混凝土斜拉橋的優化設計

◎ 彭琳琳 中交二航局第四工程有限公司

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混凝土斜拉橋的優化設計

◎ 彭琳琳 中交二航局第四工程有限公司

斜拉橋設計包括大量設計變量和設計目標。混凝土斜拉橋優化在此被歸結為多目標優化問題，優化目的是成本最低，偏移最小及應力最小，開發數值方法以獲得此類結構的優化設計。結構分析能說明所有相關的效應（混凝土時間依存性效應，施工階段和幾何非線性效應）。本文通過對真實大小混凝土斜拉橋優化的數值例子進行闡述，證明了該方法的特點和適用性。

結構優化 混凝土斜拉橋 橫斷面設計變量

混凝土斜拉橋優化被歸結為多目標優化問題，其目的是獲得最低成本，最小偏移和應力，并尋求帕累托解決方案。通過凸標量函數的最小化發現了該解決方案。數值方法允許纜索安裝力、纜索調整力和斜拉索區域、橋面和橋塔橫截面的計算，以滿足整個結構位移和應力，無論是在架設期間或竣工。因此本文所提出的優化算法可以被用來研究拓撲和幾何設計變量的效應。

在MATLAB開發的計算機程序被用于結構分析、靈敏性分析和優化。結構分析采用一種有限元模型，其包括由于混凝土施工順序、幾何非線性和時間依存性效應造成的負載歷史和幾何變化。施工過程和混凝土流變行為顯著影響了混凝土斜拉橋的應力和變形。在分析中，同樣應考慮處理纜索或大型靈活結構時產生的幾何非線性情況。

1.時間依存性效應建模

在這項研究中，根據歐洲規范2公式進行評估混凝土的蠕變、收縮和老化的時間依存賴性效應。蠕變模型基于線性粘彈性及考慮老化影響。收縮應變依存于時間，但與應力無關。由作者在最近的研究工作中提出了有關時間依存性效應建模的詳細考慮。

1.1混凝土老化

由于固化的結果，混凝土的強度和彈性系數隨時間增加。在早期，強度和彈性系數迅速增加，然后增加逐漸停滯，但不會完全停止。根據EN1992-1-1（2010），天數t，混凝土的彈性系數由下式給出（1）。

其中，Ecm是混凝土彈性系數在28天內的平均值，t是混凝土固化天數，s是取決于水泥類型的系數。

1.2混凝土蠕變

在時刻t0施加單軸應力σc的混凝土試件，其在時刻t的總應變可以寫成相關應力?ca（t，t0）和與無關應力?cn（t）的總和，應變為（2）。

其中J（t，t0）是蠕變功能；如果應力小于45％的混凝土抗壓強度標準值，則疊加原理是有效的，并且蠕變應變隨著所施加的應力而線性變化。

在施工階段和結構使用壽命期間，斜拉橋的應力不斷變化。根據變量的應力以及使用疊加原理，方程（2）可改寫為（3）。

已經提出了幾種方法來解決這個方程，包括簡化方法，逐步數值積分以及蠕變函數的粗略估算。在這篇文章中，由Dirichlet級數（Bazant，1988）概略估算該蠕變函數，從而得到（4）。

其中，n是Dirichlet級數的項數，系數aj通過使用最小二乘方法從曲線擬合得出。系數1/aj被稱為延遲時間，并被選擇來覆蓋用于計算蠕變系數的時間值范圍以。

1.3混凝土收縮

根據EN1992-1-1（2010），在時刻t的總收縮應變?cs（t），是自收縮（?ca）和干燥收縮（?cd）的總和。時刻t的干燥收縮被定義為（5）。

其中，系數βds（t，ts）和kh取決于構件理論尺寸和混凝土干燥收縮開始時刻。參數εcd（t）取決于環境相對濕度、水泥類型和混凝土抗壓強度。

自收縮是混凝土早期硬化期間化學反應的結果，它可以通過時刻t由以下公式表示（6）。

其中，εca（∞）是自收縮應力的長期值，βas（t）是自收縮隨時間演變的函數。

1.4時間依存性效應模擬

在結構分析中，通過產生相同位移場的等效節點力模擬時間依存效應，并將其作為時間依存性效應及從中計算出實際變形狀態。每個時間間隔，使用有限元公式和相應的蠕變值以及根據先前提出公式計算出的收縮應變，將這些計算的應力作為初始變形。于是，僅用應力和機械原點變形之間的彈性本構關系計算該應力。

