基于排隊(duì)論的離散生產(chǎn)線在制品改善研究*

王肖明，李乃梁，黃啟超，孟英晨，王　涵

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，江蘇 徐州　221116)

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基于排隊(duì)論的離散生產(chǎn)線在制品改善研究*

王肖明，李乃梁，黃啟超，孟英晨，王涵

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，江蘇 徐州221116)

針對(duì)離散生產(chǎn)線加工過(guò)程復(fù)雜，在制品堆積較多、等待及加工總時(shí)間較長(zhǎng)的問(wèn)題，創(chuàng)造性的提出運(yùn)用排隊(duì)論來(lái)具體分析解決。首先分析產(chǎn)線在制品堆積問(wèn)題，應(yīng)用排隊(duì)論建立在制品排隊(duì)等待模型，然后根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)狀況改進(jìn)現(xiàn)有排隊(duì)模型，確定最大在制品規(guī)模。同時(shí)綜合運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法與均衡化生產(chǎn)方式，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，確定不同品種產(chǎn)品加工順序，并提出最佳改善方案，最終達(dá)到提高設(shè)備利用率，減少加工總時(shí)間，實(shí)現(xiàn)精益生產(chǎn)的目的。現(xiàn)場(chǎng)實(shí)施表明，排隊(duì)論在離散問(wèn)題的解決中發(fā)揮重要的作用，為離散制造在制品改善提供了重要的依據(jù)。

離散制造；排隊(duì)論；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；均衡化生產(chǎn)；在制品改善

0　引言

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，個(gè)性化定制與大規(guī)模生產(chǎn)共線，靈活且高效的生產(chǎn)模式將逐漸成為未來(lái)制造的主要特點(diǎn)，與此同時(shí)還要滿足小批量低成本的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。而在個(gè)性化制造需求模式下，產(chǎn)品交付及時(shí)性對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。同時(shí)，合理數(shù)量的在制品是產(chǎn)線正常運(yùn)轉(zhuǎn)的重要保證。因此，對(duì)于在制品過(guò)多以及生產(chǎn)加工不均衡而導(dǎo)致的加工時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的離散生產(chǎn)線，更需要對(duì)在制品規(guī)模進(jìn)行改善，確定最佳在制品數(shù)量，實(shí)現(xiàn)最大效益生產(chǎn)。

排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它是研究如何使資源空閑浪費(fèi)與排隊(duì)現(xiàn)象嚴(yán)重之間平衡的一門學(xué)科[1]。排隊(duì)論研究?jī)?nèi)容包括排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間和忙期分布等性態(tài)問(wèn)題，以及排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)判斷和最優(yōu)化問(wèn)題。目前，研究排隊(duì)論在生產(chǎn)系統(tǒng)應(yīng)用的文獻(xiàn)也有很多。張于賢等運(yùn)用串聯(lián)開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)理論進(jìn)行生產(chǎn)線量化分析與改進(jìn)[2]。趙軼磊等在塑殼斷路器裝配線中應(yīng)用排隊(duì)系統(tǒng)建模，提高生產(chǎn)效率[3]。葉峰等實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)仿真與遺傳優(yōu)化算法的有效結(jié)合，優(yōu)化復(fù)雜系統(tǒng)的排隊(duì)規(guī)則，提高了排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行效率。黃一鈞借助排隊(duì)論模型建立了AGV物料搬運(yùn)系統(tǒng)小車數(shù)量配置計(jì)算模型，完成了最小總成本的目標(biāo)[4]。而將排隊(duì)論應(yīng)用于制造業(yè)離散生產(chǎn)線在制品庫(kù)存控制的研究文獻(xiàn)很少，本文針對(duì)B公司M生產(chǎn)線在制品堆積嚴(yán)重、加工時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等問(wèn)題，將排隊(duì)論應(yīng)用于在制品等待模型中，減少等待在制品數(shù)并確定最大在制品規(guī)模，然后綜合運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，計(jì)算出5種產(chǎn)品的加工總時(shí)間并提出了均衡化生產(chǎn)方式，達(dá)到減少在制品等待時(shí)間，提高生產(chǎn)效率，實(shí)現(xiàn)精益生產(chǎn)的目的。

