Matlab在周期信號分解及頻譜中的應用

閆紅梅, 吳冬梅, 吳延海

(西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安　710054)

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Matlab在周期信號分解及頻譜中的應用

閆紅梅, 吳冬梅, 吳延海

(西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安710054)

利用Matlab對方波、鋸齒波、三角波等周期信號進行傅里葉級數分解和合成,直觀演示了諧波合成過程和吉布斯現象,并且畫出方波分解的三維圖形,通過調整視角觀察信號時域波形與頻域頻譜的關系。實踐表明,將Matlab引入教學可以幫助學生把握重點、理解難點,激發了學生學習興趣,起到了很好的教學輔助作用,有效地改善了教學效果。

信號與系統;Matlab; 傅里葉級數; 周期信號分解

信號與系統課程是高等學校電子信息類專業一門重要的專業基礎課,在教學計劃中起著承前啟后的作用,也是相關專業研究生入學考試的必考科目。該課程理論性強,內容抽象,所涉及到的數學知識面廣,傳統的教學方式僅憑教師講述和板書推導很難將抽象的概念講述清楚。美國麻省理工學院公布的教學改革計劃(于2011年實施)已經將Matlab引入信號與系統課程輔助教學[1],這一做法也得到國內眾多高校教師和學者的共識[2-6]。周期信號的傅里葉級數分解和合成是信號與系統課程的重點和難點之一,通過該內容的學習可使學生建立起信號頻譜的概念,同時為進一步學習傅里葉變換和線性時不變系統的頻域分析等內容打下基礎。很多高校教師將實際案例分析[7-8]和Matlab仿真[9-10]引入課堂教學,對激發學生學習興趣、提高教學質量都取得了一定的效果。

本文利用Matlab仿真實現了方波、鋸齒波和三角波這些具有代表性的周期信號的傅里葉級數分解和合成過程,動態地演示了諧波合成過程和吉布斯現象，畫出了方波分解的三維圖形,通過改變視角直觀地觀察時域合成效果和周期信號頻譜的特點,使學生對頻譜的物理意義有了深入的理解。

1　周期信號的傅里葉級數

1.1傅里葉級數的定義

18世紀法國著名的數學家、物理學家傅里葉(H·Fourier,1768-1830)最初提出傅里葉級數的基本理論[10]。一個滿足狄里赫利條件的周期信號f(t),其周期為T,角頻率Ω=2π/T,該信號的傅里葉級數展開式為[11]

(1)

其中,傅里葉系數：

(2)

(3)

將式(1)中同頻率項合并,可寫為

(4)

式中：

(5)

1.2方波信號的傅里葉級數

方波信號是一種基本的周期信號,在理論分析中具有重要的代表性作用。將圖1所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數。由式(2)和式(3)可得f(t)的傅里葉系數：

(6)

(7)

圖1　方波信號

將an和bn代入式(1),可得圖1所示方波信號的傅里葉級數展開式為

(8)

可見,該方波信號只含1、3、5等奇次諧波分量。

2　利用Matlab分析周期信號的分解與合成

利用Matlab中的guide命令[12]設計出周期信號的分解與合成GUI演示界面。通過下拉框可以選擇周期信號的類型為方波、鋸齒波或三角波。在文本框中輸入諧波次數可以觀察不同諧波次數下周期信號分解、合成過程。方波信號的前3次、7次、21次諧波分解及合成圖分別如圖2中的(a)、(b)、(c)所示,鋸齒波和三角波的前21次諧波分解及合成圖分別如圖2(d)和(e)所示。

由圖2中(a)、(b)、(c)可見：(1)低頻分量幅度較大、變化較慢,構成信號的主體,高頻分量幅度較小、變化較快,影響波形的細節。這一基本理論也可用于圖像壓縮,在保證一定圖像質量的前提下,丟棄掉圖像的部分高頻分量,保留低頻分量,可以減小圖像大小,節省存儲空間和傳輸帶寬；(2)所含高次諧波分量越多,合成波形越逼近方波信號。但隨著諧波次數的增加,在間斷點處存在的過沖幅度并未明顯減小。可以證明,即使合成波形所含諧波次數n→,在間斷點處的幅度仍有約9%的偏差,這種現象稱為吉布斯(Gibbs)現象。在n取很大時,間斷點尖峰下的面積很小以致于趨于零,因而在均方意義上,合成波形與原方波的真值之間沒有區別。

