數學原理在高中遺傳學教學中的應用

夏 天

(浙江省余姚市第四中學 315400)

孟德爾通過數學方法(統計)的引入發現了分離定律和自由組合定律，為遺傳學奠定基礎。數學作為一門工具學科，在生物學中有廣泛應用。本文以高中知識為范疇，介紹數學原理在遺傳學中的應用。

1 棋盤法和分枝法

遺傳概率的計算常用棋盤法和分枝法[1]。在單因子雜交實驗和雙因子雜交實驗中，教材中介紹了棋盤法。但若考慮三對或三對以上基因，則因棋盤格過多而不宜采用棋盤法，應采用分枝法(圖1)。

圖1 分枝法

2 分步乘法計數原理

分步乘法計數原理可解決配子類型、基因型種類和表現型種類的計算問題。分步乘法計數原理如下：完成一件事需要兩個步驟(無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取)，第1步有m種不同的方法，第2步有n種不同的方法，那么完成這件事：N = m×n種不同的方法。高中數學教材給出如下例題：在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關。假設有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？運用分步乘法計數原理，結果如下：100個堿基共有100個位置，從左到右依次在每一個位置中，從A、C、G、U中任選一個填入，每個位置有4種填充方法，則RNA分子種數為100個4的乘積，即4100。

在孟德爾的雙因子雜交實驗中，F1產生的雌、雄配子各有4種，F2的基因型有9種，F2的表現型有4種。以上數據可以根據分步乘法計數原理求得。對于基因型為YyRr的F1，產生的雌配子中包含等位基因Y和y之一，以及等位基因R和r之一。因此，相當于雌配子有2個空位，每個空位各有2種填法，則雌配子的類型有4種，即(2×2)；雄配子同理。若有n對等位基因，雌、雄配子各為2n種。對于F1自交產生的F2的基因型，先考慮一對等位基因Y和y，可形成3種不同的基因型：YY、Yy和yy；另一對等位基因R和r亦可形成3種不同的基因型。這兩對等位基因可形成9種不同的基因型，即(3×3)。若有n對等位基因，則可形成3n種基因型。對于F2的表現型，子葉的顏色有黃色和綠色2種表現型；種子的形狀有圓形和皺形2種表現型。那么，表現型即為4種。若有n對等位基因(完全顯性)，則能形成2n種表現型。

3 二項式平方的展開式

遺傳平衡定律可用二項式平方的展開式來表示。對于一個遺傳平衡的種群，若有一對等位基因B和b，設B的基因頻率為p，b的基因頻率為q，則p+q=1。運用棋盤法求得各基因型的頻率。BB的頻率為p2，Bb的頻率為2pq，bb的頻率為q2。可記為二項式平方的展開式：(p + q)2= p2+2pq+q2=1。由于各代的基因頻率沒有改變，故各代的基因型頻率也不會改變。若B和b這對等位基因位于X染色體，則XBXB的頻率為p2，XBXb的頻率為2pq，XbXb的頻率為q2；XB的頻率為p，Xb的頻率為q。由此，通過計算得到如下規律：對于X連鎖隱性遺傳病，男性患者XbY為q，女性患者XbXb為q2，由于0q2，故男性患者多于女性患者；對于X連鎖顯性遺傳病，男性患者XBY為p，女性患者XBXB和XBXb為p2+2pq，由于p=1-q，p2+2pq=1-q2，0

4 組合與二項式定理

圖2 楊輝三角

5 數學歸納法

根據不完全歸納法，求雜合子(Aa)連續自交n代后Fn中雜合子的比例，可以得到以下結果：F1中雜合子比例為1/2；F2中雜合子比例為(1/2)2=1/4；F3中雜合子比例為(1/2)3=1/8；F4中雜合子比例為(1/2)4=1/16；則Fn中雜合子比例為(1/2)n。可以用數學歸納法證明這一結論。數學歸納法為：證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：①(歸納奠基)證明當n取第一個值no(noεN*)時命題成立；②(歸納遞推)假設n = k(k ≥ no，kεN*)時命題成立，證明當n = k + 1時命題也成立。只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從no開始的所有正整數n都成立。證明：①當n = 1時，F1中雜合子比例為1/2；②假設當n = k時，Fk中雜合子比例為(1/2)k成立，那么，Fk+1中雜合子比例為(1/2)k×1/2= (1/2)k+1，即當n = k + 1時也成立。根據①和②，可知Fn中雜合子比例為(1/2)n。各子代雜合子比例構成等比數列。用數學歸納法還可求得：Fn中純合子比例為1 - (1/2)n；顯性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；隱性純合子比例為1/2 - (1/2)n+1；顯性性狀個體比例為1/2 + (1/2)n+1；隱性性狀個體比例為1/2 - (1/2)n+1。