1　背景介紹

B公司是一家汽車零配件制造服務(wù)公司，主要產(chǎn)品為汽車電子安全系統(tǒng)、座椅安全帶系統(tǒng)、電子控制單元、汽車方向盤等。在實(shí)習(xí)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，安全氣囊的電子控制單元(Electronic Control Unit，ECU)生產(chǎn)線在制品堆積嚴(yán)重，生產(chǎn)效率低下，是現(xiàn)場(chǎng)管理亟需解決的問(wèn)題。本文以在制品管理混亂較為嚴(yán)重的內(nèi)部通路測(cè)試(ICT)和內(nèi)部數(shù)據(jù)控制(IDC)生產(chǎn)線為研究對(duì)象，運(yùn)用排隊(duì)論與工業(yè)工程方法相結(jié)合來(lái)分析在制品的統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)并確定最大在制品規(guī)模，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)確定多品種工件的生產(chǎn)加工順序，減少在制品數(shù)，降低總體加工時(shí)間，提高生產(chǎn)效率，最終實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)。

2　M生產(chǎn)線排隊(duì)論模型

2.1M生產(chǎn)線排隊(duì)系統(tǒng)

通常排隊(duì)系統(tǒng)由輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)機(jī)構(gòu)三部分組成。由于不同品種在制品加工時(shí)間不同，所以M生產(chǎn)線在制品加工排隊(duì)系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)隨機(jī)型排隊(duì)系統(tǒng)，其排隊(duì)系統(tǒng)模型[5-7]如圖1所示。

圖1　排隊(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型

排隊(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)即為顧客在服務(wù)機(jī)構(gòu)前按排隊(duì)規(guī)則形成合理的排隊(duì)機(jī)構(gòu)。研究排隊(duì)系統(tǒng)的主要目的是改進(jìn)和控制現(xiàn)有系統(tǒng)運(yùn)行狀況，達(dá)到系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)最佳。將M生產(chǎn)線作為一個(gè)隨機(jī)排隊(duì)系統(tǒng)，首先描述排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行狀況，通過(guò)各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行改善和控制，合理控制在制品庫(kù)存，優(yōu)化產(chǎn)線布局設(shè)置，提高系統(tǒng)的生產(chǎn)效率，使系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)達(dá)到最佳。

2.2離散生產(chǎn)線排隊(duì)模型建立

M生產(chǎn)線目前有IDC、Package兩個(gè)工位，共5種工件先后經(jīng)過(guò)兩道工序。經(jīng)過(guò)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研并繪制現(xiàn)狀價(jià)值流圖，從現(xiàn)狀價(jià)值流圖上可以看出IDC工位和Package工位在制品庫(kù)存現(xiàn)象嚴(yán)重，庫(kù)存天數(shù)分別為0.257天和0.374天。IDC與上一道工序ICT是兩個(gè)離散工藝類型工位，加工模式仍按以前推動(dòng)式順序加工模式，產(chǎn)線布局不合理，生產(chǎn)過(guò)程中缺乏信息交流，造成加工等待現(xiàn)象嚴(yán)重或者設(shè)備空閑嚴(yán)重等浪費(fèi)。

運(yùn)用排隊(duì)論方法來(lái)確定在制品超市的最大在制品規(guī)模CWIP，IDC工位的布置方式是ICT加工后的在制品被直接搬運(yùn)到各臺(tái)設(shè)備前排隊(duì)等待加工，因此，將模型解釋為在制品在每一臺(tái)IDC設(shè)備前排隊(duì)，形成3條獨(dú)立的隊(duì)列，如圖2所示。

圖2　3條獨(dú)立隊(duì)列排隊(duì)模型

在該排隊(duì)系統(tǒng)中，平均到達(dá)率實(shí)際就是ICT的產(chǎn)出率，而平均服務(wù)率就是IDC的加工率。測(cè)得ICT的工時(shí)是16.84s，IDC的工時(shí)是14.38s，在沒(méi)有經(jīng)過(guò)Dial table壓合之前，產(chǎn)品內(nèi)部的電路印刷板(Print Circle Board，PCB)需要成套的運(yùn)輸，其運(yùn)輸?shù)妮d體是彈夾magazine。由于magazine的容量設(shè)計(jì)為20片，所以成套運(yùn)輸?shù)膯挝灰?guī)模為20片。可以計(jì)算出：