由圖2(d)、(e)可以看出,鋸齒波的合成波形存在吉布斯現象,而三角波的合成波形不存在吉布斯現象,說明吉布斯現象是由間斷點引起的。

3　利用Matlab分析周期信號的頻譜

利用Matlab編寫程序,在時間-頻率-幅度的三維空間畫出圖1所示方波信號分解為11次諧波分量的圖形,如圖3(a)所示。利用Matlab的圖形旋轉按鈕調整視角,旋轉為時間-幅度的二維圖形,如圖3(b)所示,其中紅色波形為合成波形,其他為各諧波分量波形,結論與前述相同。再旋轉為頻率-幅度的二維圖形,如圖3(c)所示,圖中各細線即表示各諧波分量的幅度,此圖為方波信號的幅度譜。圖3(c)雖然是方波信號的幅度譜,但其具有一般性,代表了一般周期信號頻譜的特點：(1)離散性,各譜線是離散的,以基波頻率Ω=2π/T為間隔；(2)諧波性,各譜線只出現在各次諧波頻率處,即ω=nΩ；(3)收斂性,各次諧波的振幅隨著諧波次數的增高而逐漸減小。

圖2　周期信號的分解與合成

圖3　不同角度下的方波分解圖

4　結語

Matlab具有強大的計算能力和繪圖能力,GUI可視化界面具有良好的交互性和直觀性。在教學中利用Matlab進行仿真,直觀地演示周期信號分解及合成過程以及信號時域波形與頻域頻譜的關系,可以幫助學生理解傅里葉級數這一抽象的概念,有助于學生進一步學習傅里葉變換及頻域分析方法。將Matlab引入信號與系統課程教學,可以激發學生學習興趣,提高課堂教學質量,起到了很好的教學輔助作用。

References)

[1] 鄭君里,谷源濤.信號與系統課程歷史變革與進展[J].電氣電子教學學報,2012,34(2):1-6.

[2] 杜世民,楊潤萍.基于MatlabGUI的“信號與系統”教學仿真平臺開發[J].實驗技術與管理,2012,29(3):87-90.

[3] 金波.基于Matlab的“信號與系統”實驗演示系統[J].實驗技術與管理,2010,27(12):104-107.

[4] 馬占敖,李紅.“信號與系統”課程中的MATLAB的應用[J].長春理工大學學報,2011,6(5):132-133.

[5] 全星慧,周圍,韓建，等.基于Matlab的信號與系統實驗平臺設計[J].現代電子技術,2014,37(22):88-90.

[6] 李念念,張紅梅.基于MATLABGUI的信號與系統分析軟件開發[J].工業控制計算機,2011,24 (3):19-21.

[7] 向倩.聆聽傅立葉級數：《信號與系統》教學改革漫談[J].武漢大學學報：理學版,2012,58(增刊2):120-124.

[8] 張銳,袁麗英.信號與系統課程中對周期信號頻譜分析的理解[J].高等函授學報：自然科學版,2012,25(2):30-32.

[9] 韓曉霞,高月華,陳雷.連續時間周期信號頻域分析的MATLAB實現[J].河北軟件職業技術學院學報,2013,15(1):52-54.

[10] 鄧新浦,吳京.傅里葉級數的起源、發展與啟示[J].電氣電子教學學報,2012,34(5):1-4.

[11] 吳大正,楊林耀,張永瑞.信號與線性系統分析[M].4版.北京：高等教育出版社,2005.

[12] 梁虹.信號與系統分析及MATLAB實現[M].北京：電子工業出版社,2002.

ApplicationofMatlabinperiodicsignaldecompositionandspectrum

YanHongmei,WuDongmei,WuYanhai

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofScienceandTechnology,Xi’an710054,China)

ThispaperusesMatlabtosimulateFourierseriesdecompositionandsynthesisofsquarewave,sawtoothwaveandtrianglewave,andpresentsalivelyanddirectviewofharmonicsynthesisprocessandtheGibbsphenomenon.ItusesMatlabtodrawthesquarewavedecomposition3Dgraphicsandanalysestherelationshipbetweensignalwaveformandspectrumbyadjustangleofview.TheteachingactivityshowsthataddingthevividMatlabsimulationintotheabstracttheoryteachingishelpfultodeepenstudents’understanding,masterthecoursecontents,stimulatetheirlearninginterestandimprovetheteachingeffecteffectively.

signalandsystem；matlab；fourierseries；periodicsignaldecomposition

DOI:10.16791/j.cnki.sjg.2016.05.012

2015- 11- 30修改日期：2015- 12- 29

2015年度陜西本科高校省級教學團隊項目——信號處理系列課程教學團隊項目(陜教高[2015]13號)；西安科技大學2014年度校級教育教學改革與研究項目“‘信號與系統’課程多維立體教學研究”(JG14106)；2013年度陜西省省級質量工程——基于CDIO的電子信息類專業人才培養模式創新實驗區項目(陜教高[2013]28號)

閆紅梅(1978—)，女，陜西商洛，碩士，講師，主要從事信號處理與人工神經網絡方面的教學和研究工作.

E-mail：yhm523@163.com

TN911.6;TP391.9

A

1002-4956(2016)5- 0037- 03