1.5幾何非線性效應

斜拉橋中幾何非線性有三個主要來源：由于自身重量造成下垂的非線性軸向力-延伸關聯斜拉索；根據聯合彎曲和軸向力，非線性軸向力和彎矩-變形關聯橋塔和橋面；以及大位移引起的幾何變化。在這篇文章中，通過二階彈性分析方法考慮幾何非線性效應。

考慮斜拉索中幾何非線性的一種廣泛使用方法是用于考慮能描述纜索懸索效應并具有等效彈性系數（Ernst 1965年）的等效直弦構件。

纜索等效彈性系數值由下式給出（7）。

其中，Eeq是等效的纜索彈性系數，E是等效的纜索材料彈性系數，y是纜索材料的比重，L是弦的長度，α是索弦與水平方向之間的角度，σ是纜索的張力應力。

二階效應被認為是采用等效側力法，也被稱為虛擬側向荷載法或P-A迭代方法，通常用于建筑結構二階分析。

1.6包括架設階段的結構分析

繼施工階段后，使用正向分析程序，進行架設階段的建模和分析，然后獲得整個施工的應力和位移，使其能直接考慮時間依存性效應。這適合于結構優化目的，因為在各階段結束時和要求優化模塊之前，可同時使用所有有關應力、位移及其靈敏度的信息。

在斜拉橋施工中，采用最普遍和廣泛使用的方法——平衡懸臂施工法進行架設。施工一開始，要建造橋塔，并在橋塔的兩側開始懸臂施工。在隨后的階段，架設其他橋面節段和斜拉索，直到橋面合攏。

使用一個有限元計算機程序進行結構分析，該橋梁被構建成一個二維構架結構。該模型不考慮橋面扭轉和結構的三維特性。然而，由于該研究以架設和使用情況為中心，因而利用二維模型是足夠用的。

2.優化設計公式

在斜拉橋的優化設計中，由于設計變量數量高且設計目標非線性特征也會產生沖突，因此搜索空間很復雜。這里作為一個多目標優化問題被提出，從中獲得帕累托最優解向量。這意味著在不增加至少一個目標的情況下，不存在其他可行的能降低一個目標的向量。它涉及設計變量、設計目標和目標函數的定義。

2.1設計變量

考慮的設計變量是斜拉索區域、預應力、橋面和橋塔的橫截面尺寸。設計變量用xi來表示，而全球設計變量向量是（8）。

斜拉索由0.6英寸直徑的鋼索制成（15.7mm的公稱直徑和1.5cm2的橫截面積）。對于橋塔的橫截面，考慮使用矩形空心型鋼，對于橋面考慮使用三種橫截面類型：梁板、單室箱和三室箱。橋面和橋塔的橫截面設計變量對減重（或降低成本）有直接的影響。斜拉索區域和斜拉索索力在整個結構的應力分布中發揮極為重要的作用，因為斜拉索區域和斜拉索索力對橋面的梁型特性的范圍作出了定義。此外，斜拉索區域和斜拉索索力是調整橋梁幾何形狀和擾度控制的基礎，否則可以只通過橋面的嚴格加勁來實現，這與預期的減少材料相反。

2.2設計目標

斜拉橋的設計涉及到實現一些設計目標，以檢驗使用和強度標準。該目標應以規范化的形式來配置。這些目標會因處于施工階段及恒載和活荷載下的整個橋梁位移和應力極限值而產生。該設計還應力求將該結構的成本降至最低。考慮到這一點，第一個目標可表示為（9）。

其中，C是該結構的現時成本，C0為參比成本，這對應于每個分析和優化周期的初始成本。這確保了在每個周期，成本始終是優化算法的主要目標之一。該結構的成本被當做材料成本（混凝土、加強鋼和預應力鋼）。這些材料的單價可以通過咨詢葡萄牙供應商公司而獲得。第二組目標產生于限制橋面的垂直位移和橋塔的水平位移，以獲得要求的最終橋面縱剖面，并使橋塔彎曲擾度最小化（10）。