平均到達(dá)率：λ=1/16.84/20=0.0029magazine/s

平均服務(wù)率：μ=1/14.38/20=0.0034magazine/s

當(dāng)3臺(tái)IDC設(shè)備同時(shí)工作時(shí)，該排隊(duì)系統(tǒng)設(shè)備利用率：

表明IDC設(shè)備會(huì)完全加工完排隊(duì)等待的在制品，且不會(huì)造成過(guò)多等待產(chǎn)品。

IDC設(shè)備空閑率:

P0=1-ρ=0.15

表明在生產(chǎn)過(guò)程中，IDC設(shè)備處于閑置等待在制品的機(jī)會(huì)為15%。

每臺(tái)加工設(shè)備前未加工的在制品的平均排隊(duì)等待長(zhǎng)度：

在該生產(chǎn)系統(tǒng)中的平均在制品總數(shù)(包括等待加工和正在進(jìn)行加工的在制品數(shù)之和)：

2.3離散生產(chǎn)線排隊(duì)系統(tǒng)改進(jìn)

為提高生產(chǎn)效率，減少工位間在制品數(shù)量，需要對(duì)產(chǎn)線工位布局進(jìn)行優(yōu)化。如果在上述生產(chǎn)系統(tǒng)中，其他條件都不變，改變排隊(duì)方式，使在制品到達(dá)IDC加工臺(tái)前排列成一隊(duì)進(jìn)行等待，3臺(tái)加工設(shè)備同時(shí)對(duì)單隊(duì)列在制品進(jìn)行加工，即M/M/s排隊(duì)模型[8-11]，如圖3所示。

圖3　單隊(duì)列多服務(wù)臺(tái)模型

在優(yōu)化后的單隊(duì)列排隊(duì)模型中，平均到達(dá)率λ=0.0029×3=0.0087magazine/s。其它參數(shù)與三條隊(duì)列排隊(duì)系統(tǒng)相同，對(duì)于這種生產(chǎn)系統(tǒng)參數(shù)的分析如下。

通過(guò)計(jì)算λ/μ=2.56>1，說(shuō)明安排一臺(tái)IDC設(shè)備，則到達(dá)的在制品不能完全被加工，排列的隊(duì)伍將趨于無(wú)限長(zhǎng)。需要滿足ρ<1(每件在制品都能被加工)，且IDC設(shè)備利用率ρ盡可能的大，可知最優(yōu)的IDC設(shè)備數(shù)量c為3，則在3臺(tái)設(shè)備同時(shí)工作的情況下，設(shè)備利用率：

整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)IDC設(shè)備空閑率：

等待加工的在制品的平均隊(duì)列長(zhǎng)度：

因此，該生產(chǎn)系統(tǒng)中的平均在制品數(shù)為L(zhǎng)x=La+cρ=4.12+2.56=6.68，取整數(shù)7個(gè)。由此，可以確定在這個(gè)排隊(duì)過(guò)程中系統(tǒng)應(yīng)該容納合理的在制品數(shù)量為7個(gè)Magazine，共計(jì)140個(gè)產(chǎn)品。

2.4排隊(duì)系統(tǒng)改進(jìn)效果

將改進(jìn)后的單隊(duì)列系統(tǒng)模型效果與之前三條隊(duì)列模型進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。

表1　排隊(duì)系統(tǒng)改進(jìn)效果

從改進(jìn)效果表1中可以看出，優(yōu)化后的單隊(duì)列模型中IDC設(shè)備空閑率P0明顯降低，在制品等待數(shù)減少，平均在制品數(shù)增加，加工效率顯著提高。

2.5離散生產(chǎn)線系統(tǒng)狀態(tài)的建立

通過(guò)表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的概率為計(jì)算隊(duì)長(zhǎng)、等待時(shí)間和平均在制品數(shù)等指標(biāo)提供依據(jù)。系統(tǒng)的狀態(tài)指生產(chǎn)系統(tǒng)中在制品數(shù)，如果系統(tǒng)中有n個(gè)在制品表明系統(tǒng)的狀態(tài)為n，它的取值可能是：

