摸出的精彩

侍然

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思維訓練營/例題延展
CHU ZHONG SHENG SHI JIE

摸出的精彩

侍然

“摸球試驗”是古典概型的典型代表.很多中考試題常常是以摸球問題為原型，將條件或結論適當地改變、引申、重組，命制出精彩的試題.下面就一道有關摸球試驗的課本例題進行變式研究，讓同學們從不同角度、不同層次認識概率.

課本例題（蘇科版《數學》九上第136頁例4）

一只不透明的袋子中裝有1個白球和兩個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從袋中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、搖勻，再從中任意摸出1個球.求兩次都摸到紅球的概率.

解：把兩個紅球編號為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能出現的結果：

白紅1　　紅2白　?。ò祝祝　。ò?，紅1）　　（白，紅2）紅1　?。t1，白）?。t1，紅1）?。t1，紅2）紅2　　（紅2，白）　　（紅2，紅1）　　（紅2，紅2）

【方法歸納】當試驗結果分為2步，但所有等可能出現的結果數較大時，運用“表格”較為清晰、便捷；當試驗結果分為3步時，則一般運用“樹狀圖”列出所有等可能出現的結果求解.

變式一：求兩次摸到同樣顏色球的概率.

變式二：如果第一次摸出的球不放回，那么兩次都摸到紅球的概率是多少？

變式二屬于“不放回”的情況，先列出表格為：

白紅1　　紅2白（白，紅1）　?。ò?，紅2）紅1　?。t1，白）　　（紅1，紅2）紅2　?。t2，白）　　（紅2，紅1）

變式三：有甲、乙兩個不透明的布袋.甲袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數字1和-2；乙袋中有三個完全相同的小球，分別標有數字-1、0和2.小麗先從甲袋中隨機取出一個小球，記下小球上的數字為x，再從乙袋中隨機取出一個小球，記錄下小球上的數字為y，設點P的坐標為（x，y）.

（1）請用表格或樹狀圖列出點P所有可能的坐標；

（2）求點P在一次函數y=x+1圖像上的概率.

【分析】變式三由原來單一地求概率到利用概率知識與方程、函數等其它知識相結合的綜合性問題，考查了解決綜合問題的能力.

解：（1）畫樹狀圖：

∴點P所有可能的坐標為：（1，-1）、（1，0）、（1，2）、（-2，-1）、（-2，0）、（-2，2）.

（2）∵只有（1，2）、（-2，-1）這兩個點在一次函數y=x+1的圖像上，

變式四：一只不透明的袋子中，裝有兩個白球和1個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1）小明認為，攪勻后從中任意摸出一個球，不是白球就是紅球，因此摸出白球和摸出紅球是等可能的.你同意他的說法嗎？為什么？

（2）攪勻后從中一把摸出兩個球，請通過列表或樹狀圖求兩個球都是白球的概率；

【分析】變式四中第（1）題有的同學會只考慮球的顏色而忽略球的的個數，認為摸出白球和摸出紅球是等可能的.第（2）題容易忽視“一把摸出兩個球”這一條件，它實質屬于“不放回”的情況，不少同學往往因分析失誤，就會對可能出現的結果數判斷出錯，從而造成解題出錯.第（3）題既考查概率意義，又考查同學們靈活運用概率知識設計方案的能力.

解：（1）不同意小明的說法.

（2）樹狀圖如圖：

（3）方法一：設應添加x個紅球，

解得x=3（經檢驗是原方程的解）.

∴應添加6-3=3（個）紅球.

答：應添加3個紅球.

有關以“摸球”為背景的概率題目是我們比較熟悉的常見問題.學習過程中同學們要對這些典型問題反復進行一題多變的訓練，既可以增長知識，又能培養思維能力.同學們要注意積累經驗，提高能力.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）