其中，δ和δ0分別是位移值和控制下的位移限值。

第三組的目標會因處于施工階段和恒載下的整個橋梁橋面位移和橋塔應力極限值而產生。這些目標都與使用情況有關。

根據歐洲規范2（EN1992-1-1 2010）的建議，混凝土的抗壓應力限定為45％的混凝土抗壓強度（fck）的特征值，從而使混凝土保持在線性蠕變范圍內，并預防縱向開裂。混凝土拉應力限定為5％的混凝土典型軸向抗拉強度的分位數（fctk，0.05），以避免開裂，確保耐久性，得（11）、（12）。

其中，σc是在混凝土構件的作用應力。使用抗拉和抗壓應力及相應的容許應力時，要考慮相應的信號。

也應對混凝土構件的最大應力進行檢查。該目標可以表示為（13）。

其中，σc是在混凝土構件的作用應力，σallow是抗拉或抗壓中相應的容許應力。作用應力通過作用軸向力（NEd）和彎矩（MEd）計算得出。容許值被確定為一個應力，等同于橫截面組合的軸向力-彎矩設計阻力（NRd；MRd）。此值通過混凝土構件相應橫截面產生的無量綱交互圖獲得。對于這些計算結果，加強鋼區域不是一個設計變量，被認為是混凝土截面積的2％。這被用來作為混凝土構件的加強鋼區域的平均值，表示普遍的實用價值。

斜拉索中應力的剩余目標為（14）、（15）。

其中，σ和fpk分別是斜拉索中的作用應力和預應力鋼抗拉強度的特征值。如果作用應力大于0.1fpk，則方程式（14）適用；如果作用應力小于或等于0.1fpk，則方程式（15）適用。斜拉索拉伸應力的0.1fpk下限值被考慮，以確保其結構效能。方程式（14）中的k值等于架設期間的0.55，使用情況下的0.50和強度校核的0.74。

2.3目標函數

多目標優化的目標是最大限度地減少該組所有目標的設計變量。這通過最小最大值優化來實現，得（16）、（17）。

該問題是不連續、不可微的問題，因此不好解決。然而，如Simoes 和Templeman所述（1989），可以通過一個不受約束的凸標量最小函數來間接獲得該求解方法，結果是Kreisselmeier-Steinhauser函數（17）。這是連續、可微的問題，因此很容易解決。該函數只取決于一個控制參數p，它不能被減小。

我們的目標函數gj（x）沒有一個明確的代數形式，只能通過一個特定的設計變量向量的結構分析結果得出數值。采取的策略是通過明確的近似模型迭代序列手段，來解方程式（17）。一個明確的近似值可以通過線性項后截斷的所有目標函數gj（x）的泰勒級數展開式制定。該算法得（18）。

其中，N和M分別是設計變量數量和目標數量。goj（x）和dg0j（x）/dxi是根據當前設計變量向量（x0）計算的目標及其靈敏度，其中制定了泰勒級數展開式。g0j（x）特定數值求解方程（18）僅構成該問題完整求解方法的一個迭代法。使用MATLAB函數fmincon，進行目標函數的最小值計算，采用一系列二次問題，使處于約束范圍內的各變量標量函數最小化。

該算法與多個起點相關聯，提供一個優化的工程求解方法，通過重新排列斜拉索的支承剛度及橋面和橋塔之間的質量分布變得合理。目標函數使過程從一個可行或不可行的求解方法開始。

2.4敏感性分析

考慮到源代碼的可用性和大量的目標（應力和位移）與設計變量數量相對，則采用分析直接離散方法，進行靈敏度分析。相對于設計變量的位移靈敏度通過區分平衡方程獲得（19）～（21）。

可在形式上被重寫，其中，Qvi是相對于ith設計變量的系統虛擬假載向量。位移靈敏度可表示為（22）。其中需要存儲剛度矩陣，給剛度矩陣和右側導數預編程序，以使位移導數可以通過N假載右側求解方法來計算。應力靈敏度通過有限元應力位移關系的鏈求導來確定（22）、（23）。