(1)隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)，n=0，1，2，…；

(2)隊(duì)長(zhǎng)有限制，最大數(shù)為N時(shí)，n=0，1，2，…，N；

(3)即時(shí)制，后續(xù)加工設(shè)備個(gè)數(shù)是c時(shí)，n=0，1，2，…，c。

這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)刻t而變化，所以在時(shí)刻t、系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率用Pn(t)表示。實(shí)施改善后，隨機(jī)抽取某時(shí)段M生產(chǎn)線ICT、IDC兩工位之間的在制品數(shù)量，即M生產(chǎn)線系統(tǒng)的狀態(tài)。IDC滿負(fù)荷加工數(shù)量為60個(gè)/min，其工件種類不同但加工工藝相同。記錄統(tǒng)計(jì)如表2所示。

表2　在制品數(shù)目統(tǒng)計(jì)表　個(gè)/min

這里只顯示15組數(shù)據(jù)，實(shí)際上記錄的數(shù)據(jù)有100組。每組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)包括正在等待數(shù)，IDC加工數(shù)，在制品總數(shù)。為顯示系統(tǒng)在制品庫(kù)存狀態(tài)，利用測(cè)量數(shù)據(jù)建立Pn(t)關(guān)系式圖，如圖4所示。

圖4　t時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)概率

因?yàn)閠是連續(xù)變量，而n只取非負(fù)整數(shù)，所以建立的Pn(t)的關(guān)系式一般是微分差分方程(關(guān)于t的微分方程，關(guān)于n的差分方程)，其解稱為瞬態(tài)解。由于瞬態(tài)解很難求出，因此在極限存在的前提下求其極限。

稱為穩(wěn)態(tài)，或稱統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)的解。穩(wěn)態(tài)即為當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行了無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間運(yùn)作后，初始(t=0)出發(fā)狀態(tài)的概率分布(Pn(t),n≥0)的影響將變淡消失，而且系統(tǒng)的狀態(tài)概率分布不再隨時(shí)間變化，達(dá)到穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。

3　加工總時(shí)間進(jìn)一步改善

3.1利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決加工總時(shí)間問(wèn)題

3.1.1建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是研究具有多階決策過(guò)程的一類問(wèn)題，這類問(wèn)題與時(shí)間有關(guān)。按整體對(duì)于時(shí)間與空間的特征聯(lián)系劃分成密切相關(guān)的各個(gè)階段，如圖5所示。將多階段決策問(wèn)題分解為聯(lián)系密切的單階段決策問(wèn)題，然后按序分析解決，進(jìn)而求出整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)決策序列[12-14]。

圖5　多階段決策過(guò)程

現(xiàn)以機(jī)器設(shè)備ICT上更換工件的時(shí)刻作為時(shí)段，以X表示在設(shè)備ICT上等待加工的工件集合。以x表示在設(shè)備ICT上最后加工完的工件。以t表示在x在設(shè)備ICT上加工完成到設(shè)備IDC上加工完所需的時(shí)間。

選取(X，t)作為描述設(shè)備ICT、IDC在生產(chǎn)過(guò)程中的狀態(tài)變量。f(X,t,i,j)為由狀態(tài)(X，t)開(kāi)始，在設(shè)備ICT上相繼加工工件i與j后，按最優(yōu)加工順序?qū)中的產(chǎn)品全部加工完成所需要的時(shí)間。因此，由定義可得：

f(X,t,i,j)=ai+aj+f[X/{i,j},zij(t)]

其中zij(t)是在設(shè)備ICT上從X出發(fā)相繼加工完工件i、j的時(shí)刻算起，至在設(shè)備IDC上加工完成工件i、j所需時(shí)間。

將i，j對(duì)調(diào)，可得：

f(X,t,j,i)=ai+aj+f[X/{i,j},zji(t)]

zji(t)=max[t-ai-aj+bi+bj,bi+bj-ai,bi]

由于f(X,t)為t的單調(diào)上升函數(shù)，故當(dāng)zij(t)≤zji(t)時(shí)，按先i后j的加工順序可以使總的加工時(shí)間短些。而由zij(t)和zji(t)的關(guān)系表達(dá)式可知，需要下面不等式成立。最終有：

max(bi+bj-aj,bj)≤max(bi+bj-ai,bi)

min(ai,bj)≤min(aj,bi)

