建構數學模型領悟細胞大小與物質運輸的關系

陳從兵

(重慶市潼南第一中學 402660)

人教版高中生物學教材中有“細胞大小與物質運輸關系”的模擬實驗，以瓊脂塊和NaOH溶液分別模擬細胞和細胞所需要的物質。通過建構數學模型來領悟細胞大小與物質運輸的關系。

設正方體的瓊脂塊邊長為x，NaOH擴散深度為a，且x≥2a，a>0(擴散深度不能超過邊長的一半)(圖1)。該實驗中NaOH在瓊脂塊中的擴散速率相同(單位時間內擴散深度相同)。

圖1 瓊脂塊平面圖

1 表面積與體積之比隨體積增大而減小

瓊脂塊的表面積為6x2，體積為x3，其表面積與體積之比為：y=6x2/ x3=6/x，因此瓊脂塊表面積與體積之比隨瓊脂塊的體積增大(邊長增加)而減小(圖2)。

圖2 瓊脂塊表面積與體積之比

2 瓊脂塊中變紅的體積占整個瓊脂塊的比例

瓊脂塊的體積為x3，NaOH擴散深度為a，所以NaOH未擴散到瓊脂塊的部分為一個邊長為(x-2a)的正方體。瓊脂塊中變紅的體積(即NaOH擴散到瓊脂塊遇酚肽變紅的部分)為：y= x3-(x-2a)3，其占整個瓊脂塊的比例為： y= [x3-(x-2a)3〗/ x3=1-(1-2a/x)3， 因為x≥2a，所以x增大，2a/x值減小(2a/x≤1)；則1-2a/x值增大[0≤(1-2a/x)<1]，(1-2a/x)3值也增大；而1-(1-2a/x)3值減小，且0<[1-(1-2a/x)3]≤1。由此得出：瓊脂塊中變紅的體積占整個瓊脂塊體積的比例隨瓊脂塊的體積增大而減小(圖3)。

圖3 瓊脂塊變紅體積占整個瓊脂塊的比

3 細胞不能無限長大

因瓊脂塊可模擬細胞，NaOH可表示進入細胞的物質，因而瓊脂塊中變紅的體積占整個瓊脂塊體積的比例就可表示細胞物質的運輸效率。通過建構數學模型可領悟以下幾點：①隨細胞體積的增大，細胞的表面積與體積比減小；②物質擴散速率相同(不變)，盡管隨著細胞體積的增大，擴散部位占到細胞的體積有所增大，但相對于細胞體積的增大，物質擴散到細胞的體積占整個細胞的體積反而減小，即細胞內物質運輸效率降低；③當細胞長大到一定體積時，因為物質運輸效率不能滿足其需要就進行分裂增殖(細胞內物質運輸效率的大小是細胞分裂的原因之一)，故細胞不能無限長大。