在對導數表達式預編程序并請求這一階段的條件下，右側的第一項可在全球系統元素貢獻計算期間直接計算出來。由于位移導數已知，則很容易計算出來右側第二項。

圖1　橋的幾何形狀和斜拉索的數目

3.數值例子和結果

3.1數值模型的說明

數值模型涉及一個總跨徑為284m，中跨距為148m的對稱混凝土斜拉橋。橋塔的總高度為52m，橋面置于基礎以上15m的位置。圖1說明了作為示例橋的幾何結構。

使用平衡懸臂施工法的按工序劃分施工階段。有關完整的橋，橋面到橋塔連接僅僅是垂直位置的連接，但要保證結構穩定，在假設階段，該連接固定。

在施工階段考慮采取的行動包括橋面自重和1.0kN/m2（這取決于人員及手動工具），0.5kN/m2（這取決于臨時設備），和懸臂邊緣上400kN的集中載荷（EN1991-1-6 2005）。

在第1階段，在橋塔各側執行第一橋面節段，并且安裝第一對斜拉索。在以后的每個階段，在橋塔各側上對稱地增加一個橋面節段和一個斜拉索。在第9階段，在橫向跨距末端處增加一個簡單的支座；而第10階段，在中跨處增加控制彎矩和軸向力的連接件，以模擬橋梁合攏。

在兩個步驟（安裝施力和調整力）中計算斜拉索施力。使用第3節中所描述的優化方法，來確定安裝施力，以確保在第9階段中橋面要求的幾何結構（在橫向跨距中增加支座并在主跨距中實現橋梁合攏），并且施工階段期間該結構的應力要保持在容許限值內。要做到這一點，設計目標gj包括在第9階段的位移及第9階段和施工階段期間的應力。在第10階段，對索力進行了調整，以獲得在自重和和額外恒載為2.5kN/m2（橋面、人行道、安全防護欄和護欄）的條件下，橋梁施工結束時要求的橋面縱剖面。在第10階段后，對永久狀態且沒有時間效應影響下的橋梁進行了三種荷載情況的分析，要考慮最大應力的設計目標。荷載情況包括施加于整個橋面或僅施加于中跨或邊跨上的恒載加上4 kN/m2（道路交通）的活荷載。

3.2設計變量

在所分析例子的數值計算法中，橋的整體幾何形狀和橋面寬度（19.0m）為預先指定的恒定設計參數。為確定定徑設計變量，考慮了橋塔的兩個區域和橋面的三個區域。橋面橫截面的幾何形狀設計變量分析有三個選項：梁板、單室箱和三室箱截面。橋塔的設計變量，考慮了矩形空心型材。

3.3優化設計結果

實施例1：梁板橫截面，例2：單室箱截面，實施例3：三室箱截面。索力從橋塔到中跨增加。對稱分布的斜拉索力相似。最大力發生在平衡與邊跨相比最大的中央跨度負荷支索上。支索力基本控制橋塔頂部的水平位移，從而控制橋塔彎曲變形和應力。這是斜拉橋充分結構行為的必要特征。實施例1、2、3的優化結果是成本分別降低17.8％、15.7％和19.1％。這是由于在新設計中，減少了橋面、斜拉索和橋塔的橫截面。

永久荷載作用下的全橋橋塔頂部的水平位移約為1cm。結果表明，在結構收尾橋面的正應力仍在使用條件允許的范圍之內，并且橋面幾乎完全受壓。總結了總成本和橋面成本、橋塔和拉索成本。可以說，實施例2的成本最小。橋面占橋成本最大，為總成本的68.8％-71.1％。拉索約占橋梁成本的12％，而橋塔占其余成本。

4.結論

綜上所述，混凝土斜拉橋的設計作為一個多目標優化問題提出，涉及到拉索預應力和設計變量即拉索、橋塔和橋面的橫截面尺寸。優化程序為整個結構的足夠位移值和應力值提供了結構效率解決方案，證明離散直接法靈敏度分析（每次迭代只需要進行一次結構分析），在預測橋梁結構性能上是有效的。

鑒于相當數量的目標和設計變量，解決方案只由少量迭代后獲得，因此本文中使用的優化算法是有效的。