即為工件加工順序先i后j的條件。根據(jù)這個(gè)條件，得到最優(yōu)排序。先作工件的加工時(shí)間的工時(shí)矩陣如下：

3.1.2利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決加工總時(shí)間問(wèn)題

現(xiàn)有5種工件在ICT、IDC設(shè)備上加工，加工順序?yàn)橄菼CT后IDC，單個(gè)工件所需加工時(shí)間如表3所示。

表3　工件工時(shí)統(tǒng)計(jì)表　/s

因此，工件的加工工時(shí)矩陣為：

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)排序規(guī)則，故最優(yōu)加工順序?yàn)椋?/p>

1→3→5→4→2

總加工時(shí)間為8+15+16+12+16=67s。

3.2實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)

為進(jìn)一步改善加工總時(shí)間，保證生產(chǎn)效率最大化，需要平衡生產(chǎn)波動(dòng)，實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)[15]。要實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)必須保持單位時(shí)間內(nèi)各品種有均等的比率進(jìn)行生產(chǎn)，同時(shí)達(dá)到總量與品種的均衡。不均衡是不增值的浪費(fèi)與員工或設(shè)備負(fù)荷過(guò)重之間波動(dòng)的結(jié)果。因此，實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)需要做到：

(1)采用混流生產(chǎn)方式，按平均生產(chǎn)節(jié)拍配置人員；

(2)實(shí)現(xiàn)快速轉(zhuǎn)換技術(shù)減少切換時(shí)間損失；

(3)保持零部件使用量穩(wěn)定，達(dá)到設(shè)備和人力負(fù)荷穩(wěn)定化；

(4)制定周生產(chǎn)計(jì)劃、月生產(chǎn)計(jì)劃來(lái)維持生產(chǎn)與實(shí)際需求的均衡；

(5)加強(qiáng)操作員工的培訓(xùn)，實(shí)現(xiàn)員工多能工操作。

4　結(jié)論

本文以在制品管理混亂較為嚴(yán)重的M離散型生產(chǎn)線，即內(nèi)部通路測(cè)試(ICT)和內(nèi)部數(shù)據(jù)控制(IDC)生產(chǎn)線為研究對(duì)象，運(yùn)用排隊(duì)論與工業(yè)工程方法相結(jié)合來(lái)分析控制在制品的統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，將排隊(duì)系統(tǒng)三條隊(duì)列改為單隊(duì)列排隊(duì)，減少在制品數(shù)并確定最大在制品規(guī)模，同時(shí)運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)確定多品種工件的生產(chǎn)加工順序，降低總體加工時(shí)間，提高生產(chǎn)效率，最終實(shí)現(xiàn)均衡化生產(chǎn)。

實(shí)踐表明，排隊(duì)論在解決離散生產(chǎn)線在制品庫(kù)存控制問(wèn)題方面具有獨(dú)特作用，也為離散制造企業(yè)產(chǎn)線平衡分析提供重要依據(jù)。

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(編輯李秀敏)

Research on Inventory of WIP Improve in Discrete Production Line Based on the Queuing Theory

WANG Xiao-ming，LI Nai-liang，HUANG Qi-chao，MENG Ying-chen，WANG Han

(School of Mines，China University of Mining and Technology，Xuzhou Jiangsu 221116，China)

According to the complexity of discrete production line process, more WIP,longer total time processing,creative proposed the use of queuing theory to solve the specific analysis.First analysis of production line of work in process accumulation,application of queuing theory to establish the WIP queuing model and according to the actual production condition improved existing queuing model to determine the largest WIP.Then comprehensive using the dynamic programming method and balanced production, dynamic programming model is established,determine the different varieties of products processing sequence,and the best improvement scheme is put forward, and ultimately to improve equipment utilization rate,reduce the total processing time,achieve the purpose of lean production.Site implementation shows that queuing theory plays an important role in the solution of the discrete problem,and provides an important basis for discrete manufacturing WIP improvement.

discrete manufacturing;queuing theory;dynamic programming;balanced production;WIP improvement

1001-2265(2016)07-0139-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.07.039

2016-02-27

江蘇省青年自然科學(xué)基金(BK20150197)

王肖明(1991—)，男，山東青島人，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)榫嫔a(chǎn)、質(zhì)量管理，(E-mail)wxmyyall@163.com。

TH140；TG506

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