分重要的作用。因此對常微分方程進行深入研究具有一定程度上的實際工程應用意義以及價值。

作為現代應用數學的一個十分重要的分支，常微分方程在現實生活中的許多方面得到了十分廣泛地應用。正是這些應用極大的促進了常微分方程的發展，同時也吸引了眾多領域（如機器學習、自動化控制以及人工神經網絡）的研究者對常微分方程進行研究。在實際工程應用中，我們通常通過對所遇到的問題進行簡化來建立常微分方程模型，并通過求解該常微分方程模型以達到了解這個在實際工程中所遇到的問題的變化趨勢的目的。然而在許多實際工程應用所遇到的問題中的常微分方程大多無法用解析方法求解出其理論解（或者說解析解），因此對常微分方程的數值解法進行深入研究就顯得非常重要以及非常必要。當前，已經有許多數值解法被不同領域的專家學者提出，如歐拉方法、阿當姆斯方法以及龍格一庫塔方法。