概率中易混淆概念的對比與思考

李先永

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概率中易混淆概念的對比與思考

李先永

概率在日常生活中應用非常廣泛，概率題也是中考的必考內容.概率中的一些問題，看似相同，實則不同，容易混淆.因此在解題時，要善于對比思考，推敲它們之間的區別與聯系，提高解題能力.

一、“隨機事件”與“等可能性”混淆

等可能性事件是一種特殊的隨機事件，它依賴于隨機事件，隨機事件不一定是等可能性事件.

例1在一塊平整的地上拋一枚質地均勻的圖釘，這個隨機試驗的所有的可能結果有哪幾種？它們是等可能性的嗎？

【解析】這個隨機試驗的所有的可能結果有2種：釘帽向上，釘尖向上.它們不是等可能性的.因為雖然圖釘質地是均勻的，但是釘帽面積遠遠大于針尖面積，所以釘尖向上的可能性要遠遠大于釘帽向上的可能性，所以它們不是等可能性的.

【點評】本題有的同學會和拋一枚質地均勻的硬幣這個隨機事件混淆.錯誤地認為2種結果是等可能性的.要特別注意有的隨機試驗結果不一定是等可能性的.

二、隨機事件發生的“頻率”與“概率”混淆

例2下列兩個命題中錯誤的是（）.

（1）拋擲100次硬幣，出現正面向上的頻率為0.4，則該試驗中，硬幣正面向上的次數為40次.

（2）若一批產品的次品率為0.1，則從該產品中隨機抽取100件，一定會有10件次品.

練習下列兩個命題中錯誤的是（）.

（1）當試驗次數n給定后，事件A出現的頻率與事件A出現的次數成正比.

答案：（2）.

三、抽樣中的“放回”與“不放回”混淆

例3現有四張分別標有數字1，2，2，3的卡片，它們除數字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張后放回，再背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，則兩次抽出的卡片所標數字不同的概率是_______.

【解析】本題可用列表法或畫樹狀圖的方法求概率.列表如下：

1223 1　　（1，1）　　（1，2）　　（1，2）　　（1，3）2　　（2，1）　　（2，2）　　（2，2）　　（2，3）2　　（2，1）　　（2，2）　　（2，2）　　（2，3）3　　（3，1）　　（3，2）　　（3，2）　　（3，3）

（1）袋里紅球有多少個？

（2）從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率.

（2）根據概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數；②符合條件的情況數目.二者的比值就是其發生的概率.

解：（1）紅球的個數為x個，

解得x=1（檢驗合適），

∴布袋里紅球有1個.

（2）樹狀圖如下：

∵兩次摸球共有12種等可能結果，兩次摸到的球都是白球的情況有2種，

上述兩例可看成同是“隨機摸球問題”. 例3中可把卡片看成球，每次抽取一張卡片放回看成取出的球放回，袋中的球始終保持不變，故每次取球是相互獨立的，是獨立重復試驗；例4中取出的球不放回，每取出一個球后，袋中的球就少一個.一般地，題目中會點明用什么方法抽樣，例如：n人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回.這就是需要放回的時候.如果條件是“2人參加摸球游戲，每人摸兩個球”，這里雖然沒有說是放回還是不放回，但是也應當作不放回處理.

四、列表法與樹狀圖法

當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.涉及兩步實驗求概率問題也可以用列表法.

樹狀圖法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n.涉及多步實驗求概率問題都可以用樹狀圖法.

當有兩個元素時，既可用樹狀圖法列舉，也可以用列表法列舉，同時要注意具體問題具體分析，沒有統一的模式.

例5活動1：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3的3個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三位同學按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，請你對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序：___→___→___，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學勝出的概率等于_______，最后一個摸球的同學勝出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，…，n（n為正整數）的n個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三名同學從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系.你還能得到什么活動經驗？（寫出一個即可）

【分析】（1）應用樹狀圖法，判斷出甲勝出的概率是多少即可.

（2）首先對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序：丙→甲→乙，然后應用樹狀圖法，判斷出第一個摸球的丙同學和最后一個摸球的乙同學勝出的概率各等于多少即可.

（3）首先根據（1）（2），猜想這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出），然后總結得到的活動經驗為：抽簽是公平的，與順序無關.

解：（1）如圖1，

圖1

（2）對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序：丙→甲→乙，畫樹狀圖如圖2，

圖2

（3）這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系為：

P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出）.

得到的活動經驗為：抽簽是公平的，與順序無關.（答案不唯一）

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）